高中物理人教版必修二导学案6.4 万有引力理论的成就 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 高中物理人教版必修二导学案6.4 万有引力理论的成就 Word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 709.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2020-05-07 12:31:38 | ||
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文档简介
4 万有引力理论的成就
知识体系
关键点击
2种计算——天体质量及密度的计算
2条解题思路——＝m＝mω2r、GM＝gR2
知识点一 计算天体的质量
(1)称量地球的质量
①思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．
②关系式：mg＝.
③结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
(2)太阳质量的计算
①思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
②关系式：＝mr.
③结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．
④推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.
知识点二 发现未知天体
(1)海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
(2)其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．
1．天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．( )
[答案] ×
2．海王星的发现确立了万有引力定律的地位．( )
[答案] √
3．牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．( )
[答案] ×
4．地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．( )
[答案] ×
5．若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．( )
[答案] ×
6．若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量．( )
[答案] √
1．若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？
[提示] 能求出地球的质量．利用G＝m2r求出的
质量M＝为中心天体的质量．做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量．
2．如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动．
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
[提示] (1)由G＝m得v＝ ，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的．
(2)无关．因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以消掉．
要点一 天体质量的计算方法
1．重力加速度法
若已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，忽略天体自转的影响，则物体的重力等于天体对物体的万有引力，得mg＝G，解得天体质量为M＝.
2．环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
G＝m
M＝
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2
M＝
G＝mr
M＝
【典例】 (多选)已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是( )
A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
B．月球绕地球运行的周期和轨道半径
C．月球绕地球运行的周期及月球的半径
D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及地球表面的重力加速度
[思路点拨] 求地球的质量，方法有二：一是根据地球表面物体的重力等于万有引力，另一种是让地球处于中心天体，分析其绕行卫星的运动情况．
[解析] 根据万有引力提供向心力，对地球有G＝mr，其中m为地球质量，在等式中消去，只能求出太阳的质量M，也就是说只能求出中心天体的质量，故A错误；月球绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球的万有引力充当向心力，对月球有G＝mr，可得地球的质量M＝，其中r为地球与月球间的距离，即月球的轨道半径，而不是月球本身的半径，故B正确，C错误；若不考虑地球自转，地球表面物体的重力等于万有引力，即mg＝G，因此，可求出地球的质量M＝，故D正确．
[答案] BD
解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动．
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律．
(3)利用黄金公式——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题．
[针对训练] 若地球绕太阳公转的周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转的周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B．
C. D．
[解析] 无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，都有＝mR0，即M∝，所以＝.
[答案] A
易错警示(根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星(的质量.
要点二 天体密度的计算方法
根据密度公式ρ＝，只要求出天体的质量和半径就可以代入此式计算天体的密度．
1．利用天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．
由mg＝和M＝ρ·πR3，可得ρ＝.
2．若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由G＝mr和M＝ρ·πR3，可得ρ＝.
【典例】 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
[思路点拨] 利用环绕法求出中心天体的质量，再除以天体的体积即得天体的密度．
[解析] 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR，解得M＝
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝.
(2)卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m(R＋h)，解得ρ＝＝.
[答案] (1) (2)
(1(卫星在距天体表面的高度为h的轨道上运行时，轨道半径为R＋h，此天体的半径为R.注意区分卫星轨道半径和中心天体半径，求天体体积时要用天体的半径R.?(2(若行星(或卫星(在天体表面附近运行，运行周期为T，则有R＝r，此时中心天体的密度为ρ＝.
[针对训练] “嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．如图所示，若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
[解析] 由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面附近轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3，联立解得月球的密度ρ＝，A正确．
[答案] A
易错警示(不要混淆或乱用天体半径与轨道半径，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.
要点三 天体运动的分析与计算
1．应用万有引力定律解题的两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
G＝m＝mr＝mω2r.
(2)黄金代换
在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，从而得出GM＝R2g.
2．几个常用公式
(1)由G＝m可得v＝ ，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r可得ω＝ ，r越大，ω越小．
(3)由G＝m2r可得T＝2π，r越大，T越大．
(4)由G＝ma可得a＝，r越大，a越小．
【典例】 如下图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
[思路点拨] 解答本题的关键是能够根据太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力，列出相关动力学方程．
[解析] 由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G＝m2r可得T＝ ，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误．
[答案] C
解决该类问题要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型，就是将天体(或卫星(的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星(的向心力由万有引力提供.
[针对训练] 在距地面不同高度的太空有许多飞行器．其中“天舟一号”距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，“张衡一号”距地面高度约为500 km.若它们均可视为绕地球做圆周运动，则( )
A．“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度
B．哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度
C．“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期
D．哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度
[解析] “天舟一号”与“张衡一号”做圆周运动时均由万有引力提供向心力，由G＝ma可得a＝，“天舟一号”轨道半径小，故加速度大，A正确；哈勃望远镜和“张衡一号”做圆周运动时均是由万有引力提供向心力，由G＝m可得v＝ ，哈勃望远镜轨道半径大，故线速度小，由＝mrω2可得ω＝ ，哈勃望远镜轨道半径大，故角速度小，B、D错误；“天舟一号”与哈勃望远镜做圆周运动时均是由万有引力提供向心力，由G＝mr可得T＝2π ，哈勃望远镜轨道半径大，故周期大，C错误．
[答案] A
易错警示(在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小.
