第四章三角形
4.1认识三角形
第4课时
一、教学目标
1.理解三角形高的概念，会画任意三角形的高；
2.能利用三角形的高进行有关推理和计算．
二、教学重点及难点
重点：能够正确地画出三角形的高线，并理解高线的含义．
难点：钝角三角形高的画法；三角形三条高的位置关系．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
多媒体展示以下问题，请学生回忆，思考，举手回答．
1．垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
2．过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎么画？
前面我们学习了三角形的中线、内角平分线，在三角形中还有什么特殊的线段呢？今天来探究这一问题．
设计意图：通过问题情境，在回顾与思考的基础上，激发学生学习兴趣，引入新课．
【探究新知】
探究一：三角形高线定义
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高．
如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D是垂足，AD是△ABC的一条高．
注意：三角形的高是线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．
师生活动：找一个同学上黑板画一个三角形的高．注意规范，师生指正．再找一个同学用几何语言来描述一下三角形的高的定义，最后教师点评，归纳出定义．
2．做一做
每人准备一张锐角三角形纸片．
（1）你能画出这个三角形的三条高吗?你能用折纸的方法得到它们吗?
（2）这三条高之间有怎样的位置关系?
设计意图：这里要求画出和折出锐角三角形的三条高并观察它们的位置关系，因为前面已经得出了三角形的角平分线和中线的结论，因此得出结论比较容易，但是要折出三条高还是比较难．
要花足够的时间让学生充分地折，折出三条高以后，再相互交流其位置关系．
探究二：作三角形的高
教师布置学习任务，要求学生按照三角形高线的定义分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线，观察各个图形间的相同或不同点，并要求学生进行归纳．
活动1.作锐角三角形三边的高线
（1）任意画一个锐角△ABC，请你画出BC边上的高；画出其他两边上的高；
（2）通过画图你发现了什么？
锐角三角形的三条高交于同一点．
（3）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？
锐角三角形的三条高都在三角形的内部．
活动2.作直角三角形和钝角三角形三边的高线
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.
（1）画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?
（2）你能折出钝角三角形的三条高吗?你能画出它们吗?
（3）钝角三角形的三条高交于一点吗?它们所在的直线交于一点吗?
直角三角形的三条高:
直角三角形的三条高交于直角顶点．
直角边BC边上的高是AB；
直角边AB边上的高是CB；
斜边AC边上的高是BD．
活动3.作钝角三角形三边上的高线
钝角三角形的三条高线:
钝角三角形的三条高不相交于一点．
钝角三角形的三条高所在直线交于一点．
学生操作，观察，交流，归纳．
活动3.归纳：三角形的三条高的特性：
三角形的三条高所在直线交于一点．
在此过程中，教师要关注学生能否正确地画出钝角三角形的高，这是本节课的难点．
师生活动：找三个学生上黑板分别画出三角形的三条高，其余学生在下面画，然后学生举手谈发现的结论，讨论交流，最后教师归纳总结．
设计意图：这里分别画出了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，目的是为了进一步认识这两种三角形中高的位置的特殊性；分别请同学指出来．
【典型例题】
例1．（1）三角形的三条高所在直线的交点在（ ）．
A．三角形的内部 B．三角形的外部
C．三角形的边上 D．三角形的内部、外部或边上
答案：D．解析：三角形的三条高所在直线交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．
（2）下列说法正确的是（ ）．C
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的高是一条垂线
C．三角形的三条中线相交于一点
D．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部
解析：A，B，D都是错误的，A选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D也是错误的．只有C正确．
（3）如图，AC为BC边上的垂线，CD为AB边上的垂线，DE为BC边上的垂线，D，E分别在△ABC的AB和BC边上，下列说法：
（1）△ABC中，AC是BC边上的高；（2）△BCD中，DE是BC边上的高；
（3）△ABE中，DE是BE边上的高；（4）△ACD中，AD是CD边上的高．
其中正确的个数有（ ）．B．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：由已知结合三角形高线的定义：△ABC中，AC是BC边上的高；△BCD中，DE是BC边上的高；△ACD中，AD是CD边上的高．因此应选B．
例2．在Rt中，，AD是的高，找出图中相等的角．（直角除外）
分析：根据题意可知，图中有三个直角三角形，分别是Rt、Rt、Rt，根据“直角三角形的两个锐角互余”可以得出三组互为余角的角，再根据“同角（或等角）的余角相等”可以找出相等的角．
解：∵在Rt中，,
∴．（直角三角形的两个锐角互余）
又∵在Rt中，，∴．
∴．（同角的余角相等）
同理可得：．
例3．如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系．
分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC．
解：∠DAC＝∠EBC．
因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，
所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°．
