第三章变量之间的关系
3.2用关系式表示的变量间关系
一、教学目标
1.能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系；
2.探索某些图形中变量之间的关系，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感；
3.能根据关系式求值，体会自变量和因变量的数值对应关系．
二、教学重点就难点
重点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．
难点：理解变量之间的关系，正确列出关系式．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片和资料
五、教学过程
【复习回顾】
面积公式,在这个公式中圆的面积随半径变化而变化；实际上，在现实生活中经常会见到这样的公式．
今天我们就来探讨这种公式所蕴含的变化间的关系.
设计意图：通过具体问题，让学生体会身边的生活中存在着用公式表示的量与量之间的关系．
【探究新知】
活动1.三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？
如果△ABC底边BC上的高是6厘米．当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？在这个变化过程中，△ABC中的哪些因素在改变？
(1)这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为________________．
（3)当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从_____平方厘米变化到_____平方厘米.
提示：(1)△ABC底边BC边上的高AD的长，△ABC的面积；(2)3x；（3）36,9.
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，如y=3x，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值（如图）．
像（2）中这样表示两变量间关系的式子今后我们会经常见到，下面我们来进一步探讨．
设计意图：通过图形的变化过程求三角形的面积，感受利用关系式可以表示两个变量之间的变化关系．
活动2.(1)根据要求填写下列的表格.
根据三角形的底边长为x（厘米），和三角形的面积y（厘米2）的关系式填表：
x(cm) … 10 9 8 7 6 5 4 …
y(cm2) … …
(2)通过填表、探究，说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？
总结：y=3x表示了图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式；
设计意图：利用表格中数值的变化求三角形的面积，感受两个变量之间的对应关系，已知其中一个变量，求另一个变量．
活动3.做一做
如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是_____________．
(2)如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与r的关系式是____________．
(3)当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由______厘米3变化到______厘米3．
提示：（1）圆锥的底面半径；的面积．
（2）
（3）；
设计意图：在三角形面积探索的基础上，进行圆锥体积的探索，进一步熟悉用关系式表达变量之间的关系．
活动4.议一议：
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式．
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为_____________，其中的字母表示________________．
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1 KW·h，二氧化碳排放量增加________________．当耗电量从1 KW·h增加到100 KW·h时，二氧化碳排放量从________________增加到________________．
（3）小明家本月用电大约110KW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
提示：（1）y=0.785x； x表示耗电量
（2）0.785； 0.785 78.5
（3）0.785×110+20×0.19+5×0.91+75×2.1＝252.2
设计意图：通过生活中的背景表格，让学生从关系式的角度，初步感受变量之间的对应思想．
【典型例题】
例1.托运行李P千克（P为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）费用增加0.5元，如果行李的重量是5千克那么托运费是多少元？
分析：因为P千克可写成，其中1千克付费2元，千克增加费用，所以．
解：
当时，（元）
即：5千克的托运费是4元．
例2．一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：
行驶时间t(h) 0 1 2 3 4 …
油箱中剩余 油量Q(L) 54 46.5 39 31.5 24 …
请你根据表格，解答下列问题：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势是怎样的？
(3)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量；
(4)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？
分析：(1)认真分析表中数据可知，油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，再根据自变量、因变量的定义找出自变量和因变量；(2)由表中数据可知随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势；(3)由分析表中数据可知，每行驶1h消耗油量为7．5L．然后根据此关系写出油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的代数式；(4)根据图表可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱原有汽油54L，即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．
解：(1)表中反映的是油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，时间t是自变量，油箱中剩余油量Q是因变量；
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中的剩余油量在不断减小；
(3)由题意可知汽车行驶每小时耗油7．5L，Q＝54－7．5t；把t＝6代入得Q＝54－7．5×6＝9(L)；
(4)由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱中原有54L汽油，可以供汽车行驶54÷7.5＝7.2(h)．
答：最多能连续行驶7.2h．
例3．如图，长方形的长是16，宽为，周长是，面积为．
(
16
x
)（1）写出和之间的关系式；
（2）写出和之间关系式；
（3）当时，等于多少？等于多少？
（4）当增加2时，增加多少？增加多少？
分析：该题的关键是根据长方形周长和面积公式写出和，和之间的关系式．
解：（1）由长方形的周长公式，得
（2）由长方形的面积公式，得
（3）当
（4）当增加2时，有，所以，当增加2时，增加32；
，所以当增加2时，增加4．
设计意图：观察表中的数据，发现其中的变化规律，然后根据其增减趋势写出自变量与因变量之间的关系式．
【随堂练习】
1．（1）图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是( )
A．y＝4n－4 B．y＝4n
C．y＝4n＋4 D．y＝n2
解：由图可知n＝1时，圆点有4个，即y＝4；n＝2时，圆点有8个，即y＝8；n＝3时，圆点有12个，即y＝12，∴y＝4n．故选B．
（2）如图，△ABC的底边边长BC=a，当顶点A沿BC边上的高AD向D点移动到E点，使DE=AE时，△ABC的面积将变为原来的( )．B
A． B． C． D．
（3）如图，△ABC的面积是2cm2，直线l∥BC，顶点A在l上，当顶点C沿BC 所在直线向点B运动(不超过点B)时，要保持△ABC的面积不变，则顶点A应( )．A
A．向直线l的上方运动； B．向直线l的下方运动；
C．在直线l上运动； D．以上三种情形都可能发生．
（4）根据图所示的程序计算y值，若输入的x的值为时，则输出的结果为( )．C
A． B． C． D．
（5）如图，△ABC中，过顶点A的直线与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动，且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是( )．C
A．由大变小 B．由小变大
C．先由大变小，后又由小变大 D．先由小变大，后又由大变小
2．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)6小时后池中还有多少水？
(3)几小时后，池中还有200立方米的水？
解：(1)Q＝800－50t(0≤t≤16)；
(2)当t＝6时，Q＝800－50×6＝500(立方米)．
答：6小时后，池中还剩500立方米的水；
(3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12．
答：12小时后，池中还有200立方米的水．
3.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
写出用t表示s的关系式：________．
解：观察表中给出的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出关系式．t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×32；t＝4时，s＝2×42，…所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t≥0．故答案为s＝2t2(t≥0)．
4．南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，若有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只选择其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示:
运输工具 途中速度(km/h) 途中费用(元/km) 装卸费用(元) 装卸时间
飞机 200 16 1000 2
火车 100 4 2000 4
汽车 50 8 1000 2
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/h，记A、B两市间的距离为xkm．
(1)如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求W1、W2、W3与x间的关系式；
(2)当x=250时，应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?
解：(1)W1=16x+1000+200(+2)=17x+1400
W2=4x+2000+200(+4)=6x+2800
W3=8x+1000+200(+2)=12x+1400
(2)当x=250时，W1=17×250+1400=5650(元)
W2=6×250+2800=4300(元)
W3=12×250+1400=4400(元)，因为W1>W2>W3，所以应采用火车运输， 才能使运输时的总支出费用最小．
设计意图：本题以关系式法表示时间t与距离s之间的关系，认真观察分析s随t的变化而变化的规律是列出关系式的关键．
【课堂小结】
1．用关系式表示变量间关系：
（1）涉及到图形的面积或体积时，写关系式的关键是利用面积或体积公式写出等式；
（2）一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边；
（3）已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，千万不要代错了．
2．表格和关系式的区别与联系：
表格能直接得到某些具体的对应值，但不能直接反映变量的整体变化情况；用关系式表示变量之间的关系简单明了，便于计算分析，能方便求出自变量为任意一个值时，相对应的因变量的值，但是需计算．
设计意图：总结学习过程中的注意事项，比较知识点之间的关系，更好理解本节课的内容.
【板书设计】
(
3.2
用关系式表示的变量间关系
一、表示变量之间关系：关系式
二
、
练习
)
(共29张PPT)
第三章变量之间的关系
3.2 用关系式表示的变量间关系
学习目标
1.能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系；
2.探索某些图形中变量之间的关系，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感；
3.能根据关系式求值，体会自变量和因变量的数值对应关系．
圆的面积中，只要知道圆的半径就可以了，因为有面积公式 ，在这个公式中，圆的面积随半径的变化而变化．
实际上，在现实生活中经常会见到这样的公式．
今天，我们就来探讨这种公式所蕴含的变化间的关系．
问题情境
三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？
（高一定）变化中的三角形（如图）
A
B
C
C
C
C
探究新知
如果△ABC底边BC上的高是6厘米．当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？在这个变化过程中，△ABC中的哪些因素在改变？
(1) 这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
△ABC底边BC边上的高AD的长，△ABC的面积．
探究新知
(2)如果三角形的底边长为 x（厘米），那么三角形的面积 y（厘米2）
可以表示为 _____．
3x
(3)当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从_____平方厘米变化到_____平方厘米.
36
9
y = 3x 表示了图中三角形底边长 x 和面积y之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的关系式；
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，如 y = 3x，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值（如图）．
探究新知
根据要求填写下列的表格.
根据三角形的高为6，底边长为 x（厘米）和三角形的面积 y（厘米2）的关系式填表：
x(cm) … 10 9 8 7 6 5 4 …
y(cm2) … ? ? ? ? ? ? ? …
通过填表、探究，说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？
30
27
24
21
18
15
12
探究新知
做一做：
如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化.
