高中物理人教版必修二导学案 5.6 向心力 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 高中物理人教版必修二导学案 5.6 向心力 Word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2020-05-07 13:57:59 | ||
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文档简介
6 向心力
知识体系
关键点击
1个概念——向心力
2种运动——匀速圆周运动、变速圆周运动
知识点一 向心力
(1)向心力
①定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个力叫做向心力．
②方向：始终沿着半径指向圆心．
③表达式
a．Fn＝m.
b．Fn＝mω2r.
④效果力：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．
(2)实验验证
①装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如图所示．
②求向心力
a．可用Fn＝m计算钢球所受的向心力．
b．可计算重力和细线拉力的合力．
③结论
代入数据后比较计算出的向心力Fn和钢球所受合力F的大小，即可得出结论：钢球需要的向心力等于钢球所受外力的合力．
知识点二 变速圆周运动和一般的曲线运动
(1)变速圆周运动的速度的大小和方向同时变化．
(2)变速圆周运动物体所受的合力并不指向圆心，其合力产生两个方向的效果
①跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢．
②指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度描述速度方向改变的快慢．
(3)一般的曲线运动的处理方法
①定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
②处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理．
1．向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向．( )
[答案] ×
2．物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大．( )
[答案] ×
3．向心力和重力、弹力一样，是性质力．( )
[答案] ×
4．圆周运动中指向圆心的合力等于向心力．( )
[答案] √
5．圆周运动中，合外力等于向心力．( )
[答案] ×
6．向心力产生向心加速度．( )
[答案] √
1．如图所示，
汽车正在匀速率转弯．
(1)汽车的向心力是由什么力提供的？
(2)物体做圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
[提示] (1)汽车匀速率转弯，摩擦力提供向心力．
(2)向心力的特点：①方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直．②大小：在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速度v的变化而变化．
2．荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡下时，
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
[提示] (1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动．
(2)由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点．
要点一 对向心力的理解
1．向心力的大小
根据牛顿第二定律，我们知道向心加速度与向心力有瞬时对应关系，则向心力的表达式为Fn＝man＝m＝mω2r＝mr＝4mπ2f2r.
2．向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
3．向心力的作用效果
由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．
【典例】 如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，某人站在距圆心为r处的P点随圆盘共同运动，下列关于人的受力的说法中正确的是( )
A．人在P点相对圆盘静止，因此不受摩擦力作用
B．人随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的摩擦力不变
[思路点拨]
[解析] 由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到摩擦力的作用，且摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于人随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的摩擦力变小，选项D错误．
[答案] C
向心力的来源及作用可归纳如下：(
(1(向心力可能是物体受到的某一个力或某几个力的合力，也可能是某一个力的分力.?
(2(物体做匀速圆周运动时，合外力一定是向心力，方向指向圆心，只改变速度的方向.?
(3(物体做变速圆周运动时，合外力沿半径方向的分力充当向心力，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力改变速度的大小.
[针对训练] 如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动．此时小球所受到的力有( )
A．重力、支持力
B．重力、支持力、向心力
C．重力、支持力、离心力
D．重力、支持力、向心力、沿漏斗壁的下滑力
[解析] 小球受到重力和支持力，由于小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球的向心力由重力和支持力的合成提供，故A正确，B，C，D错误．
[答案] A
易错警示(向心力是根据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力，受力分析时不能添加向心力.
要点二 匀速圆周运动的特点和解题方法
1．物体做匀速圆周运动的条件
合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心．
2．匀速圆周运动的三个特点
(1)线速度大小不变、方向时刻改变．
(2)角速度、周期、频率都恒定不变．
(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变．
3．几种常见的匀速圆周运动实例
图形
受力
分析
力的分解方法
满足的方程
及向心加速度
【典例】 长为L的细线，一端拴一质量为m的小球(可看做质点)，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F.
(2)小球运动的线速度的大小．
(3)小球运动的角速度及周期．
[思路点拨] 圆锥摆模型中小球做匀速圆周运动，圆心在轨迹圆的圆心上，向心力由小球的重力和细线的拉力的合力提供．
[解析] 对做匀速圆周运动的小球进行受力分析，如图所示，小球受到重力mg和细线的拉力F的作用．
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O′，合力提供小球做匀速圆周运动的向心力．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，细线对小球的拉力大小为F＝.