1．(天体质量的计算)已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1018 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
[解析] 依据万有引力定律有：F＝G①
而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸引力：
F＝mg②
联立①②解得：g＝G
解得：M＝＝ kg≈6×1024 kg.
[答案] D
2．(天体密度的计算)地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是( )
A. B．
C. D．
[解析] 地球表面有G＝mg，得M＝ ①，又由ρ＝＝ ②，由①②得出ρ＝.
[答案] A
3．(天体运动的v与r的关联)如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝
B.＝
C.＝2
D.＝2
[解析] 对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ .所以对于a、b两颗人造卫星有＝，故选项A正确．
[答案] A
4．(天体运动的T与r的关联)人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T.为使其周期变为8T，可采用的方法有( )
A．保持轨道半径不变，使线速度减小为
B．逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为4r
C．逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为8r
D．保持线速度不变，将轨道半径增加到8r
[解析] 利用万有引力提供卫星的向心力可以得到v＝，T＝2π ，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关，使轨道半径逐渐增大为4r，能使其周期变为8T，速率同时减小为，B正确，A、C、D错误．
[答案] B
知识拓展之——宇宙双星问题
如图所示宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，
它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点：
1．由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同．
2．由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等．由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝L，r2＝L，则＝.
【典例】 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
[解析] 由题意可知两中子星的距离L和周期T，根据万有引力提供向心力可得＝m1r1，＝m2r2，其中r1＋r2＝L，联立解得＝，可以求出它们的质量之和m1＋m2＝，故B正确；由v1＝，v2＝，可得它们的速率之和v1＋v2＝，故C正确；由于m1m2＝且r1、r2的具体值未知，故无法求出它们的质量之积，故A错误；题中条件与中子星自转无关，无法求出它们各自的自转角速度，故D错误．
[答案] BC
双星模型的特点
[针对训练] 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比．
[解析] 这两颗天体必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引到一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2.
由万有引力提供向心力有
G＝m1ω2R1①
G＝m2ω2R2②
(1)①②两式相除，得＝
(2)因为v＝ωR，所以＝＝
[答案] (1)m2∶m1 (2)m2∶m1
知识体系
关键点击
2种计算——天体质量及密度的计算
2条解题思路——＝m＝mω2r、GM＝gR2
知识点一 计算天体的质量
(1)称量地球的质量
①思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．
②关系式：mg＝.
③结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
(2)太阳质量的计算
①思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
②关系式：＝mr.
③结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．
④推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.
知识点二 发现未知天体
(1)海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
(2)其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．
1．天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．( )
[答案] ×
2．海王星的发现确立了万有引力定律的地位．( )
[答案] √
3．牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．( )
[答案] ×
4．地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．( )
[答案] ×
5．若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．( )
[答案] ×
6．若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量．( )
[答案] √
1．若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？
[提示] 能求出地球的质量．利用G＝m2r求出的
质量M＝为中心天体的质量．做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量．
2．如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动．
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
[提示] (1)由G＝m得v＝ ，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的．
(2)无关．因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以消掉．
要点一 天体质量的计算方法
1．重力加速度法
若已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，忽略天体自转的影响，则物体的重力等于天体对物体的万有引力，得mg＝G，解得天体质量为M＝.
2．环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
G＝m
M＝
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2
M＝
G＝mr
M＝
【典例】 (多选)已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是( )
A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
B．月球绕地球运行的周期和轨道半径
C．月球绕地球运行的周期及月球的半径
D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及地球表面的重力加速度
[思路点拨] 求地球的质量，方法有二：一是根据地球表面物体的重力等于万有引力，另一种是让地球处于中心天体，分析其绕行卫星的运动情况．
[解析] 根据万有引力提供向心力，对地球有G＝mr，其中m为地球质量，在等式中消去，只能求出太阳的质量M，也就是说只能求出中心天体的质量，故A错误；月球绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球的万有引力充当向心力，对月球有G＝mr，可得地球的质量M＝，其中r为地球与月球间的距离，即月球的轨道半径，而不是月球本身的半径，故B正确，C错误；若不考虑地球自转，地球表面物体的重力等于万有引力，即mg＝G，因此，可求出地球的质量M＝，故D正确．
[答案] BD
解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动．
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律．
(3)利用黄金公式——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题．
[针对训练] 若地球绕太阳公转的周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转的周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B．
C. D．
[解析] 无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，都有＝mR0，即M∝，所以＝.
[答案] A
易错警示(根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星(的质量.
