高中物理人教版必修二导学案 5章习题课　圆周运动的临界问题 Word版含答案

习题课　圆周运动的临界问题
要点一 水平面内圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界问题，无非是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳子的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关联．解答此类问题的方法是找准临界点，应用圆周运动的动力学规律分析．
【典例】　如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L＝2 m的细绳悬一质量为m＝1 kg的小球，圆锥顶角为2θ＝74°.求：(g取10 m/s2)
(1)当小球以ω＝1 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力；
(2)当小球以ω＝5 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力．
[思路点拨]　
[解析]　(1)当小球刚要离开锥面时支持力为零，根据牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mωLsinθ
解得：ω0＝2.5 rad/s
当ω＝1 rad/s<2.5 rad/s时，小球没有离开锥面
根据牛顿第二定律得：
Tsinθ－Ncosθ＝mω2Lsinθ
Tcosθ＋Nsinθ＝mg
代入数据得：T＝8.72 N
(2)当ω＝5 rad/s>2.5 rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β
T1sinβ＝mω2Lsinβ
解得：T1＝mω2L＝1×25×2 N＝50 N
[答案]　(1)8.72 N　(2)50 N
处理圆周运动中的临界问题时，首先要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，其次是分析达到临界条件时物体所处的状态，即临界线速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解.通常碰到较多的是如下一些类型.?
(1(与绳子的弹力有关的临界问题：此问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度(等.?
(2(与支持面弹力有关的临界问题：此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度(等.?
(3(因静摩擦力而产生的临界问题：此问题要分析出静摩擦力为零或最大这一临界状态下的角速度(或线速度(等.
[针对训练]　如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到转轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm.A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4，试求：
(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0；
(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω；
(3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？
[解析]　(1)当细线上开始出现张力时，表明B与圆盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则kmg＝mrBω.
解得ω0＝＝  rad/s≈3.65 rad/s.
(2)当A开始滑动时，表明A与圆盘间的静摩擦力也已达到最大，设此时圆盘转动角速度为ω，线上拉力为FT，则
对A，FfAm－FT＝mrAω2，
对B，FfBm＋FT＝mrBω2.
以上两式中，FfAm＝FfBm＝kmg.
解以上三式得
ω＝ ＝  rad/s＝4 rad/s.
(3)烧断细线，A与圆盘间的静摩擦力减小，继续随圆盘做半径为rA＝20 cm的圆周运动；B由于ffBm不足以提供必要的向心力而做离心运动．
[答案]　(1)3.65 rad/s　(2)4 rad/s　(3)见解析
要点二 竖直面内圆周运动的临界问题
1．轻绳模型(轻绳或单侧轨道类)
小球在最高点的临界速度(最小速度)v0＝.小球恰能通过圆周最高点时，绳对小球的拉力为0，轨道对小球的弹力为0，即临界条件：FT＝0或FN＝0，此时重力提供向心力．v≥时，小球能通过最高点；v<时，小球不能到达最高点．
2．轻杆模型(轻杆或双侧轨道类)
因轻杆和管壁能对小球产生支撑作用，所以小球达到最高点的速度可以为0，即临界速度v0＝0，此时支持力FN＝mg.
【典例】　质量为0.2 kg的小球固定在长为L＝0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动．(取g＝10 m/s2)求：
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力．
[思路点拨]　由于绳不能提供支持力，而杆可提供支持力，所以轻绳模型和轻杆模型通过最高点的临界条件是不同的．杆对小球的作用力既可以向外，也可以向内，方向可先假定，然后根据计算结果的正负来确定．
[解析]　(1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝m，解得v0＝＝ m/s＝3 m/s.
(2)设小球在最高点时杆对球的作用力为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得F＋mg＝，分别代入v1＝6 m/s和v2＝1.5 m/s，得F1＝6 N、F2＝－1.5 N，由牛顿第三定律可得，球对杆的作用力F1′＝6 N，方向向上，F2′＝1.5 N，方向向下．
[答案]　(1)3 m/s　(2)6 N，竖直向上　1.5 N，竖直向下
[针对训练]　一轻绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，
水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm，求：(g取9.8 m/s2)
(1)在最高点时水不流出桶的最小速率；
(2)水在最高点的速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力．
[解析]　(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．设在最高点时的临界速度为v0，则有mg＝m，得v0＝＝ m/s＝2.42 m/s.
(2)在最高点时，桶的速率v>v0，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则有mg＋FN＝
得FN＝m－mg＝0.5× N＝2.6 N
由牛顿第三定律可得，水对桶底的压力FN′＝FN＝2.6 N，方向竖直向上．
[答案]　(1)2.42 m/s　(2)2.6 N，竖直向上
1．(多选)(轻绳类)用细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是(　　)
A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B．小球通过最高点时的最小速度为0
C．小球刚好通过最高点时的速度是
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
[解析]　设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m.当FT＝0时，v＝，故A对；在最高点，若v<，则FT<0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错；在最高点，若v≥，则FT≥0，小球能沿圆弧通过最高点．可见，v＝是小球刚好通过最高点的临界条件，故C对．
[答案]　AC
2．(多选)(单侧轨道类)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道内侧做圆周运动．圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨道．则其通过最高点时(　　)
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的重力提供向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
[解析]　小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨道，最高点球和轨道之间的弹力为0，重力提供做圆周运动的向心力，mg＝ma＝m，所以a＝g，v＝，B、C、D正确．
[答案]　BCD
3．(轻杆类)如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v0，下列说法中错误的是(　　)
A．v0的最小值为0
B．v0由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C．当v0由 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐减小
D．当v0由 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
[解析]　轻杆对小球可以提供拉力，也可以提供支持力．在最高点，若小球所受支持力F支＝mg，小球在最高点时的速度恰好为0，A正确；由Fn＝知，v增大，向心力也增大，B正确；当v≥时，杆对小球提供向里的拉力，由mg＋T＝，可知当v0由 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐变大，C错误；当v≤时，杆对小球提供向外的支持力，由mg－N＝，可知当v0由逐渐减少时，杆对小球的弹力逐渐变大，D正确．故选C.
[答案]　C
4．(双侧轨道类)质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时(　　)
A．小球对圆管内、外壁均无压力
B．小球对圆管外壁的压力等于
C．小球对圆管内壁的压力等于mg
D．小球对圆管内壁的压力等于
[解析]　以小球为研究对象，小球通过最高点时，根据牛顿第二定律得mg＋mg＝m；当小球以速度通过圆管的最高点，根据牛顿第二定律得：mg＋N＝m；联立解得：N＝－mg，负号表示圆管对小球的作用力向上，即小球对圆管的内壁压力等于mg，故D正确．故选D.
[答案]　D