北师大版八年级下册数学课件：1.1 等腰三角形（二）（25张ppt）

(共25张PPT)
初中数学八年级（下）
第一节 等腰三角形（二）
第一章 三角形的证明
小故事 大智慧
推理证明很重要吆！
忆一忆
等腰三角形的性质：
等腰三角形


两底角相等（等边对等角）
顶角的平分线、底边上高线、底边上中线互相重合（三线合一）
全等三角形





D

等线段、等角
请你在等腰三角形中画出一些线段
（如角平分线、中线、高等），

你能发现其中一些相等的线段吗？

你能说明你的结论是正确的吗？


想一想、做一做
伟大的发现来源于猜想


猜想
等腰三角形
两底角平分线相等
等腰三角形
两腰上中线相等
等腰三角形
两腰上高线相等
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
探究等腰三角形的性质


条件
结论
D
E
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是
△ABC的角平分线.
求证：BD=CE


1
2
探究等腰三角形的性质
D
E
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE
证明∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1= ∠ABC ∠2= ∠ACB
在△BDC和△CEB中
∵∠ACB=∠ABC BC=CB ∠1=∠2


1
2
∴∠1=∠2
∴△BDC≌△CEB(ASA)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
探究等腰三角形的性质
D
E
证法2:∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB
∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB
∴∠3= ∠ABC ∠4= ∠ACB
∴∠3=∠4
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4 AB=AC ∠A=∠A
∴△ABD≌△ACE(ASA)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
一题多解


3
4
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
反思提升：


条件
结论
D
E
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE
文字语言
证明几何命题的基本步骤
符号语言
图形语言

△BDC≌△CEB
由因导果
执果索因

画
找
写
证



思维拓展：
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB
那么BD=CE吗?
在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC和AB上.
证明∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB
∴∠3= ∠ABC ∠4= ∠ACB
∴∠3=∠4
在△ABD和△ACE中
∵∠3=∠4 AB=AC ∠A=∠A
∴△ABD≌△ACE(ASA)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
3


4
思维拓展：
(2)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?
那么BD=CE吗?
在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC和AB上.
(3)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?
那么BD=CE吗?
由此，你得到什么结论？
等腰三角形两底角的对应n等分线相等
上述的研究过程你得到什么启发？
“特殊” “一般”

重要数学思想方法
类比探究
例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
证明：在△ABC中，AB=AC
∵BD、CE是△ABC的中线
∴AD= AC AE= AB
∴AD=AE
在△ADB和△AEC中,
∵AB=AC
∠A=∠A
AD=AE
∴△ADB≌△AEC(SAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
已知：在△ABC中，AB=AC
BD、CE是△ABC的中线
求证：BD=CE
思维拓展：
在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC和AB上.
如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?

如果AD= AC，AE= AB呢?
由此,你能得到什么结论?
等腰三角形两腰上对应n等分线相等

课堂延伸
等腰三角形两腰上的高线相等.
反思提升：

A
B
C
等腰三角形两底角的平分线相等
等腰三角形两腰上的中线相等
等腰三角形两腰上高相等
再探新知：
等边三角形作为特殊的等腰三角形，
它又会有怎样的性质呢？
边：
三边相等
角：
三内角相等，每个内角都等于60°
重要线段：
学以致用：
等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60.
已知:如图所示，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°
证明:∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角)
又∵AC=BC(已知)
∴∠A=∠B(等边对等角)
∴∠A=∠B =∠C
在△ABC中
∵∠A+∠B +∠C=180°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
证明：
定理
再探新知：
等边三角形作为特殊的等腰三角形，
它又会有怎样的性质呢？
边：
三边相等
角：
三内角相等，每个内角都等于60°
重要线段：
（1）：每边上“三线合一”
（2）：三内角平分线、三边中线、三条高线都相等
学以致用：
求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
D
E
O
已知: 在△ABC中，AB=AC=BC,△ABC的中线AD、BE相交于点O
求∠BOD的度数.
解: 在△ABC中，
∵AB=AC=BC,AD、BE是△ABC的中线
∴AD⊥BC，BE平分∠ABC
∴∠ADB=90° ∠OBD= ∠ABC=30°（三线合一）
∴∠BOD=903060
反思总结
本节课我们有哪些收获呢？

知识

1等腰三角形中对应线段相等
2 等边三角形性质：边、角、重要线段
等腰三角形
方法

1 命题四步法：找、画、写、证
2 几何证明： 执果索因、由因导果
数学思想

1.转化 “三种”语言转化”
2.“特殊”—“一般”
挑战自我！
2. 如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝CD，则∠E＝　 　度．
3．证明命题“等腰三角形两腰上的高相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，　 　．
求证：　 　
请补全已知和求证部分，并写出证明过程．

1.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝25°，则∠ACE的度数是（　　）
A．25° B．50° C．32.5° D．65°

挑战自我！
2. 如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝CD，则∠E＝　 　度．

1.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝25°，则∠ACE的度数是（　　）
A．25° B．50° C．32.5° D．65°

C
30
3.答案：CE⊥AB，BD⊥AC；CE＝BD
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC＝∠CDB=90°，
∵BC＝BC，
∴△BEC≌△CDB（ASA），
∴CE＝BD．
快乐作业！
1．如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，
且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝　 　．

4．如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC.
（1）分别在AB、AD的中点E，F处拉两根彩线EC，FC，证明这两根彩线的长度相等；
（2）如果AE= AB，AF= AD，那么彩线的长度相等吗？
如果AE= AB，AF= AD呢？由此你能得到什么结论？
（3）除了（1）（2）条件外，你还能在哪些已知条件下得到两根彩线的长度相等的结论？


A组
B组
2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，
若BD=BC，则∠A等于多少度？

3.已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB，
AC上的点，且AD=CE.
求证：CD=BE.
再见