要点二 天体密度的计算方法
根据密度公式ρ＝，只要求出天体的质量和半径就可以代入此式计算天体的密度．
1．利用天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．
由mg＝和M＝ρ·πR3，可得ρ＝.
2．若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由G＝mr和M＝ρ·πR3，可得ρ＝.
【典例】 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
[思路点拨] 利用环绕法求出中心天体的质量，再除以天体的体积即得天体的密度．
[解析] 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR，解得M＝
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝.
(2)卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m(R＋h)，解得ρ＝＝.
[答案] (1) (2)
(1(卫星在距天体表面的高度为h的轨道上运行时，轨道半径为R＋h，此天体的半径为R.注意区分卫星轨道半径和中心天体半径，求天体体积时要用天体的半径R.?(2(若行星(或卫星(在天体表面附近运行，运行周期为T，则有R＝r，此时中心天体的密度为ρ＝.
[针对训练] “嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．如图所示，若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
[解析] 由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面附近轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3，联立解得月球的密度ρ＝，A正确．
[答案] A
易错警示(不要混淆或乱用天体半径与轨道半径，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.
要点三 天体运动的分析与计算
1．应用万有引力定律解题的两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
G＝m＝mr＝mω2r.
(2)黄金代换
在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，从而得出GM＝R2g.
2．几个常用公式
(1)由G＝m可得v＝ ，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r可得ω＝ ，r越大，ω越小．
(3)由G＝m2r可得T＝2π，r越大，T越大．
(4)由G＝ma可得a＝，r越大，a越小．
【典例】 如下图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
[思路点拨] 解答本题的关键是能够根据太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力，列出相关动力学方程．
[解析] 由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G＝m2r可得T＝ ，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误．
[答案] C
解决该类问题要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型，就是将天体(或卫星(的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星(的向心力由万有引力提供.
[针对训练] 在距地面不同高度的太空有许多飞行器．其中“天舟一号”距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，“张衡一号”距地面高度约为500 km.若它们均可视为绕地球做圆周运动，则( )
A．“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度
B．哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度
C．“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期
D．哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度
[解析] “天舟一号”与“张衡一号”做圆周运动时均由万有引力提供向心力，由G＝ma可得a＝，“天舟一号”轨道半径小，故加速度大，A正确；哈勃望远镜和“张衡一号”做圆周运动时均是由万有引力提供向心力，由G＝m可得v＝ ，哈勃望远镜轨道半径大，故线速度小，由＝mrω2可得ω＝ ，哈勃望远镜轨道半径大，故角速度小，B、D错误；“天舟一号”与哈勃望远镜做圆周运动时均是由万有引力提供向心力，由G＝mr可得T＝2π ，哈勃望远镜轨道半径大，故周期大，C错误．
[答案] A
易错警示(在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小.
1．(天体质量的计算)已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1018 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
[解析] 依据万有引力定律有：F＝G①
而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸引力：
F＝mg②
联立①②解得：g＝G
解得：M＝＝ kg≈6×1024 kg.
[答案] D
2．(天体密度的计算)地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是( )
A. B．
C. D．
[解析] 地球表面有G＝mg，得M＝ ①，又由ρ＝＝ ②，由①②得出ρ＝.
[答案] A
3．(天体运动的v与r的关联)如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝
B.＝
C.＝2
D.＝2
[解析] 对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ .所以对于a、b两颗人造卫星有＝，故选项A正确．
[答案] A
4．(天体运动的T与r的关联)人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T.为使其周期变为8T，可采用的方法有( )
A．保持轨道半径不变，使线速度减小为
B．逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为4r
C．逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为8r
D．保持线速度不变，将轨道半径增加到8r
[解析] 利用万有引力提供卫星的向心力可以得到v＝，T＝2π ，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关，使轨道半径逐渐增大为4r，能使其周期变为8T，速率同时减小为，B正确，A、C、D错误．
[答案] B
知识拓展之——宇宙双星问题
如图所示宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，
它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点：
1．由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同．
2．由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等．由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝L，r2＝L，则＝.
【典例】 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
[解析] 由题意可知两中子星的距离L和周期T，根据万有引力提供向心力可得＝m1r1，＝m2r2，其中r1＋r2＝L，联立解得＝，可以求出它们的质量之和m1＋m2＝，故B正确；由v1＝，v2＝，可得它们的速率之和v1＋v2＝，故C正确；由于m1m2＝且r1、r2的具体值未知，故无法求出它们的质量之积，故A错误；题中条件与中子星自转无关，无法求出它们各自的自转角速度，故D错误．
[答案] BC
双星模型的特点
[针对训练] 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比．
[解析] 这两颗天体必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引到一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2.
由万有引力提供向心力有
G＝m1ω2R1①
G＝m2ω2R2②
(1)①②两式相除，得＝
(2)因为v＝ωR，所以＝＝
[答案] (1)m2∶m1 (2)m2∶m1