第四章三角形
4.1认识三角形
第1课时
一、教学目标
1.认识三角形；
2.理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题；
3.掌握三角形的分类，能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形进行判定．
二、教学重点及难点
重点：三角形内角和定理及应用；
难点：三角形内角和定理的探究．
三、教学准备
多媒课件
四、相关资源
相关图片，动画
五、教学过程
【问题情境】
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“不行啊！这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．
同学们，你们知道其中的道理吗？
设计意图：使学生能从生活中抽象出几何图形，感受到我们生活在几何图形的世界之中．培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质，从而启发学生学习数学的兴趣，通过设问激发学生探究的好奇心和急于寻找答案的欲望．
【探究新知】
探究一：三角形的认识
观察图片，提出问题：
(1)你能从中找出四个不同的三角形吗？
(2)这些三角形 (
斜梁
斜梁
横梁
)有什么共同的特点？
通过上题的分析引导学生归纳三角形的概念、基本要素（边、角、顶点），体会用符号表示三角形的必要性，培养学生观察分析能力及归纳总结的能力．
定义：（1）由不在同一直线上的三条线段首尾相连所组成的图形叫做三角形；
（2）三角形有三个内角、三条边和三个顶点，可用符号△表示；
（3）△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示．如图，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、 边AB分别用b，c来表示．
设计意图：让学生从生活中的图片中抽象出三角形模型，然后通过讨论概括三角形的特征，最后上升到对三角形概念、构成要素、符号表示的认识．
探究二：三角形的内角和
１．我们在小学就知道，任意一个三角形的内角和等于180°．我们当时是通过什么方法得出这一结论的？（度量和剪拼）．
2．大家用量角器度量一下准备好的三角形硬纸片的三个内角，验证一下，三角形内角和的关系．（∠A＋∠B＋∠C＝180°）．
3．大家把准备好的三角形硬纸片标出三个内角的编码，然后把三角形的两个角剪下，拼在第三个角顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，你发现了什么？
（∠A＋∠B＋∠ACB＝180°）．
4．把∠B和∠C剪下，按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，你发现了什么？
（∠MAN＝180°）．
我们通过度量和剪拼的方法，验证了三角形内角和等于180°．
设计意图：通过学生度量和剪拼，讨论思考，调动每位同学学习的热情和主动性．
探究三：三角形的分类
活动1.猜一猜藏在信封后面的是什么三角形？
（1） （2） （3）
（1）是直角三角形；（2）是钝角三角形；（3）无法判断是什么三角形．
从以上可以看出，一个三角形中，只能有一个直角两个锐角或一个钝角两个锐角或三个锐角；进而得到按角来分的三角形分类.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC．
设计意图：通过图形，教师提出问题，激发学生探究的好奇心和求知欲．
活动2.（1）直角三角形的两个锐角之间有怎样的关系？
在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即∠A＋∠B＋90°＝180°，
所以∠A＋∠B＝90°．
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形一定是直角三角形吗？
在三角形ABC中，∠A＋∠B＝90°，由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即90°＋∠C＝180°，
所以∠C＝90°．
也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形．
设计意图：通过研究直角三角形的内角和，得出结论，培养学生由一般到特殊的思维，培养学生思维的多元转化能力．
【典型例题】
例1.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内．
锐角三角形：③⑤；
直角三角形：①④⑥；
钝角三角形：②⑦．
例2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶4，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：设每一份角为x°，则∠A＝2x°，∠B＝2x°，∠C＝4x°．
由三角形内角和定理，可得
2x＋2x＋4x＝180，
解得x＝22.5，
2x＝2×22.5＝45，4x＝4×22.5＝90．
答：∠A为45°，∠B为45°，∠C为90°．
例3.如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样求出∠ACB的度数？根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠ABC的度数即可．
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．
∵AD∥BE，
∴∠BAD＋∠ABE＝180°．
∴∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°．
∴∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看AB两岛的视角∠ACB＝90°．
设计意图：通过例题，强化学生对内角和定理的应用能力及规范学生做题的步骤个格式．
例4．如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．
证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°．
∵EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，
∴∠PEF＋∠PFE＝（∠BEF＋∠DFE）＝×180°＝90°，
∴△EPF是直角三角形．
设计意图：强化训练，加深对内角和定理的灵活运用对“直角三角形的两锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”两个结论的理解及应用．
例5.如图∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED．
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE．
设计意图：强化训练对“直角三角形的两锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”两个结论的理解及应用．
例6.（1）在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝43°，则∠ACB＝ ，∠ACD＝ ．82,98
（2）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠ACB＝ ．50
设计意图：考查学生对三角形内角和定理的理解．
（3）在直角三角形ABC中，一个锐角为40°，则另一个锐角是_______．50
设计意图：考查学生对“直角三角形两锐角互余”的理解．
【随堂练习】
1．填空：
（1）若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；50
（2）已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°．54，90．
（3）如下图，直线AB∥CD，EF⊥CD，F为垂足．如果∠GEF＝20°，那么∠1的度数是______°．70
设计意图：通过巩固练习，加强学生对内角和定理的理解及变形应用能力．
2．（1）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）．D
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为（ ）．C
A．35° B．45° C．55° D．65°
设计意图：强化训练对“直角三角形的两锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”两个结论的理解及应用．
（3）△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是（ ）．B
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
设计意图：考查学生运用三角形内角和定理进行推理．
（4）一个三角形至少有（ ）．B
A．一个锐角 B．两个锐角
C．一个钝角 D．一个直角
3.如图，已知△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．
