人教A版高中数学选修4-5不等式题型全归纳 学案（含答案）

一、均值不等式在证明中的应用
1. （1）已知，求证：；
（2）已知实数 满足：，试利用（1）求的最小值。
（1）证：
（当且仅当时，取等号）；
（2）解：，当且仅当时，的最小值是。
考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式



二、绝对值不等式
2. 已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围为_______.
答案：
解析：分别作出函数与的图像，
由图知，时，函数与无交点，
时，函数与有三个交点，
故
当，时，函数与有一个交点，
当，时，函数与有两个交点，
当时，若与相切，
则由得：或（舍），
因此当，时，函数与有两个交点，
当，时，函数与有三个交点，
当，时，函数与有四个交点，
所以当且仅当时，函数与恰有个交点.

考点：单绝对值不等式
3. 存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为_____________
答案：?
解析：不等式 ，即 ，
令 的图象是关于 对称的一个 字形图形，其象位于第一、二象限；
，是一个开口向下，关于 轴对称，最大值为 的抛物线；
要存在 ，使不等式 成立，
则 的图象应该在第二象限和 的图象有交点，
两种临界情况，①当 时，的右半部分和 在第二象限相切：
的右半部分即 ，
联列方程 ，只有一个解；
即 ，即 ，?，得： ；
此时 恒大于等于 ，所以取不到；
所以 ；
②当 时，要使 和 在第二象限有交点，
即 的左半部分和 的交点的位于第二象限；
无需联列方程，只要 与 轴的交点小于 即可；
与 轴的交点为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
综上，实数 的取值范围是： ；
故答案为：．

考点：单绝对值不等式
4. 已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，且当时，，求的取值范围。
（1）当时，令，
作出函数图像可知，当时，，
故原不等式的解集为；
（2）依题意，原不等式化为，
故对都成立，
故，
故，
故的取值范围是.

考点：同系数绝对值相加型不等式

5. 已知函数
（1）证明：
（2）求不等式的解集。
（1）
当时，，所以，
（2）由（1）可知
当 时，的解集为空集；
当时，的解集为?
当 时，的解集为
综上：不等式的解集：
考点：同系数绝对值相减型不等式
6. 设函数
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
（1）由题意得?
当 时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，解得，
综上，不等式的解集为．
（2）由（1）得 ，若， 恒成立，
则只需 ，解得 ，
综上，的取值范围为?
考点：不同系数绝对值相加减型不等式
7. 设函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)如果不等式的解集为，求的值。
（1）当时，可化为。
???????? 由此可得? 或。
???????? 故不等式的解集为或。
?(2) 由 得
???????? 此不等式化为不等式组 ?? 或
即 或
???????? 因为，所以不等式组的解集为
???????? 由题设可得，故
考点：已知绝对值不等式解求参数
8. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.?
答案：
（1）当时，
?所以不等式可化为，或，或
解得或
因此不等式的解集为或
（2）由已知
即为，
也即
若的解集包含 ，
则，，
也就是，，
所以，，
从而，
解得
因此的取值范围为.
考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减

9. 已知函数，
（1）若对任意的有成立，求的取值范围；
（2）若不等式，对于任意的都成立，求的取值范围。
（1）根据题意, 小于等于 的最小值
由?
可得
所以
（2）当 即 时， 恒成立，
当 时，由绝对值不等式得性质可得
，
当且仅当 时取 ， 恒成立，
，
，
?
考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式

10. 已知函数 .
(1)求 的取值范围,使 为常数函数.
(2)若关于 的不等式 有解,求实数 的取值范围.
(1)
则当 时, 为常数函数.
(2)方法一:如图,结合(1)知函数的最小值为 ,
实数 的取值范围为 .
方法二: ;
,
等号当且仅当 时成立.
得函数 的最小值为 ,则实数 的取值范围为 .

考点：含绝对值不等式的能成立问题
11. 已知实数满足：求证：．
证明：，
由题设
.
.
考点：绝对值的三角不等式
12. 已知函数．
（1）求的解集；
（2）设函数，，若对任意的都成立，求实数的取值范围．
（1），
，即,
① 或② 或③
解得不等式①：；②：无解；③：，
所以的解集为或．???????????????????
（2）即的图象恒在图象的上方，
可以作出的图象，
而图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，
作出函数图象， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
其中 ，，
由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，
实数的取值范围应该为． ?
?? ?
考点：同系数绝对值不等式相加型、 ?数形结合在含参绝对值不等式中的应用? ? ?

三、证明不等式的基本方法
13. 设不等式的解集是，．
（1）试比较与的大小；
（2）设表示数集的最大数．求证：
答案：（1）（2）见解析
解析：（1）先解出
.
问题得证.
（2）
可知,
所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出.
故.
考点：比较法证明不等式
14. 已知,不等式的解集为.
（1）求；
（2）当时,证明:.
（1）解不等式： ；
? 或? 或
或或，
. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
（2）需证明：，
只需证明，
即需证明

，
所以原不等式成立.?
考点：分析法证明不等式
15. 设 且证明：
（1） ；
（2） 与 不可能同时成立.
由， 得
（1）由基本不等式及 ，有 ，即；
（2）假设与同时成立，
则由 及 得 ，
同理 ，
从而 ，这与 矛盾，
故 与 不可能同时成立.
考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用
16. 已知数列的前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前和为，证明：．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）考虑到，因此可以利用条件中的式子得到数列的一个递推公式，从而即可求解；（2）由（1）可知，，从而可证，进一步放缩可得，求和即可得证.
试题解析：（1）∵，当时， ，又∵，与两边分别相减得，得，又∵，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，得；
∵，∴，，得，又∵，∴
，∴.

四、柯西不等式
17. 已知关于的不等式的解集为
求实数 的值；
求的最大值.
由，
得
则，
解得


当且仅当即时等号成立，
故.
考点：柯西不等式的代数形式

18. 已知函数且的解集为,
求的值;
若且求证
(1)
的解集是
故.
由知
由柯西不等式得

考点：一般的柯西不等式