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第七章 机械能守恒定律
若起重机提着货物静止不动，拉力对货物是否做功了？
水平地面对列车的支持力是否做功了？
如果是提着货物水平运动呢？
做功的两个不可缺少的因素是什么呢？
1功的概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了位移，我们就说这个力对物体做了功。
⑴作用在物体上的力
⑵物体在力的方向上发生的位移
力的方向与物体运动的方向相同
F 表示力的大小，l 表示位移的大小，用 W 表示力 F 所做的功：
如果力F与位移的方向既不垂直又不相同呢？
力F的方向与运动方向成任意的角度
F1
F2
F1 所做的功等于F1l
F2 所做的功等于0
力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
1J=1N×1m=1N·m
功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
功是标量
思考与讨论：
用力F拉动物体分别在光滑水平面上加速运动l；在粗糙水平面上匀速移动l；沿斜面向上减速移动l，哪种情况下力F做的功多？
撤去力F后，物体继续运动了一段位移，那么F做的功又是多少？
注意：力 F 对物体做功，只跟力的大小、位移的大小以及两者的夹角有关，而与物体受力后通过这段位移做什么运动、是否还受其他力等因素无关。
力F与l必须具备同时性。
正负
①当α<π/2 时，cosα>0，W>0。力F对物体做正功。
②当α=π/2 时，cosα=0，W=0。力F对物体不做功。
③当π/2<α≤π 时，cosα<0，W<0。力F对物体做负功。
物体克服力F做功（取绝对值）
功是标量，那么这个正负该怎么解释呢？
正功：表示动力做功，使物体能量增加。
负功：表示阻力做功，使物体能量减少。
3几个力做功的计算
例1：如图，一个物体在拉力F的作用下，水平向右移动位移为s，求各个力对物体做的功是多少；各个力对物体所做功的代数和如何；物体所受的合力是多少；合力所做的功是多少。
s
F所做的功为：W1＝Fscosα，
滑动摩擦力f所做的功为：W2＝fscos1800＝－fs
合力所做的功为：W＝F合scos00＝（Fcosα－f）s
各个力对物体所做功的代数和为：
W=W1+W2=(Fcosα－f）s
根据正交分解法求得物体所受的合力
F=Fcosα－f，合力方向向右，与位移同向；
s
解：G和FN不做功，因它们和位移的夹角为900；
结论：总功等于合力所做的功。
计算合外力的功有两种方法：
1、先分别求出各个外力的功W1=F1lcosα1，W2=F2lcosα2???，再把各个外力的功代数相加；
2、先求出合外力，再根据W=F合lcosα计算功，注意α应是合外力与位移l之间的夹角。
2.如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物与斜面的动摩擦因数为μ，现使斜面体与物共同以加速度a向左匀加速运动位移L，则弹力、摩擦力对物体所做的功、斜面体对物体所做的功为多少？合力对物块所做的功分别是多少
关于作用力和反作用力做功的关系, 下列说法正确的是：( )
A. 当作用力做正功时，反作用力一定做负功.
B. 当作用力不做功时，反作用力也不做功.
C. 作用力和反作用力所做的功一定大小相等，正负符号相反.
D. 作用力做正功时，反作用力也可能做负功.
D
小结：一对作用力和反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做负功；还可以两个力均做正功或均做负功.
巩固1、质量为m的物块放在光滑的水平面上,绳的一端固定，在绳的另一端经动滑轮用与水平方向成α角、大小为F的力拉物块，如图示，将物块由A点拉至B点，前进S，求外力对物体所做的总功有多大？
解一：注意W=FS cosα中的S应是力的作用点的位移,当物体向右移动s 时，力F的作用点既有水平位移S，又有沿绳向的位移S，合位移为S合，
S合=2S cos(α/2)
W=F S合cos(α/2) =FS(1+cosα)
解二：外力对物体所做的总功等效于水平绳和斜绳上的两个力做功的代数和
∴W=FS+FS cosα =FS（1+cosα)
S合
s
10．人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为600，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动s=2m而到达B点，此时绳与水平方向成300角，求人对绳的拉力做了多少功 ?
