第5节 科学验证：机械能守恒定律
1．如图所示为用打点计时器验证机械能守恒定律的实验装置。
(1)(多选)在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列物理量中要用工具测量和通过计算得到的有( )
A．重锤的质量
B．重力加速度
C．重锤下落的高度
D．与重锤下落高度对应的重锤瞬时速度
(2)有同学按以下步骤进行实验操作：
A．用天平称出重锤和夹子的质量。
B．固定好打点计时器，将连着重锤的纸带穿过限位孔，用手提住，且让手尽量靠近打点计时器。
C．松开纸带，接通电源，开始打点。并如此重复多次，以得到几条打点纸带。
D．取下纸带，挑选点迹清晰的纸带，记下起始点O，在距离O点较近处选择连续几个计数点(或计时点)，并计算出各点的速度值。
E．测出各点到O点的距离，即得到重锤下落的高度。
F．计算出mghn和mv，看两者是否相等。
在以上步骤中，不必要的步骤是__________；有错误或不妥的步骤是__________(填写代表字母)；更正情况是
①______________________________________________________________，
②______________________________________________________________，
③______________________________________________________________，
④______________________________________________________________。
(3)实验时，应使打点计时器的两个限位孔在同一竖直线上，这样做可以________(选填“消除”“减小”或“增大”)纸带与限位孔之间的摩擦。
(4)在实际测量中，重物减少的重力势能通常会________(选填“略大于”“等于”或“略小于”)增加的动能。
2．在利用重锤下落验证机械能守恒定律的实验中：
(1)有下列器材可供选用：重锤、铁架台、天平、停表、电磁打点计时器、复写纸、纸带、低压直流电源。其中不必要的器材有________________________；缺少的器材是________________。
(2)实验中用打点计时器打出的纸带如图所示，其中，A为打下的第1个点，C、D、E、F为距A较远的连续选取的四个点(其他点未标出)。用刻度尺量出C、D、E、F到A的距离分别为s1＝20.06 cm，s2＝24.20 cm，s3＝28.66 cm，s4＝33.60 cm。重锤的质量为m＝1.00 kg；打点周期为T＝0.02 s；实验地点的重力加速度为g＝9.8 m/s2。为了验证从打下A点到打下D点过程中重锤的机械能守恒，应计算出：打下D点时重锤的速度vD＝________(用题中字母表达)＝________ m/s，重锤重力势能的减少量ΔEp＝________(用题中字母表达)＝________ J，重锤动能的增加量ΔEk＝________(用题中字母表达)＝________ J。(保留三位有效数字)
3．某实验小组利用如图装置来验证机械能守恒定律。在气垫导轨上固定两个光电门，光电门连接数字毫秒计，滑块上固定宽度为d的遮光条。把导轨的右端垫高，测出倾角为θ。已知当地重力加速度为g。
(1)实验时，将滑块从某处由静止释放。遮光条通过某光电门的时间为Δt，则滑块通过此光电门的瞬时速度为________。
(2)若通过光电门1和光电门2的速度分别为v1和v2，还需要测量____________(并给这个物理量赋予字母)，满足表达式____________________，说明机械能守恒。
(3)完成(2)问所述测量，将滑块从________(选填“同一”或“不同”)位置释放，测出滑块经过光电门1、2的速度v1、v2。以L为横坐标，以v－v为纵坐标，把所得的实验数据描点，得到一条斜率为________、截距为________的图线，说明机械能守恒。
4. 某同学利用如图所示装置验证机械能守恒定律：光滑圆弧轨道竖直放置，轨道边缘标有表示圆心角的刻度，轨道最低点装有压力传感器。现将小球置于轨道上θ刻度处由静止释放，当其通过最低位置时，读出压力传感器的示数F，已知当地重力加速度为g。
(1)为验证小球在沿轨道下滑过程中机械能守恒，实验中还必须测量的物理量有________。
A．轨道的半径R
B．小球的质量m
C．每次小球释放点离地面的高度h
D．每次小球在轨道上运动的时间t
(2)根据实验测得的物理量，写出小球在运动过程中机械能守恒应满足的关系式为F＝____________________________。
(3)写出一条提高实验精确度的建议：________________________。
5．如图所示装置可用来验证机械能守恒定律。摆锤A拴在长L的轻绳一端，另一端固定在O点，在A上放一个小铁片，现将摆锤拉起，使绳偏离竖直方向成θ角时由静止开始释放摆锤，当其到达最低位置时，受到竖直挡板P阻挡而停止运动，之后铁片将飞离摆锤而做平抛运动。
