中考数学二轮复习——三角形四边形探索题目（PDF版，附答案）

微复习：三角形、四边形综合探索题型
随着中考题型的不断变化，三角形、四边形题目由原来单纯考察全等、相
似、旋转、位移、特殊平行四边形等基础题型，也变为开放探索性综合题目。开
放探索性问题，由于没有指明结论，对学生的要求较高，一般要求学生通过自己
的观察、猜想、分析、归纳概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件。所以
是近几年的热点考题。如：山东枣庄 2017 年中考题目
例 1：已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，
使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA，EC．
（1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC；
（2）如图 2，若点 P在线段 AB 的中点，连接 AC，判断△ACE 的形状，并说
明理由；
（3）如图 3，若点 P 在线段 AB 上，连接 AC，当 EP 平分∠AEC时，设 AB=a，
BP=b，求 :a b及∠AEC 的度数．
:
分析:这是一道典型的三角形、四边形综合题目。（1）连 BE，依据正方形的性
质可得到△CBE≌△ABE，即可得出结论；（2）是结论探索型问题，具有开放性，
学生要依据正方形的性质，分别表示出△ACE三边的长度，即可得出结论；（3）
正方形的性质和 EP平分∠AEC可推出三线合一的存在，利用三角形相似即可
得出结论，求∠AEC 的度数，要利用勾股定理、三角形全等的性质得出 CE 平分
∠ACF即可得出结论
由此得出：三角形、四边形综合题目，要求学生不仅要掌握三角形、四边形
的基础知识点，而且还要把这些知识点形成知识树，明白知识点之间的关系，并
能灵活进行知识点间的互换；还要学生把自己平时的做题经验进行总结，形成自
己的解题能力。
AD
C
B
E
F
P
AD
C B F
EP
图 1 图 2
图 3
AD
B
E
FC
P
例 2、如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AC，BC 上，
且 CD=CE．
（1）如图 1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2 ，CE=1，求△CGF 的面积．
分析：这是一道典型的三角形综合题目。
（1）直接判断出△ACE≌△BCD 即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出 BD=3，进而求出 CF= ，同理：EG= ，再利用等面积法求出
ME，进而求出 GM，最后用面积公式即可得出结论．
例 3、如图，在矩形 ABCD 中，AB═2，AD= ，P 是 BC 边上的一点，且 BP=2CP．
（1）用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E，连接 AE、BE（保留作图痕迹，不
写作法）；
（2）如图②，在（1）的条体下，判断 EB 是否平分∠AEC，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点 F，连接
AP，不添加辅助线，△PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与△PAE 组成一个等腰
三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方
向和平移距离）
分析：这是一道图形变换综合题目。（1）考查学生的动手操作能力；（2）是
存在探索型问题----在一定条件下探索发现某种数学关系是否存在，考查学生的
推理能力和综合运用数学知识的能力；（3）属于图形变换，是结论探索型问题。
例 4：问题：已知α、β均为锐角，tanα= ，tanβ= ，求α+β的度数．
探究：（1）用 6 个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 1），
请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中 M、P、H 三点的圆弧与 AH 交于 R，求 的弧长．
分析：这是一道有关圆的计算综合题目，属于探索型问题。
（1）连结 AM、MH，则∠MHP=∠α，然后再证明△AMH 为等腰直角三角形即可；
（2）先求得 MH的长，然后再求得弧 MR 所对圆心角的度数，最后，再依据弧
长公式求解即可。掌握本题的辅助线的作法是解题的关键，这也说明学生在平时
的做题经验的总结很重要。
例 5：（2019 威海）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝10cm，E 为对角线 BD 上一动点，连接 AE，
CE，过 E 点作 EF⊥AE，交直线 BC 于点 F．E点从 B点出发，沿着 BD 方向以每秒 2cm 的速
度运动，当点 E 与点 D重合时，运动停止．设△BEF 的面积为 ycm
2
，E 点的运动时间为 x
秒．（1）求证：CE＝EF；
（2）求 y与 x之间关系的函数表达式，并写出自变量 x的取值范围；
（3）求△BEF 面积的最大值
中考数学在线：
1、（2019 烟台）【问题探究】
（1）如图 1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
点 B，D，E在同一直线上，连接 AD，BD．
①请探究 AD与 BD之间的位置关系： ；
②若 AC＝BC＝ ，DC＝CE＝ ，则线段 AD的长为 ；
【拓展延伸】
（2）如图 2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC
＝ ，BC＝ ，CD＝ ，CE＝1．将△DCE绕点 C在平面内顺时针旋转，
设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线 BD，连接 AD，当点 B，D，
E在同一直线上时，画出图形，并求线段 AD的长．
2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB
以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD⊥AC 于点 D（点 P 不与
