人教版八年级数学下册：第十九章一次函数单元教案

八年级下册教案
第十九章一次函数
八
年
级
备
课
组
第十九章一次函数
19.1．1变量与函数（1）
教学目标
1.掌握常量和变量、自变量和函数的基本概念；
2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.
教学重点：了解变量与常量的意义，充分体会运动变化过程中量的变化．
难点：能用解析法正确表示数量关系。
教学过程
1、
预习检测：
找出下面问题中变化的量和不变的量：
　
（1）汽车以60
km/h
的速度匀速行驶，行驶时间为
t
h，行驶路程为
s
km．
（2）每张电影票的售价为10
元，设某场电影售出x
张票，票房收入为y
元．
二、合作交流：
（1）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r
分别为10
cm，20
cm，30
cm
时，圆的面积S
分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？
（2）用10
m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x
分别为3
m，3.5
m，4
m，4.5
m
时，它的邻边长y
分别为多少？在矩形改变形状的变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是固定不变的？
三、精讲解惑
1，常量和变量
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)．问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)。
2
例1、
写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
(1)圆的周长C与半径r的关系式；
(2)(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式．
解
(1)C＝2π
r，2π是常量，r、C是变量；
(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量；
(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量．
4、
随堂练习：
1、指出下列变化过程中的变量和常量：
（1）
汽油的价格是7.4元/升，加油
x
L，车主加油
付油费
y
元；
（2）
小明看一本200
页的小说，看完这本小说需要
t
天，平均每天所看的页数为
n；
（3）
用长为40
cm
的绳子围矩形，围成的矩形一边
长为
x
cm，其面积为
S
cm2．
2、书71页练习
五、小结
在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．
六、布置作业：
教学后记：
19.1.1变量与函数（2）
教学目标：
　1．进一步体会运动变化过程中的数量变化；
　2．从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．
教学重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系，用式子表示变量间的关系
教学难点：用含有一个变量的式子表示另一个变量
教学过程
一、预习检测：什么是变量？什么是常量？
二、合作交流:
问题1　下面变化过程中的变量之间有什么联系？
　
（1）汽车以60
km/h
的速度匀速行驶，行驶的时间为t
h，行驶的路程为s
km；
问题2　下面变化过程中的变量之间有什么联系？
（2）每张电影票的售价为10
元，设某场电影售出
x
张票，票房收入为
y
元；
（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为
r
，面积为
S
；
（4）用10
m
长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为
x，它的邻边长为
y．
三
释疑解惑：
函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
x
与
y，并且对于
x
的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，y
是
x
的函数．如果当
x
=a
时，对应的
y
=b，那么
b
叫做当自变量的值为
a
时的函数值．
4、随堂练习：
课本P74页-75页练习
五、总结归纳：
1.函数概念包含：(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系．
2.函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
六、布置作业
教学后记：
19.1.2函数的图象（1）
教学目标
　1．了解函数图象的意义；
　2．会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函
数的对应关系和变化规律；
　3．经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值．
教学重点：函数图象的意义，从图象中获取信息．
难点：会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函
数的对应关系和变化规律；
教学过程
1、
预习检测：
下图是北京市某天24
小时内气温的变化图，气温
T
随时间
t的变化而变化.
你从图中得到哪些信息？
在9～14
时，T
随着t
的增大而增大，14～16
时，T
基本不变；16～次日5
时，T
的值随着t
的增大而减小；次日5～8
时，T
变化不大；
结论：图形能直观地反映出函数值怎样随自变量的变化而变化！
2、
合作交流：
请画出下面问题中能直观地反映函数变化规律的图形：
正方形面积
S
与边长
x
之间的函数解析式为
S=x2．
思考（1）怎样确定满足函数关系的点的坐标？
（2）取一些自变量的值，计算出相应的函数值．自变量x
的一个确定的值与它所对应的唯一
的函数值S，是否唯一确定了一个（x，S）呢？
（1）填写下表：
三、释疑解惑：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．如右图中的曲线就叫函数（x＞0）
的图象．
例1、下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，
接着去图书馆读报，然后回家．其中x
表示时间，y
表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．
根据图象回答下列问题：
（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
（4）小明读报用了多长时间？
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
四、随堂练习：书79页练习2题。
五、小结
六、布置作业
教学后记：
19.1.2函数的图象（2）
教学目标：
　1．会用描点法画出函数图象，能说出画函数图象的步骤；
　2．会判断一个点是否在函数的图象上；
　3．能初步通过分析图象中变量的对应关系、变化规律和变化趋势，体会数形结合思想．
教学重点：描点法画出函数图象．
教学难点：理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.
