第四章三角形
4.1认识三角形
第2课时
一、教学目标
1.了解按边的相等关系对三角形进行分类；
2.理解三角形任何两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质来解决问题；
3.在探索三角形三边关系的过程中，通过观察、实验、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力．
二、教学重点及难点
重点：三角形三边关系及其应用；
难点：三角形三边关系的推理和理解．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
教师出示导入视频，并出示画外音：
在一个由三条边构成的三角形小城里，老大仗着自己最长，常欺负老二和老三．一天，老二灵机一动，想出了对付老大的方法，他对老三说：“只要我们两合作，加起来一定比老大长，这样他就不敢再欺负我们了．”老大不信，无论怎么用力伸展变长，就是没有老二老三加起来长，老大终于意识到自己的不足了，从此再也不敢欺负老二和老三了．
同学们，你们知道其中的道理吗？
设计意图：通过视频导入，形象生动的表现了三角形三边的关系，激发学生学习兴趣，引出新课．
【复习回顾】
三角形按照三个角的大小怎么分类呢？（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．）
设计意图：巩固已有知识，
【探究新知】
探究一：三角形的分类
1．思考以下问题
（1）三角形按照三条边长的大小关系又怎么分类呢？（自主探究）
（等边三角形，等腰三角形，不等边三角形．）
（2）在上面分类中的等腰三角形与等边三角形有什么关系？
（等边三角形是特殊的等腰三角形．）
（3）概括三角形的分类（与同伴交流）
按角分
按边分
师生活动：在这一过程中，教师要注意点拨分类的思想和原则．
设计意图：通过学生的讨论、交流，使学生体验分类方法的原则，不重不漏，标准统一．在学习过程中，并培养学生的归纳概括能力．
探究二：三角形的三边关系
任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？
路线1：由点B直接到点C，路线长为BC．
路线2：由点B到点A，再由点A到点C，路线长为AB＋AC．
由“两点之间，线段最短”可得
AB＋AC＞BC． ①
同理有
AC＋BC＞AB， ②
AB＋BC＞AC． ③
于是我们得出：三角形两边之和大于第三边．
由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB．这就是说，三角形两边之差小于第三边．
所以，一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
师生活动：教师出示问题，让学生动手画一画，试一试，找一找，然后学生间进行交流、讨论．让学生去归纳概括结果，最后教师进行总结从而得出结论．
设计意图：通过学生的动手操作、交流、讨论，培养学生的合作意识与良好的沟通能力．并能从中发现结论，概括出结论，培养学生的归纳总结能力．
【典型例题】
例1．有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，（1）再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？
（2）如果取一根长度为13cm的木棒呢？
（3）聪明的你能取一根木棒，与原来的两根木棒摆成三角形吗？
（4）要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？
解：（1）取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7＜8出现了两边之和小于第三边的情况，所以不能摆成三角形．
（2）取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形．
（3）可以取4cm，5cm，6cm，10cm等等．
（4）3cm＜ x ＜13cm．
例2.下列各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能构成三角形？
（1）5，8，4； （2）7，3，12； （3）2，8，6．
分析：判断三条线段能否构成三角形，可以用简便方法：将较短两边之和与较长边比较，或将最长边与最短边之差与中间线段比较．
解：（1）方法一：，∴以5，8，4为边的三条线段能构成三角形．
方法二：，∴以5，8，4为边的三条线段能构成三角形．
（2），∴以7，3，12为边的三条线段不能构成三角形．
（3），∴以2，8，6为边的三条线段不能构成三角形．
设计意图：通过例题，强化学生对三角形三边关系的应用能力并规范学生做题的步骤格式．
例3.（1）已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为 .
解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，
∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；
②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；
∴此等腰三角形的周长是15．
设计意图：主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想．
（2）一个等腰三角形，周长为20cm，一边长6cm，求其他两长.
