第1节 天地力的综合：万有引力定律
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D．太阳是静止不动的
2．太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同．下列反映周期与轨道半径关系的图像正确的是( )
3．地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化．北半球冬至这天地球离太阳最近，夏至这天最远．下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法正确的是( )
A．地球公转速度是不变的
B．冬至这天地球公转速度大
C．夏至这天地球公转速度大
D．无法确定
4．下列关于开普勒行星运动规律的认识正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．对同一中心天体，所有行星的轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成反比
5．(多选)关于开普勒行星运动定律中的公式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星有关的常量
B．a代表行星运动的椭圆轨道半长轴
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
6．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间的平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为( )
行星名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周期(年)
0.241
0.615
1.0
1.88
11.86
29.5
A．1.2亿千米 B．2.3亿千米
C．4.6亿千米 D．6.9亿千米
参考答案
1．AB
解析：太阳系中八大行星绕太阳运动的轨迹都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；行星的运动轨迹为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误。
2．D
解析：由开普勒第三定律知＝k，所以R3＝kT2，选项D正确。
3．B
解析：北半球冬至这天地球与太阳的连线短，夏至这天最长．根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过的面积相等，则在相等的时间内冬至时地球运动的路径就要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至时的速度大。
4．A
解析：根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，A正确，B错误；根据开普勒第三定律，对同一中心天体，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，可知，行星的公转周期与行星的轨道半径不是反比关系，C、D错误。
5．BD
解析：＝k中的k仅与中心天体的质量有关，与行星无关，A错误；a代表行星绕中心天体做椭圆运动的轨迹的半长轴，B正确；公式中的T是行星运动的公转周期，C错误，D正确。
6．B
解析：由开普勒第三定律＝k知＝，故r火＝r地＝2.3亿千米。
第1节 天地力的综合：万有引力定律
1．关于太阳与行星间引力的公式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是引力常量，是人为规定的
B．太阳与行星间的引力是一对平衡力
C．公式中的G是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D．公式中的G是比例系数，与太阳的质量有关
2．(多选)下列关于万有引力定律的说法正确的是( )
A．万有引力定律是开普勒发现的
B．F＝G中的G是一个比例系数，是没有单位的
C．万有引力定律适用于质点间的相互作用
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G来计算，r是两球体球心间的距离
3．两颗行星都绕太阳做匀速圆周运动，它们的质量之比m1∶m2＝p，轨道半径之比r1∶r2＝q，则它们受到太阳的引力之比F1：F2为( )
A． B．
C． D．
4．苹果自由落向地面时加速度的大小为g，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为( )
A．g B．g
C．g D．无法确定
5．某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
6．设想把质量为m的物体(可视为质点)放到地球的中心，地球质量为M，半径为R.则物体与地球间的万有引力是( )
A．零 B．无穷大
C． D．无法确定
参考答案
1．C
解析：公式F＝G中的G是引力常量，它与开普勒第三定律中k＝的常数k不同，G与太阳质量、行星质量都没有关系，而k与太阳质量有关，故选项C正确。
2．CD
解析：万有引力定律是牛顿发现的；关系式中的G是一个比例系数，是有单位的；现阶段，我们认为万有引力定律公式适用于可以看作质点的两个物体间，实际上万有引力定律适用于一切物体，无论是宏观物体还是微观物体，有生命的物体或无生命的物体，所以由定律的内容知选项C、D正确。
3．D
解析：由F＝G得，＝·＝p·2＝，故选项D正确。
4．C
解析：在地面处苹果的重力等于苹果与地球间的万有引力，mg＝G，所以g＝，在离地面高R处人造卫星与地球间的万有引力提供向心力，G＝ma，所以a＝，即a＝g。
5．B
解析：万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h。
6．A
解析：把物体放到地球的中心时r＝0，此时万有引力定律不再适用．由于地球关于球心对称，所以吸引力相互抵消，整体而言，万有引力为零。A正确。
第1节 天地力的综合：万有引力定律
1．(多选)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度的大小之比
2．(多选)两颗小行星都绕太阳做圆周运动，其周期分别是T、3T，则( )
A．它们轨道半径之比为1∶3