教学过程：
一、预习检测：
（1）函数图象上的点的横纵坐标分别表示什么？
（2）用描点法画函数图象按照哪些步骤进行？
、
（3）怎样从图象上看出当自变量增大时，对应的函数值是增大还是减小？
3、
合作交流：
　下列式子中，对于
x
每一个确定的值，y
有唯一的对应值，即
y
是
x
的函数，请画出这些函数的图象．
（1）y=x+0.5
；
列表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x+0.5
…
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
…
（1）这个函数的自变量取值范围是什么？为什么表格中
-3
前和3
后还有一栏要写省略号？
（2）画出的图象是什么？图象上的点从左向右运动时，这个点是越来越高还是越来越低？能否用坐标解释这一图形特点？
（3）当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？
三、释疑解惑：
归纳：由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行：
1.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
2.描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
3.连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来．
描出的点越多，图象越精确．有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得到函数的近似的图象．
例
画出函数
（x大于0）的图象．
四、随堂测评
（1）判断下列各点是否在函数y=x+0.5的图象上？
①（-4，-4.5）；
②（4，4.5）．
（2）判断下列各点是否在函数
的图象上？
1
（2，3）；②（4，2）．
（3）教科书P79练习第1、3
题．
五
、归纳小结
1、画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种
画函数图象的方法称为描点法．
2.如何从图象中了解函数的变化情况？
5、
布置作业
教学后记
19.1.2函数的图象（3）
教学目标：
　1．了解函数的三种表示法及其优缺点；
　2．能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系；
　3．能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论．
教学重点：
综合运用三种表示法表示函数关系，研究运动变化过程．
教学难点：用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系；对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论
教学过程
一、
预习检测：
1、
什么是函数？2、函数关系有几种表示方法？
二、合作交流：
（1）对于每一个大于0
的自变量的值，想准确确定对应的函数值，用什么表示法较好？
（2）对于x
的值分别为1，2，3，4，5，6
时，想知
道其对应的函数值，用什么表示方法较好？
（3）想知道当x
的值增大时，函数值y
怎样变化，用什么表示方法较好？
三、释疑解惑：
例4、一水库的水位在最近5
h
内持续上涨，下表记录
了这5
h
内6
个时间点的水位高度，其中
t
表示时间，y表
示水位高度．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么
规律？
（2）水位高度
y
是否为时间
t
的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出函数图象。这个函数能表示水位的变化规律吗？
（3）据估计这种上涨规律还会持续2
h，预测再过2
h水位高度将达到多少米．
四、随堂练习：书81页1、2、3
五、小结
（1）函数有哪几种表示方法？这些表示方法分别有哪些优势和不足？
（2）怎样根据函数分析变量的变化规律和变化趋势？
六、布置作业
教学后记
19.2一次函数
19.2.1正比例函数（1）
教学目标：
　1．理解正比例函数的概念；
　2．根据实际问题列出简单的正比例函数的表达式
教学重点：正比例函数的概念．
教学难点：理解正比例函数的概念，能正确用函数关系式表达实际问题
教学过程
一、预习检测：
什么是正比例函数？
二、合作交流：
问题1　2011年开始运营的京沪高速铁路全长1
318
km．设列车的平均速度为300
km/h．考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程
y（单位：km）和运行时间
t（单位：h）是什么关系？
（3）如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程
y（单位：km）是运行时间
t（单位：h）的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？
（4）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5
h后，是否已经过了距始发站1
100
km
的南京南站？
思考：（1）这个问题中得到的函数解析式有什么特点？
（2）函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关
系吗？如果是，请写出函数解析式．
　
（1）圆的周长
l
随半径
r
的变化而变化；
　
（2）铁的密度为7.8
g/cm3，铁块的质量
m（单位：g）随它的体积
V（单位：cm3）的变化而变化；
（3）每个练习本的厚度为0.5
cm，练习本摞在一起的总厚度
h（单位：cm）随练习本的本数
n
变化而变化；
　
（4）冷冻一个0
℃
的物体，使它每分下降2
℃，物体的温度
T（单位：℃）随冷冻时间
t（单位：min）的变化而变化．
三、释疑解惑
认真观察这四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点．
归纳：正比例函数的定义：一般地，形如
y=kx（k
是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k
叫做比例系数．
四、随堂练习：书87页1、2题
五、小结
六、布置作业
教学后记
19.2.1正比例函数（2）
教学目标：
1、理解正比例函数图象特征。
　　2、知道正比例函数图象是直线，会画正比例函数的图象；进一步熟悉作函数图象的主要步骤。
教学重点： 探索正比例函数图形的形状，会画正比例函数图象
教学难点：正比例函数的图象性质特点的掌握。
教学过程
一、预习检测：
1、什么是正比例函数？
2、在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出正比例系数分别是多少.