解：①底边长为6cm，则腰长为：（20-6）÷2=7，所以另两边的长为7cm，7cm，能构成三角形；②腰长为6cm，则底边长为：20-6×2=8，底边长为8cm，另一个腰长为6cm，能构成三角形．
因此另两边长为8cm、6cm或7cm、7cm．
答：这个等腰三角形的其它两边的长为8cm、6cm或7cm、7cm．
设计意图：考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
例4． 若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|．
分析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0．∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b．
设计意图：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．
例5.一个等腰三角形的周长为32厘米，腰长的3倍比底边长的2倍多6厘米，求各边长.
解：设腰长为x厘米，
∵周长为32厘米，
∴底边长为（32-2x）厘米，
根据题意得：3x-2（32-2x）=6，
解得：x=10，
∴32-2x=12，
所以三角形的三边长为10厘米，10厘米，12厘米．
设计意图：本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质表示出等腰三角形的底边长是解答本题的关键．
【随堂练习】
1．下图中，三角形的个数为________，△ABE中AE的对角为________，AD是△ACD中________的对边，CE是________和________的公共边．8，∠ABE，∠ACD；△ACE，△DCE．
（2）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论．
①8 cm， 7 cm， 15 cm．（不能）
②13 cm， 12 cm， 20 cm．（能）
③5 cm， 5 cm， 11 cm．（不能）
分析：用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形，反之，则不能．
（3）判断：
①有两边相等的三角形叫做等腰三角形. ( √ )
②只有两边相等的三角形叫做等腰三角形. ( × )
③等边三角形是等腰三角形.( × )
设计意图：正确辨析等腰三角形和等边三角形.
2.（1）两根木棒长分别为6 cm和7 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ）种．D
A．3 B．4 C．5 D．6
设计意图：通过练习，加深对三角形概念及三角形三边关系的理解，并能灵活运用所学知识解决问题．
（2）一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是（ ）A
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
设计意图：让学生进一步熟悉判断三角形边的取值范围的思路，要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3.等腰三角形中，周长为18cm.
（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长;
（2）如果一边长为4cm，求另两边长.
解：（1）设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm.根据题意，得：x+2x+2x=18
解方程，得x=3.6
故三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2cm.
（2）①若底边长为4cm，设腰长为xcm，则有：x+x+4=18解方程，得x=7cm.
②若一条腰长为4cm，设底边长为xcm，则有：4+4+x=18解方程，得x=10.
∵4+4＜10，∴以4为腰的话不能构成三角形，故三角形的另两边长都为7cm.
设计意图：培养学生的探索和挑战精神，渗透数学教学中分类讨论的思想，达到学以致用的目的，培养学生的应用意识.
【课堂小结】
1．三角形分类：
三角形
2．三角形三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
设计意图：通过梳理本节知识，进一步理解三角形分类及理解三角形三边关系，为灵活运用打好基础，同时培养学生总结归纳能力．
【板书设计】
(
4.1认识三角形（2）
一、三角形的分类（按照边分类）：
二、三角形三边的数量关系：
三、练习：
)
(共26张PPT)
第四章三角形
4.1认识三角形
第2课时
学习目标
1．了解按边的相等关系对三角形进行分类；
2．理解三角形任何两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质来解决问题；
3．在探索三角形三边关系的过程中，通过观察、实验、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力．
在一个由三条边构成的三角形小城里，老大仗着自己最长，常欺负老二和老三．一天，老二灵机一动，想出了对付老大的方法，他对老三说：“只要我们两合作，加起来一定比老大长，这样他就不敢再欺负我们了．”老大不信，无论怎么用力伸展变长，就是没有老二老三加起来长，老大终于意识到自己的不足了，从此再也不敢欺负老二和老三了．
同学们，你们知道其中的道理吗？
问题情境
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形按角可以得到如下分类：
复习回顾
等腰三角形：两条边相等的三角形
等边三角形：三条边相等的三角形，（又叫正三角形）
等边三角形
等腰三角形
探究新知
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
三角形按边可以得到如下分类：
探究新知
探究新知
任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？