(2)小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得mgtanα＝m
由几何关系得r＝Lsinα
所以小球运动的线速度大小为v＝.
(3)小球运动的角速度ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π .
[答案] (1) (2)
(3) 2π
分析匀速圆周运动的步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力分解到互相垂直的两个方向上，其中一个分力沿圆周运动的半径方向，另一个分力沿垂直半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝mr，垂直半径方向满足F合2＝0.
(4)联立方程求出结果．
[针对训练] 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
[解析]
对座椅进行受力分析，如图所示．
y轴方向上：Fcosθ＝mg①
x轴方向上：Fsinθ＝mω2(r＋Lsinθ)②
则由得tanθ＝
因此ω＝ .
[答案] ω＝
易错警示,公式中的r是指做圆周运动的物体的轨道半径，因此，求解时首先必须明确做圆周运动的物体的圆轨道的平面、圆心及半径，如本题中轨道半径应为r＋Lsinθ.
要点三 变速圆周运动和一般曲线运动问题
1．变速圆周运动
做变速圆周运动的物体所受的合力并不指向圆心．这一个力F可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Ft和指向圆心方向的分力Fn.
Fn产生向心加速度，与速度方向垂直，改变速度的方向．
Ft产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在同一条直线上，改变速度的大小．
如图甲、乙所示．
2．一般的曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动．车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，在这个复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是某个圆周的一部分，如右图所示，汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的．
曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向．此点的曲率半径表示了曲线在此处的弯曲程度．
【典例】 一根长为0.8 m的绳子，当受到7.84 N的拉力时被拉断．若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂．求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小．(g取9.8 m/s2)
[思路点拨] (1)物体运动到最低点时，向心力由拉力和重力的合力提供．
(2)绳子恰好断裂时，绳子的拉力大小是7.84 N.
[解析] 当物体运动到最低点时，物体受重力mg、绳子拉力FT，根据牛顿第二定律得
FT－mg＝ma＝mω2r，
又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子拉物体的力大小相等，绳子被拉断时受到的拉力为FT′＝7.84 N，
故FT＝7.84 N.
所以，绳子被拉断时物体的角速度为
ω＝ ＝ rad/s＝3.5 rad/s，
物体的线速度为v＝ωr＝3.5×0.8 m/s＝2.8 m/s.
[答案] 3.5 rad/s 2.8 m/s
[针对训练] 飞机在做俯冲拉起运动时，可以看作圆周运动．如图所示，若在最低点附近做半径为R＝180 m的圆周运动，飞行员的质量m＝70 kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝360 km/h，试计算飞行员对座位的压力．(g取10 m/s2)
[解析] 对飞行员进行受力分析，如图所示，则飞行员在最低点受重力和座位的支持力，向心力由二力的合力提供，则
FN－mg＝m，
得FN＝mg＋，
代入数值得FN＝4588.9 N.
由牛顿第三定律知，飞行员对座位的压力亦为4588.9 N.
[答案] 4588.9 N
易错警示(审题时要看清是飞行员受的支持力还是座位受的压力，求飞行员对座位的压力应该结合牛顿第三定律分析.
1．(多选)(对向心力的理解)关于向心力，以下说法中不正确的是( )
A．向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力
B．向心力就是由匀速圆周运动的物体所受的合外力提供的
C．向心力是做匀速圆周运动的物体速度方向变化的原因
D．只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动
[解析] 根据向心力的定义、作用效果、向心力的来源和物体做匀速圆周运动的条件，然后与选项加以比较可知选项A、D符合题意．
[答案] AD
2．(向心力的提供)有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做匀速圆周运动的向心力是( )
A．圆筒壁对车的静摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
[解析] 当车子和人在竖直的筒壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力由筒壁对车的弹力来提供，B正确．
[答案] B
3．(匀速圆周运动问题)如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )
A. B.
C. D.
[解析]
对物块受力分析知Ff＝mg，FN＝mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解这三个方程得角速度ω至少为，D选项正确．
[答案] D
4．(变速圆周运动问题)如图所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．
[解析] 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝
所以FT＝mg＋
＝ N＝14 N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
[答案] 14 N
知识拓展之——圆周运动中的连接体问题
圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题．这类问题的一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出受力示
意图，确定轨道平面和半径，注意约束关系．在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系．
1．常见情景
情景示例
情景1
情景2
情景3
情景4
情景图示
2.重要提醒
(1)连接体的圆周运动问题要同时研究构成连接体的多个物体的圆周运动，各物体圆周运动的角速度相同．
(2)涉及连接体圆周运动多种多样，但万变不离其宗，都是合力提供向心力．
(3)灵活应用整体法和隔离法是解题的金钥匙．
【典例】 如图所示，两个质量分别是m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为L的细线连接，水平杆随框架以角速度ω匀速转动，两球在杆上相对静止，求两球离转动中心的距离R1和R2及细线的拉力．
[解析] 细线对m1和m2的拉力提供它们做圆周运动的向心力，根据题意有R1＋R2＝L，
即R2＝L－R1①
对m1：F＝m1ω2R1②
对m2：F＝m2ω2R2③
由①②③式解得
R1＝，R2＝，
细线的拉力
F＝.
[答案]
小球在水平面内做圆周运动，只受到相互间沿水平方向的作用力，故它们之间的相互作用力提供各自的向心力，且转动周期和角速度相等.
[针对训练] 在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体(可视为质点)，用一轻杆相连，A、B连线沿半径方向．A与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、B到平台转轴的距离分别为L、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动，A与平台间的摩擦力大小为FfA，杆的弹力大小为F.现把转动角速度提高至2ω，A、B仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速运动，则下面说法正确的是( )
A．FfA、F均增加为原来的4倍
B．FfA、F均增加为原来的2倍
C．FfA大于原来的4倍，F等于原来的2倍
D．FfA、F增加后，均小于原来的4倍
[解析] A、B两物体一起随平台匀速转动，根据牛顿第二定律可得
对A：FfA－F＝mω2L①
对B：F＝mω2·2L②
当ω增大到2ω时，由②式知，F增加为原来的4倍；由①式知FfA＝F＋mω2L，FfA增加为原来的4倍．故选A.
[答案] A
知识体系
关键点击
1个概念——向心力
2种运动——匀速圆周运动、变速圆周运动
知识点一 向心力
(1)向心力
①定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个力叫做向心力．
②方向：始终沿着半径指向圆心．
③表达式
a．Fn＝m.
b．Fn＝mω2r.
④效果力：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．
(2)实验验证
①装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如图所示．
②求向心力
a．可用Fn＝m计算钢球所受的向心力．
b．可计算重力和细线拉力的合力．
③结论
代入数据后比较计算出的向心力Fn和钢球所受合力F的大小，即可得出结论：钢球需要的向心力等于钢球所受外力的合力．
知识点二 变速圆周运动和一般的曲线运动
(1)变速圆周运动的速度的大小和方向同时变化．
(2)变速圆周运动物体所受的合力并不指向圆心，其合力产生两个方向的效果
①跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢．
②指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度描述速度方向改变的快慢．
(3)一般的曲线运动的处理方法
①定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
②处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理．
1．向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向．( )
[答案] ×
2．物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大．( )
[答案] ×
3．向心力和重力、弹力一样，是性质力．( )
[答案] ×
4．圆周运动中指向圆心的合力等于向心力．( )
[答案] √
5．圆周运动中，合外力等于向心力．( )
[答案] ×
6．向心力产生向心加速度．( )
[答案] √
1．如图所示，
汽车正在匀速率转弯．
(1)汽车的向心力是由什么力提供的？
(2)物体做圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
[提示] (1)汽车匀速率转弯，摩擦力提供向心力．
(2)向心力的特点：①方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直．②大小：在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速度v的变化而变化．
2．荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡下时，
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
[提示] (1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动．
(2)由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点．
要点一 对向心力的理解
1．向心力的大小
根据牛顿第二定律，我们知道向心加速度与向心力有瞬时对应关系，则向心力的表达式为Fn＝man＝m＝mω2r＝mr＝4mπ2f2r.