①y=x,
②y=3x2,
③
y=2x
,
④y=2x-4，
⑤
,
⑥y=-x
，
⑦y=-2x．
3、正比例函数的图象是什么形状？怎样画它的图象？
2、合作交流：
1、在同一坐标系中用描点法画出正比例函数
y
=2x和
的图象．
2、画出函数y
=-3x
和y
=-1.5x
的图象，
进行小组合作讨论：每组中这两个函数的图象形状是什么？位置怎样？有什么特征？
三、释疑解惑：
正比例函数的图象性质及特征：

1.正比例函数的图象都是经过原点的直线，一般选取画它的0,0）和（1，k）图象

2.在画函数图象时，使函数图象位置发生变化的量是k。

3.
性质
（1）当k>0时，y随x的增大而增大，直线经过一、三象限，从左到右是上升的；
2）当k<0时，y随x的增大而减小，直线经过二、四象限，从左到右是下降的.
四、随堂测评：
1.若正比例函数y=(k-3)x满足下列条件，求出k的范围
（1）y
随x的增大而增大；（2）图象经过一、三象限；
（3）图象如图所示.
2.已知
y关于x的正比例函数
y=(k+3)x|k|-4，且
y随x的增大而减小，那么k=________.
3、课本P90练习
五、归纳小结：正比例函数的图象是什么？有哪些性质？
六、布置作业：
教学后记：
19.2.2一次函数（1）
教学目标：
　1．知道一次函数解析式的特点及意义，能结合实际
问题中的数量关系写出一次函数的解析式；
　2．能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系；
3．
初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法．
教学重点：一次函数的概念．
教学难点：一次函数与正比例函数的关系
教学过程：
一、预习检测
1、什么是正比例函数？正比例函数的图象性质与特征？
2、问题1　某登山队大本营所在地的气温为5
℃，海拔每升高1
km
气温下降6
℃．登山队员由大本营向上登高x
km
时，他们所处位置的气温是
y
℃．试用函数解析式表示
y
与
x
的关系．、
解：y=-6x+5；
二、
合作交流
问题2　下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式，这些函数解析式有哪些共同特征？
（1）有人发现，在20
℃～25
℃时蟋蟀每分鸣叫次数
c
与温度
t（单位：℃）有关，且
c
的值约是
t
的7
倍与35
的差；
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值
h
，再减常数105，所得差是G
的值；
（3）某城市的市内电话的月收费额
y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话
x
min
的计时费（按0.1元/min收取）；
（4）把一个长10
cm，宽5
cm的矩形的长减少
x
cm，宽不变，矩形面积
y（单位：cm2）随x的值而变化．
(1)C=7t-35；（20≤t≤25）
(2)G=h-105；
(3)y=0.1x+22
(4)y=-5x+50.
（0≤x≤10）
观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们在形式上有什么共同特征呢？
这些函数的形式都是自变量的k（常数）倍与一个常数的和。
3、
释疑解惑：
一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。
当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx,从中你有什么发现？
正比例函数式特殊的一次函数。
例1、
已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．
例2
已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．
4、
随堂练习：
课本90-91页练习
五、归纳总结
（1）什么叫一次函数？
（2）一次函数与正比例函数有什么联系？　　
六、布置作业
教学后记
19.2.2一次函数（2）
教学目标：
1、理解一次函数图象特征与解析式的联系规律；
2、会用简单方法画一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标；
教学重点：一次函数图象特征与解析式联系规律；
一次函数图象的画法。
教学难点：一次函数图象特征与解析式联系规律
教学过程：
一、预习检测：
1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？
（一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）.