路线1：由点B直接到点C，路线长为BC；
路线2：由点B到点A，再由点A到点C，路线长为AB＋AC．
C
B
A
探究新知
C
B
A
由“两点之间，线段最短”可得
AB＋AC＞BC．
同理，得
AC＋BC＞AB，AB＋BC＞AC．
由上面两个个不等式，得
BC＞AB－AC，BC＞AC－AB．
由上可知，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
探究新知
例1．有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，
（1）再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7＜8出现了两边之和小于第三边的情况，所以不能摆成三角形．
（2）如果取一根长度为13cm的木棒呢？
解：取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形．
典型例题
例1．有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，
（3）聪明的你能取一根木棒，与原来的两根木棒摆成三角形吗？
解：可以取4cm，5cm，6cm，10cm等等．
（4）要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？
解：3cm＜x＜13cm．
典型例题
例2．下列各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能构成三角形？
（1）5，8，4 （2）7，3，12 （3）2，8，6
典型例题
（1）5，8，4；
解：方法一：∵5＋4＝9＞8，
∴以5，8，4为边的三条线段能构成三角形．
方法二：∵8－4＝4＜5，
∴以5，8，4为边的三条线段能构成三角形．
解：（2）∵7＋3＝10＜12，
∴以7，3，12为边的三条线段不能构成三角形；
（3）∵2＋6＝8，
∴以2，8，6为边的三条线段不能构成三角形．
典型例题
典型例题
例3．（1）已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为 .
解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，
∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；
②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；
∴此等腰三角形的周长是15．
15
典型例题
（2）一个等腰三角形，周长为20cm，一边长6cm，求其他两长.
解：①底边长为6cm，则腰长为：（20-6）÷2=7，所以另两边的长为7cm，7cm，能构成三角形；
②腰长为6cm，则底边长为：20-6×2=8，底边长为8cm，另一个腰长为6cm，能构成三角形．
因此另两边长为8cm、6cm或7cm、7cm．
答：这个等腰三角形的其它两边的长为8cm、6cm或7cm、7cm．
例4．若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|．
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0．
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b．
典型例题
典型例题
例5．一个等腰三角形的周长为32厘米，腰长的3倍比底边长的2倍多6厘米，求各边长.
解：设腰长为x厘米，∵周长为32厘米，
∴底边长为（32-2x）厘米，
根据题意得：3x-2（32-2x）=6，
解得：x=10，
∴32-2x=12，
所以三角形的三边长为10厘米，10厘米，12厘米．
1．下图中，三角形的个数为_______，△ABE中AE的对角为________，AD是△ACD中________的对边，CE是________和________的公共边．
8
∠ABE
∠ACD
△ACE
△DCE
E
D
C
B
A
随堂练习
（2）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论．
①8 cm， 7 cm， 15 cm．
②13 cm， 12 cm， 20 cm．
③5 cm， 5 cm， 11 cm．
不能
能
不能
随堂练习
（3）判断：
①有两边相等的三角形叫做等腰三角形. ( )
②只有两边相等的三角形叫做等腰三角形. ( )
③等边三角形是等腰三角形.( )
√
×
√
随堂练习
2．（1）两根木棒长分别为6 cm和7 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
D
随堂练习
（2）一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
A
随堂练习
3．等腰三角形中，周长为18cm.
（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长;
（2）如果一边长为4cm，求另两边长.
解：（1）设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm.根据题意，
得：x+2x+2x=18；解方程，得x=3.6
故三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2cm.
（2）①若底边长为4cm，设腰长为xcm，则有：x+x+4=18
解方程，得x=7cm.
②若一条腰长为4cm，设底边长为xcm，则有：4+4+x=18解方程，得x=10.
∵4+4＜10，∴以4为腰不能构成三角形，
故三角形的另两边长都为7cm.
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
本节课主要学习了以下内容：
1．三角形分类：
2．三角形三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
课堂小结
再见
