市一中2019-2020学年度第二学期线上教学测试
高二数学试题(理)
命题人
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．复平面内表示复数i(1－2i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．关于综合法和分析法的说法错误的是( )
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
3．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
4．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知P(A)＝，P(AB)＝，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
6.函数y=f(x)导函数f'(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(? ? ? )
A. 函数y=f(x)在上单调递增 B. 函数y=f(x)的递减区间为(3,5) C. 函数y=f(x)在x=0处取得极大值 D. 函数y=f(x)在x=5处取得极小值
7.设函数f(x)=x2,0≤x≤1,1,1A. 83 B. 2 C. 43 D. 13
8.已知f(x)=x2+3xf'(1)，则f'(2)=(????)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
9.若An3=12Cn2，则n=(????)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 4
10.函数y=x4?4x+3在区间[?2,3]上的最小值为(? ? ?)
A. 72 B. 36 C. 12 D. 0
11.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(????)
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
12.若函数f(x)=lnx+ax+1x在[1,+∞)上是单调函数，则a的取值范围是(????)
A. (?∞,0]∪[14,+∞) B. (?∞,?14]∪[0,+∞) C. [?14,0] D. (?∞,1]
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13. (x－y)10展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．
14.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=______．
15.定积分011?(x?1)2dx=________．
16. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)
17.若函数f(x)=x2?x+1+alnx在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共4小题，共44分）
18.（10分）用数学归纳法证明：
1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n(n∈N＋)．
19. （10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
20.（12分） 已知函数f(x)=alnx?bx2，a，b∈R.若f(x)在x=1处与直线y=?12相切． (1)求a，b的值； (2)求f(x)在[1e,e]上的极值．
21.（12分） 已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明f(x)≤?34a?2．
市一中2019-2020学年度第二学期线上教学测试
高二数学试题(理) 参考答案
一、选择题（本题共12道小题，每小题3分，共36分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
C
B
D
C
A
A
D
D
B
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13. －240 14. 121 15. 16. 72 17. [18,+∞)
三、解答题（本大题共4小题，共44分）
18. 证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.
则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝2k2－k＋(4k＋1)
＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1)．
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综合(1)(2)可知，原命题成立．
19. (1)从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分．故X的取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量的分布列，可以得到得分大于6分的概率为
P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
20. 解：(1)f'x=ax?2bx， ∵函数f(x)在x=1处与直线y=?12相切， ∴f'(1)=0f(1)=?12，即a?2b=0?b=?12，解得a=1b=12； (2)由(1)得：f(x)=lnx?12x2，定义域为(0,+∞)． f'x=1x?x=1?x2x， 令f'x>0，解得01． ∴f(x)在(1e,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减， ∴f(x)在[1e,e]上的极大值为f(1)=?12，无极小值．
21. (1)解：因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，且f(x)的定义域为{x|x>0}， 所以f'(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x， ①当a=0时，f'(x)=1x+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增； ②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增； ③当a<0时，令f'(x)=0，解得：x=?12a， 因为当x∈(0,?12a)时f'(x)>0；当x∈(?12a,+∞)时，f'(x)<0， 所以y=f(x)在(0,?12a)上单调递增、在(?12a,+∞)上单调递减； 综上可知：当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增， 当a<0时，f(x)在(0,?12a)上单调递增、在(?12a,+∞)上单调递减； (2)证明：由(1)可知：当a<0时f(x)在(0,?12a)上单调递增、在(?12a,+∞)上单调递减， 所以当x=?12a时函数y=f(x)取最大值f(x)max=f(?12a)=?1?ln2?14a+ln(?1a)， 从而要证f(x)≤?34a?2，即证f(?12a)≤?34a?2， 即证?1?ln2?14a+ln(?1a)≤?34a?2，即证?12(?1a)+ln(?1a)≤?1+ln2; 令t=?1a，则t>0，问题转化为证明：?12t+lnt≤?1+ln2，(?) 令g(t)=?12t+lnt，则g'(t)=?12+1t， 令g'(t)=0可知t=2，则当00，当t>2时g'(t)<0， 所以y=g(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+∞)上单调递减， 即g(t)≤g(2)=?12×2+ln2=?1+ln2，即(?)式成立， 所以当a<0时，f(x)≤?34a?2成立．