(1)为了验证摆锤在运动中机械能守恒，必须求出摆锤在最低点的速度，为了求出这一速度，实验中还应该测量哪些物理量？______________________。
(2)根据测得的物理量表示摆锤在最低点的速度v＝____________。
(3)根据已知的和测得的物理量，写出摆锤在运动中机械能守恒的关系式为________________。
6．用如图甲所示的实验装置验证质量分别为m1、m2的物体组成的系统机械能守恒。质量为m2的物体从高处由静止开始下落，质量为m1的物体上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量来验证机械能是否守恒。如图乙所示是实验中获取的一条纸带，0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点未画出，计数点间的距离如图乙所示。已知m1＝50 g，m2＝150 g。(g取10 m/s2，结果保留两位有效数字)
(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图甲所示的装置安装器件
B．将打点计时器接到直流电源上
C．先释放质量为m2的物体，再接通电源打出一条纸带
D．测量纸带上某些点间的距离
E．根据测量的结果，分别计算系统减少的重力势能和增加的动能
其中操作不当的步骤是________(填选项对应的字母)；
(2)在纸带上打下计数点5时的速度v＝________ m/s(打点频率为50 Hz)；
(3)在打点0～5过程中系统动能的增量ΔEk＝______ J，系统重力势能的减少量ΔEp＝________ J，由此得出的结论是________________________________；
(4)若某同学作出v2-h图像如图丙所示，写出计算当地重力加速度g的表达式____________，并计算出当地的实际重力加速度g＝________ m/s2。
参考答案
1．(1)CD
(2)A BCDF B中手应抓住纸带末端让重锤尽量靠近打点计时器 C中应先接通电源再松开纸带 D中应选取离O点较远的点 F中应计算ghn和v的值
(3)减小
(4)略大于
解析：(1)通过实验原理可知，重锤下落高度要用毫米刻度尺直接量出，下落这一高度时对应的瞬时速度用相邻两点间的平均速度求出，故需用工具测量的是C，通过计算得到的是D。
(2)因本实验是通过比较重力势能的减少量ΔEp是否等于动能的增加量ΔEk来验证机械能守恒的，由mghn＝mv可得ghn＝v，即只需验证ghn与v是否相等即可，不需要知道动能的具体数值，因而不需要测出重物(含重锤和夹子)的质量，故步骤A是不必要的。有错误或不妥的步骤是B、C、D、F。原因和更正办法分别是：①B中“让手尽量靠近打点计时器”应改为“让重锤尽量靠近打点计时器”。因打点计时器应从与重锤靠近的纸带处开始打点，不致留下过长的空白纸带，纸带也不宜过长，约40 cm即可。②C中应先接通电源，后松开纸带。因为只有当打点计时器工作正常后再让重锤下落，才可保证打第一个点时重锤的初速度为零，并且使纸带上的第一个点是清晰的小点。③D中应将“距离O点较近处”改为“距离O点较远处”。因为所取的各计数点应尽量是重锤自由下落运动的真实记录，而打点计时器接通电源开始工作后不一定很快就能达到稳定状态，同时开始的几个点比较密集，会增加长度测量的误差。④F中应将“mghn和mv”改为“ghn和v”。因本实验中是通过比较重锤的重力势能减少量mghn和动能增加量mv的大小来达到验证的目的，对于同一个研究对象(重锤)来说，质量是一定的，故只需比较ghn和v就能达到目的。
(3)打点计时器的两个限位孔如果不在同一竖直线上，纸带运动中就会与限位孔之间有摩擦，重物下落时要克服这个阻力做功，重力势能不能全部转化为动能，实验存在误差，纸带与限位孔之间的摩擦是无法避免的，这样做只能减小纸带与限位孔之间的摩擦。
(4)实际实验中，重锤要受到空气阻力，纸带和打点计时器的振针和限位孔之间有摩擦力，故重物下落时要克服这些阻力做功，重力势能不能全部转化为动能，有一小部分转化为内能，故重物减少的重力势能通常会略大于增加的动能。
2．(1)天平、停表、低压直流电源'刻度尺、低压交流电源
(2) 2.15 mgs2 2.37 2.31
解析：(1)该实验中通过打点计时器来记录重锤的运动时间，不需要停表，打点计时器需要的是交流电源，因此不需要低压直流电源，缺少低压交流电源，由于验证机械能守恒定律公式中可以把重锤的质量约掉，因此不需要天平，同时实验器材中缺少刻度尺。
(2)由匀变速直线运动的推论得打下D点时重锤的速度vD＝＝＝ m/s＝2.15 m/s。重锤动能的增加量ΔEk＝mv＝＝2.31 J。从打下A点到打下D点的过程中，重力势能的减少量ΔEp＝mgs2＝1.00×9.8×24.20×10－2 J＝2.37 J。
3．(1)
(2)两光电门间的距离L gLsinθ＝v－v
(3)不同 2gsinθ 0
解析：(1)用遮光条通过光电门的平均速度来代替瞬时速度，有：v＝。
(2)依据实验原理，除知道通过光电门1和2的速度分别为v1和v2，还需要测量两光电门间距L，当减小的重力势能完全转化为增加的动能，即：mgLsinθ＝mv－mv，化简得gLsinθ＝v－v，则可说明满足机械能守恒。
(3)将滑块从不同位置释放，测出滑块经过光电门1、2的速度v1、v2。以L为横坐标，以v－v为纵坐标，把所得的实验数据描点，若机械能守恒，则有v－v＝2gLsinθ；故得到一条斜率为k＝2gsinθ、截距为0的图线，说明机械能守恒。
4. (1)B (2)3mg－2mgsinθ (3)多次测量取平均值(其他答案合理即可)
解析：(1)小球沿轨道下滑过程中，只有重力做功，重力势能转化为小球的动能，根据机械能守恒定律得mgR(1－sinθ)＝mv2 ①，在轨道最低位置处，根据牛顿第二定律得F－mg＝m ②，联立①②式，可得mgR(1－sinθ)＝R(F－mg)，整理得mg(1－sinθ)＝(F－mg) ③，由③式可知，要验证小球沿轨道下滑过程中机械能守恒，实验中还必须测量小球的质量，故B正确，A、C、D错误。
(2)由(1)问中③式，可得
F＝3mg－2mgsinθ
(3)为提高实验精确度，可以多次测量取平均值，或者是减小空气阻力的影响(减小小球体积或增大其密度等)。
5．(1)遇到挡板后铁片的水平位移x和竖直下落高度h
(2)x
(3)L(1－cosθ)＝
解析：(1)本实验利用平抛运动规律求解摆锤在最低点的速度，需要测量遇到挡板后铁片的水平位移x和竖直下落高度h。
(2)根据平抛运动规律
x＝vt
h＝gt2
联立解得v＝x。
(3)摆锤下落过程中机械能守恒
mgL(1－cosθ)＝mv2
代入(2)中表达式得L(1－cosθ)＝。
6．(1)BC (2)2.4
(3)0.58 0.60 在误差允许的范围内，两物体组成的系统机械能守恒
(4)g＝v2 9.7
解析：(1)实验过程中，应将打点计时器接到交流电源上，B错误；应先接通电源，待打点计时器工作稳定后再释放质量为m2的物体，C错误。
(2)在纸带上打下计数点5时的速度为
v＝×10－2 m/s＝2.4 m/s
(3)ΔEk＝(m1＋m2)v2≈0.58 J，系统重力势能的减少量ΔEp＝(m2－m1)gh＝0.60 J，因此可得出：在误差允许的范围内，两物体组成的系统机械能守恒。
(4)因为
(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh
整理得g＝v2，整理也可得到
v2＝h
所以v2-h图像的斜率为
＝g
即
＝ m/s2
解得g＝9.7 m/s2。
第5节 科学验证：机械能守恒定律
1．(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
2．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
3．某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横杆(如图所示)，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
4．如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高？
5．如图所示，轻弹簧一端与墙相连，质量m＝2 kg的木块沿光滑水平面以v0＝5 m/s的初速度向左运动，当木块压缩弹簧后速度减为v＝3 m/s时弹簧的弹性势能是( )
A．9 J B．16 J
C．25 J D．32 J
6．如图所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为d，平均阻力为f。设木块滑行距离为s时开始匀速前进，下列判断正确的是( )
A．木块动能的增加量等于f(s＋d)
B．子弹损失的动能等于fs
C．子弹与木块总机械能的损失等于fs
D．子弹与木块总机械能的损失等于fd
参考答案
1．BC
解析：因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
2．A
解析：三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，机械能守恒，以地面为参考平面，设抛出点的高度为h，并设小球的质量为m，根据机械能守恒定律可得
mv2＝mv＋mgh
解得小球的末速度大小为
v＝
与小球抛出的方向无关，即三球的末速度大小相等，故A正确。
3．B
解析：将该同学视为做竖直上抛运动，整个过程机械能守恒，取地面为参考平面，最高点速度为零，由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2得
mv＋mgh1＝mgh2
其中h1为起跳时该同学重心的高度，即h1＝0.9 m，代入数据得起跳速度v0＝≈4 m/s，故选B。
4．解析：(1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点，设物体在B点的速度为vB，由机械能守恒定律得
mg·3R＋mv＝mv
解得v0＝。
(2)设物体从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒定律得
mgHB＝mv
解得HB＝4.5R。
所以物体离开C点后还能上升
HC＝HB－R＝3.5R
5．B
解析：由系统机械能守恒知，此时弹簧的弹性势能等于木块动能的减少量
Ep＝mv－mv2＝×2×52 J－×2×32 J＝16 J
故B正确，A、C、D错误。
6．D
解析：子弹相对地面的位移为(s＋d)，木块对子弹的阻力f做功为－f(s＋d)，根据动能定理，子弹损失的动能等于f(s＋d)，故B错误；对木块，子弹对木块的作用力做功为fs，根据动能定理得知，木块增加的动能为fs，故A错误；在整个过程中，系统阻力做功为－fd，根据功能关系可知，系统损失的机械能为fd，故C错误，D正确。
第5节 科学验证：机械能守恒定律
1．某位同学做利用自由落体运动“验证机械能守恒定律”的实验，下列操作步骤中错误的是( )
A．把打点计时器固定在铁架台上，用导线连接到低压交流电源
B．将连有重锤的纸带穿过限位孔，将纸带和重锤提升到一定高度
C．先释放纸带，再接通电源
D．更换纸带，重复实验，根据记录处理数据
2．“验证机械能守恒定律”的实验装置如图所示，实验中发现重物增加的动能略小于减少的重力势能，其主要原因是( )
A．重物的质量过大
B．重物的体积过小
C．电源的电压偏低
D．重物及纸带在下落时受到阻力
3．用落体法验证机械能守恒定律的实验中得到如图所示纸带。
根据纸带算出相关各点的速度v，测量出下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图像应是( )
4．(多选)为验证在自由落体过程中物体的机械能是守恒的，某同学设计了一个实验，实验装置如图所示，图中A、B两点分别固定了两个速度传感器，速度传感器可以测出运动物体的瞬时速度。在实验中测得一物体自由下落经过A点时的速度是v1，经过B点时的速度是v2，为了证明物体经过A、B两点时的机械能相等，这位同学又设计了以下几个步骤，你认为其中不必要或者错误的是( )
A．用天平测出物体的质量
B．测出A、B两点间的竖直距离
C．利用mv－mv算出物体从A点运动到B点的过程中动能的变化量
D．验证v－v与2gh是否相等
5．在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知电火花打点计时器所用的电源频率为50 Hz，查得当地的重力加速度为9.8 m/s2，测得所用的重物的质量为1.00 kg。实验中得到一条点迹清晰的纸带，把第一个点记作O，另选连续的4个点A、B、C、D作为测量的点。经测量知道A、B、C、D到O点的距离分别为62.99 cm、70.18 cm、77.76 cm、85.73 cm。根据以上数据，可知重物由O点运动到C点，重力势能的减少量等于________ J，动能增加量等于________ J。(取三位有效数字)。
6．现利用如图所示装置验证机械能守恒定律。图中AB是固定的光滑斜面，斜面的倾角为30°，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出。让滑块从斜面的顶端滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为5.00×10－2 s、2.00×10－2 s。已知滑块质量为2.00 kg，滑块沿斜面方向的长度为5.00 cm，光电门1和2之间的距离为0.54 m，g取9.80 m/s2，取滑块经过光电门时的速度为其平均速度(计算结果保留三位有效数字)。
(1)滑块经过光电门1时的速度v1＝________ m/s，通过光电门2时的速度v2＝________ m/s。
(2)滑块通过光电门1、2之间的动能增加量为________ J，重力势能的减少量为________ J。
7．某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律，频闪仪每隔0.05 s闪光一次，如图所标数据为实际距离，该同学通过计算得到不同时刻的速度如下表。(当地重力加速度取9.8 m/s2，小球质量m＝0.2 kg，结果保留三位有效数字)
时刻
t2
t3
t4
t5
速度(m/s)
4.99
4.48
3.98
(1)由频闪照片上的数据计算t5时刻小球的速度v5＝________ m/s。
(2)从t2到t5时间内，重力势能的增加量ΔEp＝________ J，动能的减少量ΔEk＝________ J。
(3)在误差允许的范围内，若ΔEp与ΔEk近似相等，即可验证了机械能守恒定律。由上述计算得ΔEp________ΔEk(选填“>”“<”或“＝”)，造成这种结果的主要原因是________________。
8．某同学利用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律。弧形轨道末端水平，离地面的高度为H。将钢球从轨道的不同高度h处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为s。
(1)若轨道完全光滑，s2与h的理论关系应满足s2＝________(用H、h表示)。