分析：根据角平分线意义和三角形内角和定理，采用整体代入方法，由∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB），经过代换得，∠BOC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A），化简得出结论．
解：因为BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．
因为∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB），
所以∠BOC＝180°－∠ABC－∠ACB
＝180°－（∠ABC＋∠ACB）
＝180°－（180°－∠A）
＝90°＋∠A．
设计意图：考查学生综合运用“角平分线性质”和 “三角形内角和为180° ”进行推理论证．
【课堂小结】
1．三角形三个内角的和等于180°．
2．直角三角形的两个锐角互余．
3．有两个角互余的三角形是直角三角形．
4．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，即直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力，发散思维能力．
【板书设计】
(
4.1
三角形的定义和内角和
一、三角形的认识
二、三角形的内角和
三、三角形的分类
)
(共27张PPT)
第四章 三角形
4.1 认识三角形
第1课时
学习目标
1.认识三角形；
2.理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题；
3.掌握三角形的分类，能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形进行判定．
问题情境
一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“不行啊！这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．
同学们，你们知道其中的道理吗？
斜梁
斜梁
横梁
观察图片，提出问题：
(1)你能从中找出四个不同的三角形吗？
(2)这些三角形有什么共同特点？
探究新知
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（triangle）．
三角形有三条边、三个内角和三个顶点．“三角形”可以用符号“△”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC．
△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示．如图，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、 边AB分别用b，c来表示．
探究新知
探究新知
大家用量角器度量一下准备好的三角形硬纸片的三个内角，验证一下，三角形内角和的关系．
∠A＋∠B＋∠C＝180°
探究新知
通过上面的操作，我们可以发现：三角形三个内角的和等于180°.
探究新知
探究新知
猜一猜藏在信封后面的是什么三角形？
我们可以根据三角形内角的大小把三角形分为：
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
通常，我们用符合“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”．把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边．
探究新知
直角三角形的两个锐角之间有怎样的关系？
答：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，
由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即∠A＋∠B＋90°＝180°，
所以∠A＋∠B＝90°．
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
C
B
A
探究新知
有两个角互余的三角形一定是直角三角形吗？
答：在三角形ABC中，∠A＋∠B＝90°，
由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即90°＋∠C＝180°，
所以∠C＝90°．
也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形．
C
B
A
探究新知
典型例题
例1.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内．
③⑤
① ④ ⑥
②⑦
例2. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶4，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：设每一份角为x°，则∠A＝2x°，∠B＝2x°，∠C＝4x°．
由三角形内角和定理，可得
2x＋2x＋4x＝180，解得x＝22.5．
2x＝2×22.5＝45，4x＝4×22.5＝90．
答：∠A为45°，∠B为45°，∠C为90°．
典型例题
例3. 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样求出∠ACB的度数？根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠ABC的度数即可．
北
北
E
D
C
B
A
典型例题
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD
＝80°－50°＝30°．
∵AD∥BE，
∴∠BAD＋∠ABE＝180°．
∴∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°．
∴∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．
北
北
E
D
C
B
A
典型例题
例4．如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°．
∵EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE，
∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE．
∴∠PEF＋∠PFE＝ （∠BEF＋∠DFE）＝90°．
∴△EPF是直角三角形．
P
F
E
D
C
B
A
典型例题
例5. 如图∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED．
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE．
E
D
C
B
A
典型例题
典型例题
例6.（1）在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝43°，则∠ACB＝ ，∠ACD＝ ．
（2）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，
则∠ACB＝ ．
（3）在直角三角形ABC中，一个锐角为40°，则另一个锐角
是_______．
82 °
98 °
50 °
50 °
1．填空：
（1）若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；
（2）已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝_____°，∠C＝_____°．
50
54
90
随堂练习
（3）如下图，直线AB∥CD，EF⊥CD，F为垂足．
如果∠GEF＝20°，那么∠1的度数是______°．
70
2．（1）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定
是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
D
随堂练习
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为（ ）.
A．35° B．45°
C．55° D．65°
C
随堂练习
（3）△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
（4）一个三角形至少有（ ）．
A．一个锐角 B．两个锐角
C．一个钝角 D．一个直角
B
B
随堂练习
3.如图，已知△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．
解：∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB．
∵ ∠BOC＝180°－ （∠OBC＋∠OCB），
∴∠BOC＝180°－ ∠ABC－ ∠ACB
＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）＝180°－ （180°－∠A）
＝90°＋ ∠A．
本节课主要学习了以下内容：
1．三角形三个内角的和等于180°．
2．直角三角形的两个锐角互余．
3．有两个角互余的三角形是直角三角形．
4．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，即直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC．
课堂小结
再见