所以∠DAC＝∠EBC．
例4.作出中CB边上的高，AB边上的中线，AC边上的角平分线．
分析：作三角形的高线可以用三角尺的直角作垂线，值得注意的是：是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线．作三角形的角平分线、中线，可以分别用量角器、直角测量作图．另外，任意三角形的中线、角平分线和锐角三角形的高线均可以用折纸法作出．
解：
∴AD是CB边上的高，CE是AB边上的中线，BF是AC边上的角平分线．
设计意图：通过练习，加深对三角形的高、中线、角平分线的认识．
例5．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．
解：根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知AD·BC＝BP·AC，解得BP＝．
设计意图：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．
例6．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可．
解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x．∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°．∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－30°＝60°．∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°．
设计意图：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和直角三角形两锐角互余性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．
【随堂练习】
1．（1）下列命题：
（1）直角三角形只有一条高；
（2）钝角三角形只有一条高；
（3）三角形的三条高所在的直线相交于一点，它不在三角形的内部，就在三角形的外部；
（4）三角形的高是一条垂线．其中假命题的个数有（ ）．D
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）如图所示，已知在△ABC中，BC边上的高为（ ）．C
A．BE B．BF C．AD D．CF
解析：BC边上的高是由顶点A向BC所在直线作垂线而成的，所以AD才是BC边上的高．
（3）三角形的角平分线、中线、高线中（ ）．A
A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段
C．高线是直线，其余是线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段
解析：由三角形的角平分线、中线、高线的定义可知，三角形的角平分线、中线、高线都是线段．
（4）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）．B
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
设计意图：考查三角形的高线的特性．
（5）下列说法正确的是（ ）．B
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；
③每个三角形都有三条高、中线和角平分线；
④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．③④ B．③ C．②③ D．①④
设计意图：考查三角形的高、中线、角平分线的概念及相关性质．
2．如图所示，△ABC中BC边上的高是________，△ACD中CD边上的高是________，△BCE中BC边上的高是________，以CF为高的三角形是________．
AD，AD，BE；△ABC，△BCF，△ACF．
3．如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，已知AF＝6，BC＝10，BG＝5．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC的长；
（3）说明△ABD和△ACD的面积的关系．
解：（1）因为BC＝10，AF⊥BC，AF＝6，所以S△ABC＝BC·AF＝30．
（2）因为BG为△ABC的高，所以S△ABC＝AC·BG＝AC·BG＝BC·AF，因为BG＝5，BC＝10，AF＝6，所以AC＝12；
（3）因为AF⊥BC，所以S△ABD＝BD·AF，S△ACD＝CD·AF，因为AD为△ABD的中线，所以BD＝CD．所以S△ABD＝S△ACD，即△ABD和△ACD的面积相等．
设计意图：考查三角形高线、中线和三角形的面积公式，及灵活的等面积转化能力．
【课堂小结】
1．每个三角形都有三条高线．
2．三角形的三条高交于一点：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点．
3．三角形的高是线段．
设计意图：归纳总结三角形的高人概念，使学生全面了解三角形的高及性质，同时也培养学生系统整理知识的能力．
【板书设计】
(
4.1
认识三角形
一、三角形的高线
二、作三角形的高线
三、练习
)
(共29张PPT)
第四章三角形
4.1认识三角形
第4课时
学习目标
1.理解三角形高的概念，会画任意三角形的高；
2.能利用三角形的高进行有关推理和计算．
复习回顾
1．垂线的定义：
2．过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎么画？
1.垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
复习回顾
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高．
如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D是垂足，AD是△ABC的一条高．
D
C
B
A
探究新知
注意：三角形的高是线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．
探究新知
每人准备一张锐角三角形纸片．
（1）你能画出这个三角形的三条高吗?你能用折纸的方法
得到它们吗?