B．它们轨道半径之比为1∶
C．它们运动的速度大小之比为 ∶1
D．以上选项都不正确
3．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天，已知地球半径R0＝6 400 km，试计算在赤道平面内离地面多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？
4．理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用．下面对于开普勒第三定律的公式＝k，说法正确的是( )
A．公式只适用于轨道是椭圆的运动
B．式中的k值，对于所有行星(或卫星)都相等
C．式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关
D．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离
5．航天飞机的飞行轨道都是近地轨道，轨道离地面的高度一般为300～700 km.航天飞机绕地球飞行一周的时间约为90 min，则航天飞机里的宇航员在24 h内可以看到日落日出的次数为( )
A．8次 B．1次 C．3次 D．16次
6．近几年，全球形成探索火星的热潮，发射火星探测器可按以下步骤进行。
第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，先使之成为一个绕地球轨道运动的人造卫星。
第二步，在适当时刻启动探测器上的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度增大到适当值，从而使探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道飞行，运行其半个周期后正好飞行到火星表面附近，使之成为绕火星运转的卫星，然后采取措施使之降落在火星上，如图。设地球的轨道半径为R，火星的轨道半径为1.5R，探测器从地球运行轨道到火星运行轨道大约需要多长时间？
参考答案
1．CD
由于火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由开普勒第三定律，＝k，k为常量，又v＝，则可知火星和地球到太阳的距离之比和运行速度大小之比，所以C、D正确。
2．BC
由题意知周期比T1∶T2＝1∶3，根据＝所以＝()＝，B正确，A错误；
又因为v＝，所以＝＝ ∶1，故C正确。
3．3.63×104 km
解析：月球和人造卫星都环绕地球运动，可用开普勒第三定律求解．设人造地球卫星轨道半径为R1，地球卫星的周期为T1＝1天；月球轨道半径为R2＝60R0，月球周期为T2＝27天。
根据开普勒第三定律＝k，有
＝
整理得
R1＝ ·R2＝ ×60R0＝×60R0＝6.67R0
所以人造地球卫星离地高度H＝R1－R0＝5.67R0＝3.63×104 km。
4．C
如果行星和卫星的轨道为圆轨道，公式＝k也适用，但此时公式中的a为轨道半径，故A错误；比例系数k是一个由中心天体决定而与行星无关的常量，但不是恒量，不同的星系中，k值不同，故B错误，C正确；月球绕地球转动的k值与地球绕太阳转动的k值不同，故D错误。
5．D
当航天飞机飞到地球向阳的区域，阳光能照射到它时为白昼，当飞到地球背阳的区域，阳光被地球挡住时就是黑夜，因航天飞机绕地球一周所需的时间约为90 min，所以，航天飞机里的宇航员在24 h内看到日落日出的次数为n＝次＝16次，D正确。
6．8.4月
解析：由题可知，探测器在飞向火星的椭圆轨道上运行时，其轨道半长轴为
a＝＝1.25R
由开普勒定律可得＝，即
T′＝ ＝T地 ＝1.4T地
所以t＝＝0.7T地＝8.4月。
第1节 天地力的综合：万有引力定律
1．有两个大小一样，由同种材料制成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成的两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们之间的万有引力将( )
A．等于F B．小于F
C．大于F D．无法比较
2．(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
3．如图所示，等边三角形ABC边长为L，在三角形的三个顶点A、B、C各固定质量均为m的三个小球，已知万有引力常量为G，则C点小球受A、B两点小球的万有引力的合力为多少？
4．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
5．理论上认为质量分布均匀的球壳对球壳内的物体的万有引力为零。如图所示，一半径为R、质量分布均匀的实心球，O为球心，以O点为原点建立坐标轴Ox。质量一定的小物体(可视为质点且假设它能够放置在球体内部)沿坐标轴Ox方向运动，小物体在坐标x1＝R与x2＝R处所受到实心球对它的万有引力分别为F1、F2，则F1、F2的大小之比为( )
A．9∶8 B．8∶9
C．1∶9 D．9∶1
6．如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
参考答案
1．B
设球的半径为R，密度为ρ，则球的质量为m＝πR3ρ，根据万有引力定律，两个相同的球紧靠在一起时的万有引力为F＝G＝Gπ2R4ρ2，由此可知，用同种材料制作两个更小的球，靠在一起时的万有引力F′，比两个大球紧靠在一起时的万有引力F小，故选项B正确。
2．B
若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足G＝ma，即加速度a与距离r的平方成反比，由题中数据知，选项B正确，其余选项错误。
3．G
解析：C点小球受引力如图所示，则
F1＝F2＝G
据平行四边形定则有
F合＝2F1cos 30°＝G
4．D
由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
5．A
设实心球的密度为ρ，实心球的质量为M，则有M＝ρ·πR3，在x1＝处，小物体受到的引力为F1＝G，其中M′＝ρ·π3，可得F1＝G；在x2＝R处，小物体受到的引力为F2＝G，所以F1∶F2＝9∶8，A正确。
6．
解析：火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′。
由牛顿第二定律得
mg－mg′＝m×
得
g′＝g①
由万有引力定律知
G＝mg②
G＝mg′③
由①②③联立得h＝。