2．向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
3．向心力的作用效果
由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．
【典例】 如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，某人站在距圆心为r处的P点随圆盘共同运动，下列关于人的受力的说法中正确的是( )
A．人在P点相对圆盘静止，因此不受摩擦力作用
B．人随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的摩擦力不变
[思路点拨]
[解析] 由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到摩擦力的作用，且摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于人随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的摩擦力变小，选项D错误．
[答案] C
向心力的来源及作用可归纳如下：(
(1(向心力可能是物体受到的某一个力或某几个力的合力，也可能是某一个力的分力.?
(2(物体做匀速圆周运动时，合外力一定是向心力，方向指向圆心，只改变速度的方向.?
(3(物体做变速圆周运动时，合外力沿半径方向的分力充当向心力，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力改变速度的大小.
[针对训练] 如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动．此时小球所受到的力有( )
A．重力、支持力
B．重力、支持力、向心力
C．重力、支持力、离心力
D．重力、支持力、向心力、沿漏斗壁的下滑力
[解析] 小球受到重力和支持力，由于小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球的向心力由重力和支持力的合成提供，故A正确，B，C，D错误．
[答案] A
易错警示(向心力是根据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力，受力分析时不能添加向心力.
要点二 匀速圆周运动的特点和解题方法
1．物体做匀速圆周运动的条件
合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心．
2．匀速圆周运动的三个特点
(1)线速度大小不变、方向时刻改变．
(2)角速度、周期、频率都恒定不变．
(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变．
3．几种常见的匀速圆周运动实例
图形
受力
分析
力的分解方法
满足的方程
及向心加速度
【典例】 长为L的细线，一端拴一质量为m的小球(可看做质点)，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F.
(2)小球运动的线速度的大小．
(3)小球运动的角速度及周期．
[思路点拨] 圆锥摆模型中小球做匀速圆周运动，圆心在轨迹圆的圆心上，向心力由小球的重力和细线的拉力的合力提供．
[解析] 对做匀速圆周运动的小球进行受力分析，如图所示，小球受到重力mg和细线的拉力F的作用．
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O′，合力提供小球做匀速圆周运动的向心力．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，细线对小球的拉力大小为F＝.
(2)小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得mgtanα＝m
由几何关系得r＝Lsinα
所以小球运动的线速度大小为v＝.
(3)小球运动的角速度ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π .
[答案] (1) (2)
(3) 2π
分析匀速圆周运动的步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力分解到互相垂直的两个方向上，其中一个分力沿圆周运动的半径方向，另一个分力沿垂直半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝mr，垂直半径方向满足F合2＝0.
(4)联立方程求出结果．
[针对训练] 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
[解析]
对座椅进行受力分析，如图所示．
y轴方向上：Fcosθ＝mg①
x轴方向上：Fsinθ＝mω2(r＋Lsinθ)②
则由得tanθ＝
因此ω＝ .
[答案] ω＝
易错警示,公式中的r是指做圆周运动的物体的轨道半径，因此，求解时首先必须明确做圆周运动的物体的圆轨道的平面、圆心及半径，如本题中轨道半径应为r＋Lsinθ.
要点三 变速圆周运动和一般曲线运动问题
1．变速圆周运动
做变速圆周运动的物体所受的合力并不指向圆心．这一个力F可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Ft和指向圆心方向的分力Fn.
Fn产生向心加速度，与速度方向垂直，改变速度的方向．
Ft产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在同一条直线上，改变速度的大小．
如图甲、乙所示．
2．一般的曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动．车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，在这个复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是某个圆周的一部分，如右图所示，汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的．
曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向．此点的曲率半径表示了曲线在此处的弯曲程度．
【典例】 一根长为0.8 m的绳子，当受到7.84 N的拉力时被拉断．若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂．求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小．(g取9.8 m/s2)
[思路点拨] (1)物体运动到最低点时，向心力由拉力和重力的合力提供．
(2)绳子恰好断裂时，绳子的拉力大小是7.84 N.
[解析] 当物体运动到最低点时，物体受重力mg、绳子拉力FT，根据牛顿第二定律得
FT－mg＝ma＝mω2r，
又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子拉物体的力大小相等，绳子被拉断时受到的拉力为FT′＝7.84 N，
故FT＝7.84 N.
所以，绳子被拉断时物体的角速度为
ω＝ ＝ rad/s＝3.5 rad/s，
物体的线速度为v＝ωr＝3.5×0.8 m/s＝2.8 m/s.
[答案] 3.5 rad/s 2.8 m/s
[针对训练] 飞机在做俯冲拉起运动时，可以看作圆周运动．如图所示，若在最低点附近做半径为R＝180 m的圆周运动，飞行员的质量m＝70 kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝360 km/h，试计算飞行员对座位的压力．(g取10 m/s2)
[解析] 对飞行员进行受力分析，如图所示，则飞行员在最低点受重力和座位的支持力，向心力由二力的合力提供，则
FN－mg＝m，
得FN＝mg＋，
代入数值得FN＝4588.9 N.
由牛顿第三定律知，飞行员对座位的压力亦为4588.9 N.
[答案] 4588.9 N
易错警示(审题时要看清是飞行员受的支持力还是座位受的压力，求飞行员对座位的压力应该结合牛顿第三定律分析.
1．(多选)(对向心力的理解)关于向心力，以下说法中不正确的是( )
A．向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力
B．向心力就是由匀速圆周运动的物体所受的合外力提供的
C．向心力是做匀速圆周运动的物体速度方向变化的原因
D．只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动
[解析] 根据向心力的定义、作用效果、向心力的来源和物体做匀速圆周运动的条件，然后与选项加以比较可知选项A、D符合题意．
[答案] AD
2．(向心力的提供)有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做匀速圆周运动的向心力是( )
A．圆筒壁对车的静摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
[解析] 当车子和人在竖直的筒壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力由筒壁对车的弹力来提供，B正确．
[答案] B
3．(匀速圆周运动问题)如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )
A. B.
C. D.
[解析]
对物块受力分析知Ff＝mg，FN＝mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解这三个方程得角速度ω至少为，D选项正确．
[答案] D
4．(变速圆周运动问题)如图所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．
[解析] 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝
所以FT＝mg＋
＝ N＝14 N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
[答案] 14 N
知识拓展之——圆周运动中的连接体问题
圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题．这类问题的一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出受力示
意图，确定轨道平面和半径，注意约束关系．在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系．
1．常见情景
情景示例
情景1
情景2
情景3
情景4
情景图示
2.重要提醒
(1)连接体的圆周运动问题要同时研究构成连接体的多个物体的圆周运动，各物体圆周运动的角速度相同．
(2)涉及连接体圆周运动多种多样，但万变不离其宗，都是合力提供向心力．
(3)灵活应用整体法和隔离法是解题的金钥匙．
【典例】 如图所示，两个质量分别是m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为L的细线连接，水平杆随框架以角速度ω匀速转动，两球在杆上相对静止，求两球离转动中心的距离R1和R2及细线的拉力．
[解析] 细线对m1和m2的拉力提供它们做圆周运动的向心力，根据题意有R1＋R2＝L，
即R2＝L－R1①
对m1：F＝m1ω2R1②
对m2：F＝m2ω2R2③
由①②③式解得
R1＝，R2＝，
细线的拉力
F＝.
[答案]
小球在水平面内做圆周运动，只受到相互间沿水平方向的作用力，故它们之间的相互作用力提供各自的向心力，且转动周期和角速度相等.
[针对训练] 在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体(可视为质点)，用一轻杆相连，A、B连线沿半径方向．A与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、B到平台转轴的距离分别为L、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动，A与平台间的摩擦力大小为FfA，杆的弹力大小为F.现把转动角速度提高至2ω，A、B仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速运动，则下面说法正确的是( )
A．FfA、F均增加为原来的4倍
B．FfA、F均增加为原来的2倍
C．FfA大于原来的4倍，F等于原来的2倍
D．FfA、F增加后，均小于原来的4倍
[解析] A、B两物体一起随平台匀速转动，根据牛顿第二定律可得
对A：FfA－F＝mω2L①
对B：F＝mω2·2L②
当ω增大到2ω时，由②式知，F增加为原来的4倍；由①式知FfA＝F＋mω2L，FfA增加为原来的4倍．故选A.
[答案] A