4 cm
探究新知
(1)在这个变化过程中，自变量是________________，因变量是______________．
(2)如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与 r 的关系式是_________．
(3)当底面半径由1 厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由______厘米3变化到_______厘米3．
圆锥的底面半径
圆锥的体积
V= πr 3
4
_
3
π
4
_
3
π
4000
_____
3
探究新知
议一议：
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式．
探究新知
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为__________，其中的字母表示______________________________________．
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1 KW·h，二氧化碳排放量增加_______．当耗电量从1 KW·h增加到100 KW·h时，二氧化碳排放量从_______增加到______．
（3）小明家本月用电大约110 KW·h、天然气20m3、自来水5 t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
y=0.785x
x表示耗电量，y表示二氧化碳排放量
0.785
0.785
78.5
0.785×110+20×0.19+5×0.91+75×2.1＝252.2
探究新知
解：C = 2 + 0.5（P-1）= 0.5P + 1.5
例1．托运行李P千克（P为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）费用增加0.5元，如果行李的重量是5千克那么托运费是多少元？
当 P = 5 时，C = 0.5 × 5 + 1.5 = 4元
即：5 千克的托运费是 4 元．
典型例题
例2 ．一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：
行驶时间t(h) 0 1 2 3 4 …
油箱中剩余油量Q(L) 54 46.5 39 31.5 24 …
典型例题
请你根据表格，解答下列问题：
(1) 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
哪个是因变量？
解：表中反映的是油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，时间t是自变量，油箱中剩余油量Q是因变量；
(2) 随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势
是怎样的？
随着行驶时间的不断增加，油箱中的剩余油量在不断减小；
典型例题
(3) 请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶
6h后，油箱中的剩余油量；
由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，Q＝54－7.5t；把t＝6代入得Q＝54－7.5×6＝9(L)；
(4) 这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间
是多少？
由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱中原有54L汽油，可以供汽车行驶54÷7.5＝7.2(h)．
答：最多能连续行驶7.2h．
典型例题
例3.如图，长方形的长是16，宽为 x ，周长为 y，面积为 S．
（1） 写出 x 和 y 之间的关系式；
解：由长方形的周长公式，得，y = 2( x + 16 )= 2x + 32 ．
（2） 写出 x和 S之间关系式；
由长方形的面积公式，得S = 16 x．
典型练习
（3）当 S = 160 时， x 等于多少， y 等于多少？
当 x = 160 ， x = 10 ， y = 52
（4）当 x 增加 2 时，y 增加多少？S 增加多少？
当 x 增加 2 时，有 S= 16x + 32，所以，当 x 增加 2 时，S 增加 32;
y? = 2 ( x + 2 ) + 32 =( 2x + 32 ) + 4，所以当 x 增加 2 时， y 增加 4.
1．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是( )
A．y＝4n－4 B．y＝4n
C．y＝4n＋4 D．y＝n2
解析：由图可知n＝1时，圆点有4个，即y＝4；n＝2时，圆点有8个，即y＝8；n＝3时，圆点有12个，即y＝12，∴y＝4n．故选B．
B
随堂练习
随堂练习
（2）如图，△ABC的底边边长BC=a，当顶点A沿BC边上的高AD向D点移动到E点，使DE= AE时，△ABC的面积将变为原来的 ( )．
A． B． C． D．
B
随堂练习
（3）如图，△ABC的面积是2cm2，直线l∥BC，顶点A在l上，当顶点C沿BC 所在直线向点B运动(不超过点B)时，要保持△ABC的面积不变，则顶点A应( )．
A．向直线l的上方运动； B．向直线l的下方运动；
C．在直线l上运动； D．以上三种情形都可能发生．
A
随堂练习
（4）根据图所示的程序计算y值，若输入的x的值为 时，则输出的结果为( )．
A． B．
C． D．
C
随堂练习
（5）如图，△ABC中，过顶点A的直线与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动，且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是( )．
A．由大变小 B．由小变大
C．先由大变小，后又由小变大
D．先由小变大，后又由大变小
C
2．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数关系式；
解：(1)Q＝800－50t(0≤t≤16)；
(2)6小时后池中还有多少水？
当t＝6时，Q＝800－50×6＝500(立方米)．
答：6小时后，池中还剩500立方米的水；
随堂练习
(3)几小时后，池中还有200立方米的水？
当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12．
答：12小时后，池中还有200立方米的水．
3.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
写出用t表示s的关系式：____________．
s＝2t2(t≥0)
随堂练习
随堂练习
4．南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，若有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只选择其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示:
随堂练习
运输工具 途中速度(km/h) 途中费用(元/km) 装卸费用(元) 装卸时间
飞机 200 16 1000 2
火车 100 4 2000 4
汽车 50 8 1000 2
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/h，记A、B两市间的距离为xkm．
(1)如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求W1、W2、W3与x间的关系式；
(2)当x=250时，应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?
随堂练习
解：(1)W1=16x+1000+200( +2)=17x+1400
W2=4x+2000+200( +4)=6x+2800
W3=8x+1000+200( +2)=12x+1400
(2)当x=250时，W1=17×250+1400=5650(元)
W2=6×250+2800=4300(元)
W3=12×250+1400=4400(元)，因为W1>W2>W3，所以应采用火车运输， 才能使运输时的总支出费用最小．
1．用关系式表示变量间关系：
（1）涉及图形的面积或体积时，写关系式的关键是利用面积或体积公式写出等式；
（2）一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边；
（3）已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，千万不要代错了．
课堂小结
2．表格和关系式的区别与联系：
表格能直接得到某些具体的对应值，但不能直接反映变量的整体变化情况；用关系式表示变量之间的关系简单明了，便于计算分析，能方便求出自变量为任意一个值时，相对应的因变量的值，但是需计算．
课堂小结
再 见
