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第六章 万有引力与航天
知识回顾
1：万有引力定律的内容是什么
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟物体质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
2：万有引力定律的适用条件是什么
公式适用于两质点之间
“r”是指两质点中心之间的距离；
当质点是两均质球体时，r是指两球体球心之间的距离。
一、“称量地球的质量”
已知：地球的半径r、地球表面重力加速度g以及卡文迪许自己已测出的引力常量G.
那么卡文迪许该如何“称量地球的质量”呢？
不考虑地球自转的影响（物体在地球的表面）
R--------为地球的半径
g---------地球表面的重力加速度
黄金代换：GM=gR2
二、计算天体的质量
解：
万有引力充当向心力 F引=Fn
已知：某行星绕转太阳的公转周期为T、轨道半径为r，能不能由此求出太阳的质量M？
F引=Fn
若已知月球绕地球的公转周期T和轨道半径r，也可求出中心天体地球的质量－－5.98×1024kg
计算中心天体的密度：
若是近地卫星：r=Re
三、发现未知天体
背景：1781年由英国物理学家威廉．赫歇尔发现了天王星，但人们观测到的天王星的运行轨迹与万有引力定律推测的结果有一些误差……
2：1930年3月14日人们发现了从被称为太阳系第9个行星— 冥王星
3.1978年人们又发现了冥王星的卫星——卡戎
1：1845年英国人亚当斯和法国天文学家勒维耶各自独立用万有引力定律计算发现了“海王星”（第8个行星）。
四、卫星的公转速度
半径越大，环绕速度越小
问题： 质量为 m 的人造卫星，绕质量为 M 的地球作半径为 r 的匀速圆周运动，卫星的线速度有 V 多大？你能得出什么结论？
解:F引=Fn
小
大
小
小
小
题2
2、假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径r增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则
A．根据公式F＝mV2/r，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2
B．根据公式F＝mω2r，可知卫星所需的向心力将增大到原来的2倍
C．根据公式F＝GMm/r2，可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4
D．以上说法都不正确
半径r变——导致——V变、ω变
2、两颗人造地球卫星质量之比m1∶m2=1∶2,轨道半径之比r1∶r2=1∶2，下列有关数据之比正确的是( )
A、周期之比T1∶T2=3∶1 B、线速度之比v1∶v2=2∶1
C、向心力之比F1∶F2=1∶1 D、向心加速度之比a1∶a2=4∶1
例题分析
1、人造地球卫星的轨道半径越大，则( )
A、速度越小，周期越小 B、速度越小，加速度越小
C、加速度越小,周期越大 D、角速度越小,加速度越大
BC
D
根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V与该层到土星中心的距离R之间的关系。下列判断正确的是：
A、若V与R成正比，则环为连续物；
B、若V2与R成正比，则环为小卫星群；
C、若V与R成反比，则环为连续物；
D、若V2与R成反比，则环为小卫星群。
例题分析
AD
例2、用宇宙飞船把宇航员送到月球上，如果他已知月球的半径，那么他用一个弹簧秤和一个已知质量的砝码，能否测出月球的质量？应该怎样测定？(已知引力常量为G）
在月球上，砝码的重力近似等于月球对它的万有引力
解得:
例: 在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星，这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起。已知两恒星的质量分别为M1和M2两恒星距离为L。求：(1)两恒星转动中心的位置；(2)转动的角速度。
分析：如图所示，两颗恒星分别以转动中心O作匀速圆周运动，角速度ω相同，设M1的转动半径为r1，M2的转动半径为r2=L-r1；它们之间的万有引力是各自的向心力。
（1）对M1，有
对M2，有
故M1ω2r1=M2ω2(L-r1)
（2）将r1值代入式①
（1）对M1，有
对M2，有
2006年广东卷17、
9.(16分)宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
17解:
（1）对于第一种运动情况，以某个星体为研究对象，根据牛顿定律和万有引力定律有：
运动星体的线速度：
周期为T，则有：
题目
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（2）设第二种情况星体之间的距离为r，则三个星体作圆周运动的半径为
由于星体作圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律得：
由④⑤⑥⑦式得：
题目
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第四节 万有引力理论的成就
【巩固教材—稳扎稳打】
1. 一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要测定物理量 ( )
A.运行周期 B.环绕半径 C.行星的体积 D.运动速度
2．科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定：
( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星上同样存在着生命
3．下列说法正确的是 ( )
A．海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．以上均不正确
4．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是 ( )
A．4年 B．6年 C．8年 D．年
【重难突破—重拳出击】
1．两个行星的质量分别为和，绕太阳做圆周运动的半径分别为和，若他们只受太阳的万有引力作用，则有： ( )
A．两个行星运动的周期之比为 B．两个行星的向心加速度之比为
C．两个行星的角速度之比是 D．两个行星的线速度之比是
2. 地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为 ( )
A．（—1）R B．R C．R D．2R
3．地球赤道上物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，假如地球的自转速度加快，使赤道上的物体完全漂浮起来，那么地球的转速应为原来的 ( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
4．一艘宇宙飞船贴近一恒星表面飞行，测得它匀速圆周运动的周期为T，设万有引力常数G，则此恒星的平均密度为 ( )
A． B．
C． D．
5．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG6－30－15，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量
( )
A．地球绕太阳公转的周期和速度
B．太阳的质量和运行速度
C．太阳质量和到MCG6－30－15的距离
D．太阳运行速度和到MCG6－30－15的距离
6. 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比 ( )
Ａ. 地球与月球间的万有引力将变大 Ｂ. 地球与月球间的万有引力将变小
Ｃ. 月球绕地球运动的周期将变长 Ｄ. 月球绕地球运动的周期将变短
7．已知月球表面的自由落体加速度是地球表面的自由落体加速度的，在月球上和地球上以同样水平速度从同样的高度抛出质量相同的小球，比较两个小球落地点到抛出点的水平距离，在月球上的距离和地球上的距离之比，是下列给出的数据中的哪个 ( )
A． B． C．6 D．36
8. 设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期是T，万有引力常量G已知，根据这些数据，能够求出的物理量有 ( )
A. 土星线速度的大小 B．土星加速度的大小
C．土星的质量 D. 太阳的质量
【巩固提高—登峰揽月】
1．继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为。试计算土星的质量和平均密度。
2. 两颗靠得很近的天体称为双星，它们以两者连线上某点为圆心作匀速圆周运动，这样就 不至于由于万有引力而吸引在一起，设两双星质量分别为m和M，M＝3m。两星间距为L，在相互万有引力的作用下，绕它们连线上某点O转动，则它们运动的角速度为多少?
第四节 万有引力理论的成就
【巩固教材－稳扎稳打】1.A 2.BC 3.AC 4.C
【重难突破—重拳出击】1.BD 2.A 3.D 4.B 5.D 6.BD 7.B 8.ABD
【巩固提高—登峰揽月】1.解答：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.
，其中，
所以：．
又，
2.