【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s方向一直水平，
所以无法利用W=Flcosα直接求拉力的功
而绳对物体的拉力则是恒力，可求出绳对物体的拉力的功
设滑轮距地面的高度为h，
人由A走到B的过程中，重物上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：
你能分别计算出弹簧的弹力对物体做的功吗？
在弹簧将物体拉回或弹出的过程中，弹力是一个变力，它所做的功就是变力做功，力F的大小时刻在变化，所以我们不能用W=Flcosα来求解。
公式W=Flcosα只适用于大小和方向均不变的恒力做功
巩固2、一辆马车在力F=100N的作用下绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运动一周回到原位置时，车子克服阻力所做的功为多少？
解：
阻力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不能直接由功的公式计算。
采用微元法解之，将圆分成很多很多小段，在这些小段中，力可以看作恒力，于是
Wf =fΔs1cosπ＋fΔs2cosπ＋fΔs3cosπ＋fΔs4cosπ＋
……
= – fs= – Fs = – F×2πR= – 3.14 ×104 J
W克= – Wf= 3.14 ×104 J
用平均力法.铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=-f=kx，可用平均阻力来代替.如图(a)
巩固5. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度 ? (设铁锤每次做功相等)
解一：
第二次击入深度为x1到x2，
两次做功相等：W1=W2.
∴△x=x2-x1=0.41cm.
解二：用图像法
因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图像，如图(b)，
曲线下面积的值等于F对铁钉做的功. （示功图）
因S1 = S2 (面积)，即：
1/2× kx21=1/2× k(x2+x1)(x2-x1)，
∴ △x=x2-x1=0.41cm.
恒力做功时，F与x图象
W= F0 x0
W2=kx1△x+k(x1+△x)△x+ x+k(x1+2△x)△x+……
如图所示，在一个足够大的水池中有一个边长为a的正方体木块静止地浮在水面上，其体积的一半浸在水中.现竖直向下缓慢压木块，使木块上表面与水面相平，求此过程中压力对木块做的功. (已知水的密度为ρ水 ）
mg
F
x为木块缓慢向下运动的位移，o≤x≤a/2。
根据平衡条件：
初始状态：
由上三式可得：
F浮
图线与x轴所围的“面积”表示压力F做的功，得 :
小结：
功
1、功的概念及其决定因素。
2、功的计算公式： W=Flcosα
3、功是标量，其单位是：焦耳（J）
4、功有正、负之分
①当α=π/2时，cosα=0，W=0。力F和位移的方向垂直时，力F不做功；
②当α＜π/2时，cosα＞0，W＞0。这表示力F对物体做正功；
③当π/2＜α≤π时，cosα＜0，W＜0。这表示力F对物体做负功。
第二节 功
【巩固教材－稳扎稳打】
1．下列关于力做功的说法中，正确的是 ( )
A．人用力F=300N将足球踢出，球在空中飞行40m，人对足球做功1200J
B．人用力推物体，但物体未被推动，人对物体做功为零
C．物体竖直上升时，重力不做功
D．只有恒力才能做功，变力不能做功
2．用同样大小的力F作用于放在同一粗糙水平面上三块相同的木块，第一块受力方向与水平方向成θ角斜向上，第二块受力方向与水平方向成θ角斜向下，第三块受力方向沿水平方向．三块木块都从静止开始运动相同的距离，则有 ( )
A．力F斜向上时，需克服摩擦阻力最小，力F做功最大
B．力F斜向下时，需克服摩擦阻力最大，力F做功最大
C．三种情况力F一样大，通过的位移也一样，力F做功也一样大
D．第一、二种情况下力F做功相同，都小于第三种情况下力F做功
3．一个斜面长5 m，高2.5 m，用平行于斜面、大小为100 N的力F，将质量为10 kg的物体从斜面底端匀速推到斜面的顶端．在这个过程中（g取） ( )
A．力F做功500 J B．力F做功250 J
C．重力做功250 J D．克服摩擦力做功250 J
4．质量为m的物体放在粗糙的水平面上，受到水平力F的作用，下列叙述中正确的是( )
A．如果物体做匀加速直线运动，则力F一定做正功
B．如果物体做匀加速直线运动，则力F可能做负功
C．如果物体做匀减速直线运动，则力F可能做正功
D．如果物体做匀减速直线运动，则力F可能做负功
【重难突破—重拳出击】
1．如图5-2所示，重物P放在一长木板上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对木板始终保持静止．关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是( )
A．摩擦力对重物不做功
B．摩擦力对重物做负功
C．支持力对重物不做功
D．支持力对重物做正功
2．关于摩擦力对物体做功，以下说法中正确的是 ( )
A．滑动摩擦力总是做负功
B．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功
C．静摩擦力对物体一定做负功
D．静摩擦力对物体总是做正功
3．如图5-3所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿平面移动了距离s，若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为F1，则在此过程中( )
A．摩擦力做的功为F1s B．力F做的功为
C．力F做的功为 D．重力做的功为mgs
4．质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，当斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s时，如图5-4所示，物体m相对斜面静止，则下列说法中不正确的是 ( )
A．摩擦力对物体m做功为零
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．弹力对物体m做正功
5．起重机竖直吊起质量为m的重物，上升的加速度是α，上升的高度是h，则起重机对货物所做的功是 ( )
A．mgh B．mαh
C．m（g＋α）h D．m（g-α）h
6．将横截面积为S的玻璃管弯成如图5-5所示的连通器，放在水平桌面上，左、右管处在竖直状态，先关闭阀门K，往左、右管中分别注入高度为h1和h2、密度为ρ的液体，然后打开阀门K，直到液体静止，在上述过程中，重力对液体做的功为 ( )
A. ρgS (h1-h2) B. ρgS (h1-h2)2
C. ρgS (h1-h2)2 D. ρgS (h1-h2)
7．物体A和B叠放在光滑水平面上,mA=1Kg,mB=2 Kg. B上作用一个3N的水平拉力后，AB一起前进了4m，如图5-6 所示．在这个过程中B对A做的功 ( )
A．4 J B．12 J
C．0 D．-4J
8．质量为m的物块A始终附着在楔形物块B的倾角为θ的斜面上，如图5-7所示，下列说法中正确的是 ( )
A．若B向右匀速移动距离s，则B对A做的功为零
B．若B向上匀速移动距离s，则B对A做的功为mgs
C．若B向左以加速度a移动距离s，则B对A做的功为mas
D．若B向下以加速度a移动距离s，则B对A做的功为m(g＋a)s
【巩固提高—登峰揽月】
1．某人用300N的水平推力，把一个质量为50kg的木箱沿水平路面加速推动10m，后来又把它匀速举高2m，这个人对木箱共做功多少？
2．如图5－8所示，用恒力F通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功．
第二节 功
【巩固教材－稳扎稳打】1.B 2.D 3.AD 4.ACD
【重难突破—重拳出击】1.AD 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.ABC
【巩固提高—登峰揽月】1.分析 整个做功过程分为两个阶段：在水平路面上用力F1=300N，位移s1=10m；在竖直方向上用力F2，位移s2=2m．全过程中做功为这两个阶段中做功之和．
解答 沿水平路面推行时，人对木箱做功为
W1= F1 s1=300×10J=3×103J．
匀速举高时，人对木箱的托力F2=mg，人对木箱做功为
W2=F2s2=mgs2=50×10×2J=1×103J．
所以全过程中人对木箱做的功为
W=W1+W2=4×103J．
2.分析 从题设的条件看，作用于物体上的绳的拉力T，大小与外力F相等，但物体从A运动至B的过程中，拉力T的方向与水平面的夹角由α变为β，显然拉力T为变力．此时恒力功定义式W=F·S·cosα就不适用了．如何化求变力功转而求恒力功就成为解题的关键．由于绳拉物体的变力T对物体所做的功与恒力F拉绳做的功相等，根据力对空间积累效应的等效替代便可求出绳的拉力对物体做的功．
解答 设物体在位置A时，滑轮左侧绳长为l1，当物体被绳拉至位置B时，绳长变为l2，因此物体由A到B，绳长的变化量
又因T=F，则绳的拉力T对物体做的功
图5?7
图5?8