(2)该同学经实验测量得到一组数据，如下表所示：
h(10－1 m)
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
s2(10－1 m2)
2.62
3.89
5.20
6.53
7.78
请在图2坐标纸上作出s2-h关系图。
(3)对比实验结果与理论计算得到的s2-h关系图线(图2中已画出)，自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速率________(填“小于”或“大于”)理论值。
(4)从s2-h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率偏差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是
__________________________________________________________。
9．利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图所示。
(1)实验步骤：
①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平；
②用游标卡尺测量挡光条的宽度为l＝9.30 mm；
③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离s＝________ cm；
④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2；
⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2；
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m。
(2)用表示直接测量的字母写出下列所示物理量的表达式：
①滑块通过光电门1和光电门2时瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________。
②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝________和Ek2＝________。
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝________(重力加速度为g)。
(3)如果ΔEp减＝________，则可认为验证了机械能守恒定律。
参考答案
1．C
解析：“在验证机械能守恒定律”的实验中，应先接通打点计时器的电源，打点计时器稳定工作后再释放纸带，故C错误。
2．D
解析：本实验中重物增加的动能略小于减少的重力势能的原因是重物及纸带在下落时受到阻力，D正确。
3．C
解析：由机械能守恒定律得：mgh＝mv2，得：＝gh，可以看出与h成正比例关系，图线是过原点的直线，C正确。
4．AC
解析：物体重力势能的减少量为mgh，动能的增加量为mv－mv，计算gh和v－v，如果在实验误差允许的范围内gh＝v－v或2gh＝v－v，即可证明物体经过A、B两点时的机械能相等，故选A、C。
5．7.62 7.57
解析：C点到O点的距离hC＝77.76 cm，由此可知重力势能的减少量为mghC＝1.00×9.8×77.76×10－2 J≈7.62 J，C点的速度vC＝，代入数值解得vC≈3.89 m/s，所以重物动能的增加量为mvC≈7.57 J，在误差允许的范围内重力势能的减少量等于动能的增加量，即机械能守恒。
6．(1)1.00 2.50 (2)5.25 5.29
7．(1)3.48 (2)1.24 1.28
(3)< 存在空气阻力
解析：(1)v5＝×10－2 m/s＝3.48 m/s。
(2)重力势能的增加量ΔEp＝mgΔh，代入数据可得ΔEp≈1.24 J，动能的减少量ΔEk＝mv－mv，代入数据可得ΔEk≈1.28 J。
(3)由计算可得ΔEp<ΔEk，主要是由于存在空气阻力。
8．(1)4Hh (2)如图所示
(3)小于 (4)存在摩擦，小球在下落时可能具有转动动能(回答任一点即可)
解析：(1)根据机械能守恒定律及平抛运动知识可得：
mgh＝mv2①
H＝gt2，s＝vt②
联立①②得s2＝4Hh。
(2)利用描点法作图。
(3)由图像可知，测量值小于理论值。
(4)摩擦等因素都可导致结果偏差。另外小球的转动也需要能量维持，而机械能守恒中没有考虑重力势能转化成转动动能这一部分，也会导致实际速率明显小于理论速率。
9．(1)③60.00(59.96～60.04) (2)① ②(M＋m)2 (M＋m)2 ③mgs
(3)Ek2－Ek1
解析：由于挡光条宽度很小，因此可以将挡光条通过光电门时的平均速度当作滑块通过光电门的瞬时速度，因此，滑块通过光电门的瞬时速度为，由于质量已用天平测出，则可以得到滑块的动能。测出动能的增加量，测出重力势能的减少量，如果两者在误差允许的范围内相等，就验证了机械能守恒定律。