2.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线？
（正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线）.
3.平面直角坐标系中，x轴、y轴上的点的坐标有什么特征？
二、合作交流
1、
画出函数
y
=
-6x与
y=－6x+5
的图象。
2、完成书91页思考
结论：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）。
三、释疑解惑
例3、画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象
解析：过（0，-1）点与（1，1）点画出直线y=2x-1．


过（0，1）点与（1，0．5）点画出直线y=-0.5x+1
结论：1、当k>0时,y随x的增大而增大，当k<0时,y随x的增大而减小
、
2、例
已知一次函数
y=(1-2m)x+m-1
,
求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y
随x的增大而增大；（2）函数图象与y
轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；（4）函数的图象过原点。
四、随堂练习：课本93页练习
五、归纳总结：一次函数的图像与性质
六、布置作业
教学后记

19.2.2一次函数（3）
教学目标：
　1．学会用待定系数法求一次函数解析式；
　2．了解分段函数的表示及其图象；能初步应用一次函数模型解决现实生活中的问题。
的应用价值．
教学重点：
用待定系数法求一次函数解析式，初步了解分段函数
教学难点：应用一次函数解决实际问题。
教学过程：
一、预习检测
1、
正比例函数和一次函数的解析式；它们的关系怎样？图象与性质各是什么？
2、
什么是待定系数法？
二、合作交流
已知一次函数的图象经过点(3,5)与（－4，－9）.求这个一次函数的解析式．
三、精讲解惑：
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
例5　“黄金1号”玉米种子的价格为5
元/kg，如果
一次购买2
kg
以上的种子，超过2
kg
部分的种子的价格打8
折.
购买种子数量/kg
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金额/元
…
（1）填出下表：
（2）写出付款金额
y（单位：元）与购买种子数量
x（单位：kg）之间的函数解析式，并画出函数图象．
四、随堂练习：书95页1、
五、归纳总结：如何用待定系数法求一次函数的解析式
六、布置作业：
教学后记：
19.2.3一次函数与方程、不等式（1）
教学目标：
1.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，并能通过图象法来求二元一次方程组的解；
2.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，也是一种重要的数学思想，培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力．
教学重点：使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．
教学难点：使学生体会到实际问题中数量之间的相互关系，学会用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；
教学过程
一、预习检测：
1、画出一次函数y=2x+1的图象，当函数值y=3、0、-1时，自变量x的值分别是多少？
2、解方程：（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
二、合作交流
下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程
ax
+b
=k
就是求当函数值为k
时对应的自变量的值．
三、精讲解惑：
从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？
一般地，以方程
y
=kx+b（其中k，b
为常数，
k≠0）的解为坐标的点组成的图形与一次函数
y
=kx+b
的图象有什么关系？
例题：1号探测气球从海拔5
m
处出发，以1
m/min
的速度上升．与此同时，2
号探测气球从海拔15
m
处出发，以0.5
m/min
的速度上升．两个气球都上升了1
h．
（1）请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔
y（m）与气球上升时间
x（min）的函数关系．
气球1
海拔高度：y
=x+5；
气球2
海拔高度：y
=0.5x+15．
（2）在某时刻，两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？
归纳：从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．
四、随堂练习：书98页练习
5、
归纳总结
6、
布置作业：
教学后记：
19.2.3一次函数与方程、不等式（2）
教学目标
1:理解一次函数与一元一次不等式的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题.
2:学习用函数的观点看待不等式的方法,初步形成用全面的观点处理局部问题的思想
教学重点：使学生体会一次函数与不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题.
教学难点：使学生体会到实际问题中数量之间的相互关系，学会用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；
教学过程：
一、预习检测
二元一次方程与一次函数有什么关系？二元一次方程组呢？
2、合作交流：
下面三个不等式有什么共同特点？解不等式。
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
三、释疑解惑：
4、随堂测评；学习之友
5、归纳总结
6、布置作业
教学后记