点 A、B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q．设点 P 的运动时间为 t
秒．
（1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；
（2）当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；
（3）设△PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；
3、如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是 AD 上的一个动点．
（1）如图 1，连接 BD，O 是对角线 BD 的中点，连接 OE．当 OE=DE 时，求 AE
的长；
（2）如图 2，连接 BE，EC，过点 E 作 EF⊥EC 交 AB 于点 F，连接 CF，与 BE 交于
点 G．当 BE 平分∠ABC 时，求 BG 的长；
（3）如图 3，连接 EC，点 H在 CD 上，将矩形 ABCD 沿直线 EH折叠，折叠后点
D落在 EC 上的点 D'处，过点 D′作 D′N⊥AD 于点 N，与 EH交于点 M，且 AE=1．
①求 的值；
②连接 BE，△D'MH 与△CBE 是否相似？请说明理由．
4、如图 1，在矩形 ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是 CD边上一点，连接 AE，
将矩形 ABCD沿 AE折叠，顶点 D恰好落在 BC边上点 F处，延长 AE交 BC的
延长线于点 G．
（1）求线段 CE的长；
（2）如图 2，M，N分别是线段 AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠
DMN＝∠DAM，设 AM＝x，DN＝y．
①写出 y关于 x的函数解析式，并求出 y的最小值；
②是否存在这样的点 M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出 x的值；
若不存在，请说明理由．
5、如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EG∥
CD 交 AF于点 G，连接 DG．
（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；
（2）探究线段 EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 AG=6，EG=2 ，求 BE 的长．
6、将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形 AEFG．
（1）如图，当点 E 在 BD 上时．求证：FD=CD；
（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．
7、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．
（1）如图 1，点 M，N分别在 AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2
时，求线段 AM的长；
（2）如图 2，点 E，F分别在 AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图 3，点 M在 AD的延长线上，点 N在 AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN
＝ AM．
参考答案：
例 1：（2）直角三角形 （3） 1:2: ?ba 45°
例 2：解：（1）在△ACE和△BCD 中， ，
∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；
（2）如图 2，在 Rt△BCD 中，点 F 是 BD 的中点，
∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，
∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，
∴∠AMC=90°，∴AE⊥CF；
（3）:S△CFG= CF?GM= × × = ．
例 3：（2）EB 是平分∠AEC（3）△PFB 能由都经过 P点的两次变换与△PAE组成
一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和△EPA重合，
①沿 PF折叠，②沿 AE 折叠．
例 4、（1）即α+β=45°． （2） = = ．
例 5：（1）AE＝CE＝EF；
（2）y＝ ＝ ＝﹣2x
2
+5 x（0≤x≤5 ）；
（3）当 x＝ 时，y 有最大值是 ；即△BEF 面积的最大值是 ．
中考数学在线：
1、解：【问题探究】（1）：AD⊥BD ②4
【拓展延伸】（2）若点 D在 BC右侧，∴AD＝DF+AF＝3
若点 D在 BC左侧，∴AD＝AF﹣DF＝2
2、解：（1）CD=AC﹣AD=2 ﹣ t（0＜t＜2）；
（2）t=1；
（3）S= ；
3、解：（1）AE= ；（2）在 Rt△GKB中，BG= ；
（3）① ；②相似
4、（1）EC＝3；（2）当 x＝4 时，y有最小值，最小值＝2；
（3）．满足条件的 x的值为 8 ﹣10或 ．
5、（2）EG2= GF?AF． （3）BE=AD﹣GH=4 ﹣ = ．
6、（2）当 GB=GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点 G 在 AD右侧时，取 BC 的中点 H，连接 GH 交 AD 于 M，旋转角α=60°；
②当点 G 在 AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴旋转角α=360°﹣
60°=300°．
7、（1）AM＝AD﹣DM＝ ﹣ ；
（2）证明：△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；
（3）证明：过点 M作 ME∥BC交 AB的延长线于 E，∴△BME≌△AMN（ASA），
∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝ AM．