第四章三角形
4.1认识三角形
第3课时
【复习回顾】
1．线段中点的定义：
（把一条线段分成两条相等的线段的点）．
2．角平分线的定义：
（一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线）．
设计意图：通过复习这二个概念，为本节课探究三角形的中线、重心、角平分线的概念做了铺垫，便于比较它们之间的区别．
【探究新知】
探究一：三角形的中线与重心
（1）在纸上画出一个锐角三角形，分别找到三边的中点，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线，也有同样的位置关系吗？折一折、画一画，并与同伴进行交流．
先让学生讨论如何画出三角形的三条中线，可测量得到中点或折纸得到中点从而画出三条中线，然后让学生充分交流三条中线的位置关系，得出结论：三角形的三条中线交于一点．
注意：①三角形的中线是一条线段；②三角形有三条中线且相交于一点，且这一点在三角形内部，③三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
如图：
探究二：三角形的角平分线
（1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．
图形语言与符号语言表示为：
几何表达：∵AD是△ABC的角平分线，（已知）
∴∠1=∠2=∠BAC．（角平分线的定义）
（2）探究活动
① 在三角形卡片的背面画出它的角平分线？可以画几条？它们有怎样的位置关系？
② 分组合作，感受分类思想：探究不同类（按角分）的三角形是否都可以画出三条角平分线？它们有相同的位置关系吗？（可以折，也可以画）
（3）结论：一个三角形有三条角平分线，这三条角平分线也交于一点．
（三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心）．
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
（三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线）．
设计意图：通过学生的猜想，类比，动手、思考，交流，讨论，验证，体验发现结论的乐趣，各个环节的设计紧凑，学生在紧张愉快的探索中自然而然得到本课的所有结论，既学到了知识，又培养了联想，类比的发散思维能力，使枯燥的数学变得生动有趣，也让学生体验古人发现数学问题并解决问题的过程！
【典型例题】
例1.如图，中AE是角平分线，且，求的度数．
分析：已知，可求得，所以，故可求出．
解：因为，由三角形内角和等于180°可求得．
又因为AE平分，所以．
由三角形内角和等于180°，得
．
例2.如图，AD是的高，AE是的角平分线，AF是的中线，给出图中所有相等的角和相等的线段．
分析：三角形的角平分线、中线、高线常常用一些数学关系式（即数学中的符号语言）来体现，这样明确、方便．（其中“”表示由左边可以推出右边，同时由右边也可以推出左边）
AE是的角平分线；
AF是的中线；
AD是的高；
解：相等的角有：；
相等的线段有：．
例3 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝ 7
例4．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，
∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°．
例5．如图，△ABC的周长为18 cm，BE，CF分别为AC，AB边上的中线，BE，CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF＝3 cm，AE＝2 cm，求BD的长．
解：∵BE，CF是AC，AB边上的中线，且交于点O，
∴AB＝2AF＝2×3＝6（cm），AC＝2AE＝2×2＝4（cm）．
∴BC=18-6-4=8（cm）
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝BC=4（cm）
例6．湖南岳阳某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给4位农户，请你设计两种不同的分配方案（在已给的图形中直接画图，保留画图痕迹，不写画法）
解：答案不唯一，如方案1：如图（1），在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF．
方案2：如图（2），分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF．
方案3：如图（3），分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD，AE，DF．
方案4：如图（4），分别取BC的中点D，AB的中点E，AC的中点F，连接AD，DE，DF．
设计意图：考查三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征．
【随堂练习】
1．（1）三角形的角平分线是（ ）．C
A．直线 B．射线 C．线段 D．中线
（2）已知AD，AE分别是△ABC的中线和角平分线，则下列结论中错误的是（ ）．D
A． B．
C． D．
（3）下列说法：
①三角形的中线，角平分线都是线段；
②三角形的三条中线都在三角形内；
③如果点P是△ABC中AC边的中点，则PB是△ABC的中线．
其中正确的是（ ）．A
A． ①②③ B．①
C．①③ D．①②
（4）能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是（ ）．C
A．角平分线 B．中线和角平分线
C．中线 D．都不是
设计意图：通过练习，加深对三角形的中线、角平分线的认识．
2.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，AE，BD交于点F．设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝ .2
设计意图：本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．
3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．
解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=CD=x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，
∴有两种情况：
①当3x=15，且x+y=6，
解得x=5，y=1，
∴三边长分别为10，10，1；
②当x+y=15且3x=6时，
解得x=2，y=13，此时腰为4，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，
故这种情况不存在．
∴腰长是10，底边长是1．
设计意图：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
【课堂小结】
1．三角形的中线、角平分线等有关概念及它们的画法．
2．三角形的中线、角平分线的几何表达及简单应用．
注意：（1）每个三角形都有三条中线、三条角平分线．
（2）三角形的三条中线交于三角形内一点，三角形的三条角平分线也交于三角形内一点．
（3）三角形的中线、角平分线都是线段．
（4）能将三角形的面积平均分成两部分的线是三角形的中线．
设计意图：通过小结，帮助学生梳理三角形角平分线、中线，三角形稳定性等内容，培养学生总结概括能力．加深对概念的理解，强化记忆．
【板书设计】
4.1认识三角形
一、三角形的中线：
二、三角形的高线：
三、练习：
(共24张PPT)
第四章三角形
4.1认识三角形
第3课时
学习目标
1.理解三角形角平分线和中线、重心的概念，能正确画出任意三角形的角平分线和中线；
2.能利用与三角形的角平分线和中线有关的相等关系进行简单的推理和计算．
你能用一支铅笔支起一张均匀的三角形卡片吗？如果能的话， 支点是什么特殊点呢？
问题情境
在三角形中,连接一个
顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
A
B
C
D
几何表示
∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
●
●
E
F
O
（中线的定义）
探究新知
三角形的中线
E
O
F
D
C
B
A
E
O
F
D
C
B
A
探究新知
锐角三角形的中线
直角三角形的中线
E
O
F
D
C
B
A
由上面锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的中线的作法及 图形可知：一个三角形有三条中线，这三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．
探究新知
钝角三角形的中线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
2
1
D
C
B
A
几何表示：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2= ∠BAC ．
探究新知
三角形的角平分线
F
E
C
D
B
A
F
E
A
B
D
C
O
O
探究新知
F
A
B
D
C
E
通过上面三类三角形的角平分线的位置关系，可以发现：一个三角形有三条角平分线，这三条角平分线交于一点．
O
探究新知
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线.
例1 如图，△ABC中AE是角平分线，且∠B＝52°，∠C＝78°，求∠AEB的度数．
典型例题
解： ∵ ∠B＝52°，∠C＝78°，
由三角形内角和等于180°可求得 ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝50°．
又∵ AE平分∠BAC ，
∴ ∠BAE＝25° ．
由三角形内角和等于180°，得
∠AEB＝180°－∠B－∠BAE＝103°．
例2 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，给出图中所有相等的角和相等的线段．
F
E
D
C
B
A
解：相等的角：
∠BDA＝∠CDA＝90°，
∠BAE＝∠CAE；
相等的线段：BF＝CF．
典型例题
例3 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________．
解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC＝BA－5＝2cm，∴BA＝7cm．故答案为7cm．
7cm
C
D
B
A
典型例题
例4 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
B
E
C
D
A
典型例题
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°．
典型例题
例5 如图，△ABC的周长为18 cm，BE，CF分别为AC，AB边上的中线，BE，CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF＝3 cm，AE＝2 cm，求BD的长．
解：∵BE，CF是AC，AB边上的中线，
且交于点O，
∴AB＝2AF＝2×3＝6（cm），
AC＝2AE＝2×2＝4（cm）．
∴BC=18-6-4=8（cm）
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝ BC=4（cm）
典型例题
例6 湖南岳阳某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给4位农户，请你设计两种不同的分配方案（在已给的图形中直接画图，保留画图痕迹，不写画法）
典型例题
解：答案不唯一，如方案1：如图（1），在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF．
典型例题
方案2：如图（2），分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF．
方案3：如图（3），分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD，AE，DF．
方案4：如图（4），分别取BC的中点D，AB的中点E，AC的中点F，连接AD，DE，DF．
1．（1）三角形的角平分线是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．中线
（2）已知AD，AE分别是△ABC的中线和角平分线，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．BD＝2CD
C． D．∠BAC＝2∠CAD
C
D
随堂练习
（3）下列说法：
①三角形的中线，角平分线都是线段；
②三角形的三条中线都在三角形内；
③如果点P是△ABC中AC边的中点，则PB是△ABC的中线．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①
C．①③ D．①②
A
随堂练习
随堂练习
（4）能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是（ ）．
A．角平分线 B．中线和角平分线
C．中线 D．都不是
C
2.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，AE，BD交于点F．设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．
2
随堂练习
随堂练习
3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．
解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=CD=x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：
①当3x=15，且x+y=6，解得x=5，y=1，∴三边长分别为10，10，1；
②当x+y=15且3x=6时，解得x=2，y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．
∴腰长是10，底边长是1．
本节课主要学习了以下内容：
1．每个三角形都有三条中线、三条角平分线．
2．三角形的三条中线交于三角形内一点，三角形的三条角平分线也交于三角形内一点．
3．三角形的中线、角平分线都是线段．
4．三角形的中线能将三角形的面积平均分成两部分．
课堂小结
再见
