备考2020中考数学一轮专题复习学案18 三角形（含答案）

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备考2020中考数学一轮专题复习学案18
三角形



考点 课标要求 考查角度
1 三角形的有关概念 ①了解三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，理解三角形形成的条件，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性；②掌握三角形的内角和定理及推论；③了解三角形重心的概念 常以选择题、填空题的形式考查三角形的三边关系、三角形的内角和定理、外角与内角的关系以及三角形的中位线等知识
2 全等三角形 了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件和性质 常以选择题、填空题、证明题的形式考查三角形全等的判定和性质，近年来全等类开放性、探索性试题是中考命题的热点
3 等腰三角形 了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理.探索并掌握等腰三角形的判定定理.探索等边三角形的性质定理及判定定理. 常以选择题、填空题、解答题的形式考查
4 直角三角形 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 常以选择题、填空题、解答题的形式考查



1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形．
2.三角形中的主要线段：
(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点所得到的线段，叫做三角形这边上的中线．
(2)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和垂足的线段，叫做三角形这边上的高线（简称三角形的高）．
(3)三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个角的平分线与对边交点的线段，叫做三角形的角平分线．
(4)三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
3.三角形的边之间关系：
(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.
推论：三角形的两边之差小于第三边.
(2)三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围.
③证明线段不等关系.
【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围.
4.三角形的角之间关系：
(1)三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
推论：
①直角三角形的两个锐角互余.
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(2)三角形的外角和等于 360° ；
5.三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.
6.三角形的分类：
按边分：

按角分：


【例1】 （2019·石家庄新华区质量检测）将一幅三角尺按图示的方式摆放(两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶点重合)，连接另外两条锐角顶点，并测得∠1＝47°，则∠2的度数为(　　)
A. 60° B. 58° C. 45° D. 43°

【答案】B．
【解答】如下图，∵∠3＝180°－60°－45°＝75°，∴∠2＝180°－∠1－∠3＝58°. 故选B．

【例2】（2019·扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n＋2、n＋8、3n，则满足条件的n的值有(　　)
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
【答案】D．
【解答】由三角形两边之和大于第三边可得：，解得2【例3】（2019·青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为(　　)
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°

【答案】C．　
【解答】如下图，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝35°，∴∠1＝∠2＝17.5°.∵AE⊥BD，∴BF为AE边上的中线，∴AD＝DE，∠5＝90°－∠1＝72.5°.∴∠3＝∠4.∴∠CDE＝2∠3.∵∠C＝50°，∴∠BAC＝95°.∴∠3＝∠BAC－∠5＝22.5°.∴∠CDE＝2∠3＝45°.故选C．



1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．
2.三角形全等的判定：
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

【例4】（2019·衡水故城县期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，若∠AED＋∠BCE＝52°，则∠ACD的度数为（ ）
A. 25° B. 26° C. 27° D. 28°
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【答案】B．
【解答】∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵∠AED＋∠DEC＋∠CEB＝180°，∠CEB＋∠ABC＋∠BCE＝180°，∴∠AED＝∠BCE.∵∠AED＋∠BCE＝52°，∴∠AED＝∠BCE＝×52°＝26°.∴∠ACD＝∠BCE＝26°．


1.等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.21教育名师原创作品
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2.等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
3.等边三角形：
(1)定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.
(3)判定:三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

【例5】（2019·内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）
A. 16 B. 12 C. 14 D. 12或16
【答案】A．
【解析】方程x2－8x＋15＝0的两个根为3，5.但长度为3，3，6的三条线段不能构成三角形，故该三角形的三边为5，5，6，即周长为16.故答案为A．


1.直角三角形定义:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2. 直角三角形的性质:
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3. 直角三角形的判定：
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
4.勾股定理及逆定理：
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

【例6】（2019·重庆市12/26）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B．
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．
【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
故选：B．


1． (2019·荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是(　　)
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
　　
2.(2019·石家庄藁城区模拟)李老师布置了一道作图作业：“将一条12cm的线段分成三段，然后用这三条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5cm，5cm，2cm；小王：3cm，4cm，5cm；小赵：3cm，3cm，6cm；小张：4cm，4cm，4cm.其中，分法不正确的是(　　)
A．小李 B．小王 C．小赵 D．小张
3. (2019·杭州)在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则(　　)
A. 必有一个内角等于30° B. 必有一个内角等于45°
C. 必有一个内角等于60° D. 必有一个内角等于90°
4. (2019·眉山)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是(　　)
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°


5. (2019·张家界)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

6. (2018·邯郸二模)三个全等三角形按如图所示的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是(　　)
A. 90° B. 120° C. 135° D. 180°

7. （2019·河北中考说明）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝60 cm，AB＝100 cm，a，b，c，…，是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a，b，c，…的个数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

8. （2018·包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（ ）
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°

9. （2018·陕西）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(　　)
A. B. 2 C. D. 3

10.（2019·呼和浩特）下面三个命题①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题序号为________．
11. （2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为________．
12. （2019·株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．

13. （2019·成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为________．

14. （2019·甘肃）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．
15. （2019·盐城）如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．

16.（2019·通辽15/26）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为　 　．
17.（2019·北京市12/28）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．

18. (2019·杭州)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B；
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．

19.（2019·兰州）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E.求证：AC∥DF.

20.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O，求证：
（1）△DBC≌△ECB；
（2）OB＝OC.

21. （2019·温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．

22.（2019·石家庄十八县联考二）如图，直线a∥b，点M，N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E，设∠NPE＝α.
(1)证明：△MPD∽△NPE；
(2)当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置；
(3)当△NPE是等腰三角形时，求α的值．


1．【答案】C.　
【解析】如下图，可得∠3＝∠2＝45°，∠4＝60°，∴∠1＝45°＋60°＝105°.

2．【答案】C.
【解析】∵3＋3＝6，不满足三角形两边之和大于第三边∴长为3 cm，3 cm，6 cm的三条线段不能作一个三角形，故选C.
3．【答案】D.　
【解析】设这三个内角分别为∠A，∠B，∠C，则∠A＝∠B－∠C，移项得∠A＋∠C＝∠B，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠B ＝180°，即∠B ＝90°.
4．【答案】C.　
【解析】∵∠B＝30°，∠ADC＝70°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝70°－30°＝40°.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD＝40°.∴∠C＝180°－∠ADC－∠DAC＝180°－70°－40°＝70°.
5．【答案】C.　
【解析】如下图，过点D作DE⊥AB于点E.∵DC＝AD，∴DC＝AC.∵AC＝8，∴DC＝×8＝2.∵∠C＝90°，∴BC⊥CD.又∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝2，故选C.

6．【答案】D.　
【解析】如下图，由图形可得∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋∠3＋∠9＋∠7＝540°，∵三个三角形全等，∴∠4＋∠6＋∠9＝180°.又∵∠5＋∠7＋∠8＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝540°－180°－180°＝180°.

7．【答案】D.　
【解析】如下图．易证△BDE≌△EFG≌△GKH≌△HLM，可得BD＝EF＝GK＝HL＝BC－DC＝－72＝8 cm，根据此规律，共有80÷8－1＝9个这样的矩形．

8．【答案】D.　
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠C＋∠BAC＝145°，∴∠B＝180°－(∠C＋∠BAC)＝180°－145°＝35°.∴∠C＝35°.∵∠DAE＝90°，∴∠ADC＝55°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝45°.∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝55°－45°＝10°.
9．【答案】C.　
【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，AC＝8，∴AD＝AC·sin45°＝8×＝4.∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°－60°＝30°.∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE＝30°.∴∠BAD＝∠ABE，∴AE＝BE，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝30°.∴DE＝BE＝AE.∵AE＋DE＝AD，∴AE＋AE＝4.∴AE＝.
10．【答案】①②.　
【解析】命题①顶角相等的等腰三角形则三角都相等，若有底边相等则两三角形全等；命题②如解图所示，若AB＝EF，BC＝FG，AH、EI分别为BC、FG边上的中线，则有△ABH≌△EFI，即有∠B＝∠F，即有△ABC≌△EFG；命题③错误．

11．【答案】36°.　
【解析】这个等腰三角形的顶角为180°－2×72°＝36°.
12．【答案】4.　
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2MC，∵E、F分别为MB、BC的中点，∴EF是△CMB的中位线．又∵EF＝1，∴MC＝2EF＝2.∴AB＝2MC＝4.
13．【答案】9.　
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE.∴CE＝BD＝9.
14．【答案】或.　
【解析】当∠A为顶角时，则底角∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝50°，此时的特征值k＝＝；当∠A为底角时，则顶角(∠B或∠C)＝180°－2∠A＝20°，此时的特征值k＝＝.故答案为或.
15．【答案】2.　
【解析】如下图，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝x，AC＝x.∴AB＝AC＝2x.在Rt△ABD中，BD＝＝＝x，∴BC＝BD＋CD＝x＋x＝(＋1)x＝＋＝(＋1)，解得x＝，∴AC＝2.

16．【答案】6或或．
【解析】解：①如图1：

当AB＝AC＝5，AD＝4，
则BD＝CD＝3，
∴底边长为6；
②如图2：

当AB＝AC＝5，CD＝4时，
则AD＝3，
∴BD＝2，
∴BC＝＝，
∴此时底边长为；
③如图3：

当AB＝AC＝5，CD＝4时，
则AD＝＝3，
∴BD＝8，
∴BC＝，
∴此时底边长为．
故答案为：6或或．
17．【答案】45．
【解析】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．

18．【解答】(1)证明：∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB.
∴∠PAB＝∠B.
∴∠APC＝∠PAB＋∠B＝2∠B；
(2)解：根据题意得BQ＝BA，
∴∠BAQ＝∠BQA，
设∠B＝x，
∴∠AQC＝∠B＋∠BAQ＝3x，
∴∠BAQ＝∠BQA＝2x，
在△ABQ中，x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，即∠B＝36°.
19．【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(SAS)．
∴∠ACB＝∠DFE.
∴AC∥DF.
20．【解答】 (1)证明：∵AB＝AC，
∴∠DBC＝∠ECB.
∵BD＝CE，BC＝BC,
∴△DBC≌△ECB(SAS)；
(2)解：∵△DBC≌△ECB，
∴∠EBC＝∠DCB.
∴OB＝OC.
21．【解答】(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△BDE与△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)；
(2)解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2.
∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴△ABC为等腰三角形．
∴AC＝AB＝3.
22．【解答】(1)证明：∵a∥b，∴∠1＝∠PNE.
又∵∠MPD＝∠NPE＝α，
∴△MPD∽△NPE；
(2)解：当△MPD与△NPE全等时，点P是MN的中点；
(3)解：①当PN＝PE时，∠PNE＝∠PEN＝70°.
∴α＝180°－∠PNE－∠PEN＝180°－70°－70°＝40°.
∴α＝40°；
②当EP＝EN时，
α＝∠PNE＝∠1＝70°；
③当NP＝NE时，
α＝∠PEN＝＝＝＝55°.
综上所述：α的值为40°或70°或55°.



中考命题说明

知识点1：三角形的有关概念


知识点梳理

典型例题

知识点2： 全等三角形


知识点梳理

典型例题

知识点3： 等腰三角形


知识点梳理

典型例题

知识点4：直角三角形


知识点梳理

典型例题

巩固训练

巩固训练参考答案



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