（2）这三条高之间有怎样的位置关系?
O
E
D
F
C
B
A
发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于同一点．
探究新知
探究新知
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.
（1）画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?
（2）你能折出钝角三角形的三条高吗?你能画出它们吗?
（3）钝角三角形的三条高交于一点吗?它们所在的直线交于一点吗?
D
C
B
A
发现：直角三角形的三条高交于直角顶点，两条直角边是其中的两条高．
探究新知
直角边BC边上的高是AB；
直角边AB边上的高是CB；
斜边AC边上的高是BD．
O
F
E
D
C
B
A
发现：钝角三角形的三条高不相交，但其所在直线交于一点．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．
探究新知
探究新知
三角形的三条高的特性：
例1（1） 三角形的三条高的交点在（ ）
A．三角形的内部 B．三角形的外部
C．三角形的边上 D．三角形的内部、外部或边上
D
典型例题
（2）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B ．三角形的高是一条垂线
C ．三角形的三条中线相交于一点
D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部
C
（3）如图，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D，E分别在△ABC的AB和BC边上，下列说法：
（1）△ABC中，AC是BC边上的高；（2）△BCD中，DE是BC边上的高；（3）△ABE中，DE是BE边上的高；（4）△ACD中，AD是CD边上的高．
其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
B
典型例题
例2 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，找出图中相等的角（直角除外）．
D
C
B
A
典型例题
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠C＋∠B＝90°．
∵在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，
∴∠BAD＋∠B＝90°．
∴∠BAD＝∠C．
同理可得，∠CAD＝∠B．
例3 如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系．
解：∠DAC＝∠EBC．
因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，
所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°．
所以∠DAC＝∠EBC．
E
D
C
B
A
典型例题
例4 作出△ABC中CB边上的高，AB边上的中线，AC边上的角平分线．
解：如图所示，AD是CB边上的高，
CE是AB边上的中线，
BF是AC边上的角平分线．
F
E
D
C
B
A
典型例题
例5 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_________．
4.8
典型例题
例6 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可．
E
D
C
B
A
典型例题
解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x．则x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°．
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°．
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝60°．
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝45°．
∴∠DCE＝15°．
E
D
C
B
A
典型例题
随堂练习
1．（1）下列命题：
（1）直角三角形只有一条高；
（2）钝角三角形只有一条高；
（3）三角形的三条高所在的直线相交于一点，它不在三角形的内部，就在三角形的外部；
（4）三角形的高是一条垂线．其中假命题的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
随堂练习
（2）如图所示，已知在△ABC中，BC边上的高为（ ）．
A．BE B．BF C．AD D．CF
C
随堂练习
（3）三角形的角平分线、中线、高线中（ ）．
A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段
C．高线是直线，其余是线段
D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段
A
（4）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
B
随堂练习
（5）下列说法正确的是（ ）．
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；
③每个三角形都有三条高、中线和角平分线；
④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．③④ B．③ C．②③ D．①④
B
随堂练习
2．如图所示，△ABC中BC边上的高是________，△ACD中CD边上的高是________，△BCE中BC边上的高是________，以CF为高的三角形是 ．
AD
AD
BE
△ABC，△BCF，△ACF
随堂练习
3．如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，已知AF＝6，BC＝10，BG＝5．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC的长；
（3）说明△ABD和△ACD的面积的关系．
随堂练习
解：（1）因为BC＝10，AF⊥BC，AF＝6，所以S△ABC＝ BC·AF ＝30．
（2）因为BG为△ABC的高，所以S△ABC＝ AC·BG＝ AC·BG
＝ BC·AF，因为BG＝5，BC＝10，AF＝6，所以AC＝12；
（3）因为AF⊥BC，所以S△ABD＝ BD·AF，S△ACD＝ CD·AF，因为AD为△ABD的中线，所以BD＝CD．所以S△ABD＝S△ACD，即△ABD和△ACD的面积相等．
本节课主要学习了以下内容：
1．每个三角形都有三条高线．
2．三角形的三条高交于一点：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点．
3．三角形的高是线段．
课堂小结
再见
