高中物理人教版必修二导学案 6-2、3 万有引力定律 Word版含答案

2　太阳与行星间的引力
3　万有引力定律
知识体系
关键点击
1个定律——万有引力定律
1种关系——万有引力和重力的关系
知识点一　太阳与行星间的引力
(1)模型简化
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动．太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力．
(2)太阳对行星的引力：根据牛顿第二定律F＝m和开普勒第三定律∝k，可得：F∝.这表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比．
(3)行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即F′∝.
(4)太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F＝F′，所以有F∝，写成等式就是F＝G.G为比例系数．
知识点二　月—地检验
(1)猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律．
(2)推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的.
(3)结论：自由落体加速度和月球的向心加速度与我们的预期符合得很好．这表明：地球物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．
知识点三　万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
(2)公式：F＝G.
(3)引力常量：上式中G叫引力常量，大小为6.67×10－11N·m2/kg2，它是由英国科学家卡文迪许在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律．
1．公式F＝G中G是比例系数，与太阳行星都没关系．(　　)
[答案]　√
2．在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律．(　　)
[答案]　√
3．由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点．(　　)
[答案]　√
4．月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡．(　　)
[答案]　×
5．月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的．(　　)
[答案]　√
6．地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是
两种不同性质的力．(　　)
[答案]　×
1．如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动．
(1)为什么行星会围绕太阳做圆周运动？
(2)太阳对不同行星的引力与行星的质量有什么关系？
[提示]　(1)因为行星受太阳的引力．
(2)与行星的质量成正比．
2．万有引力定律告诉我们，任何两个物体之间都有相互作用的引力，但为什么通常情况下两个物体间感受不到万有引力？
[提示]　由万有引力公式可知，日常生活中的两个物体质量太小，它们之间的万有引力太小，故感受不到．
要点一 对太阳与行星间引力的理解
1．两个理想化模型
在公式F＝G的推导过程中，我们用到了两个理想化模型．
(1)由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动．
(2)由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上．
2．推导过程
3．太阳与行星间的引力的特点
太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向．
4．公式F＝G的适用范围
我们在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，所得出的结论不但适用于行星与太阳之间的作用力，而且对其他天体之间的作用力也适用．
【典例】　(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法正确的是(　　)
A．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力的大小与太阳的质量成正比
C．太阳对行星的引力大小与行星的质量无关
D．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
[思路点拨]　太阳与行星之间的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，引力大小满足万有引力定律．
[解析]　行星之所以能绕太阳做匀速圆周运动，是因为太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力，故A选项正确；由太阳与行星间引力的表达式F＝G可知，太阳对行星的引力大小与太阳的质量成正比，与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离的平方成反比，B选项正确，C选项错误；由牛顿第三定律知，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力和反作用力，其大小相等、方向相反，D选项错误．
[答案]　AB
正确认识太阳与行星间的引力
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳的质量、行星的质量、太阳与行星间的距离．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线．
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵循牛顿第三定律．
(3)太阳对行星的引力效果是提供向心力，使行星绕太阳做匀速圆周运动．
[针对训练]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到验证的
[解析]　公式F＝m中是行星做圆周运动的加速度，故这个关系式实际是牛顿第二定律，也是向心力公式，所以能通过实验验证，A正确；v＝是在匀速圆周运动中，一个周期过程中运动轨迹的弧长与时间的比值即线速度，B正确；开普勒第三定律＝k是无法在实验室中得到验证的，是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的，C、D错误．
[答案]　AB
易错警示
1．太阳与行星间引力规律的推导用到了匀速圆周运动规律、开普勒第三定律、牛顿第二定律．
2．开普勒第三定律无法在实验室中得到验证．
要点二 对万有引力定律的理解
1．对万有引力定律表达式F＝G的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力．
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离．
2．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力．
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离．
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离．
3．万有引力的四个特性
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
【典例】　(多选)对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法中正确的是(　　)
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
[思路点拨]　r趋近于零时，物体不能再看作质点．
[解析]　公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A对；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝G已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错，D对．
[答案]　AD
利用万有引力定律解题时，要注意以下三点：((1(理解万有引力定律的内容和适用范围.?(2(知道万有引力不是什么特殊的一种力，它同样满足牛顿运动定律.?(3(明确公式中各物理量的含义及公式的使用方法.
[针对训练]　如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2.则两球的万有引力大小为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．G B．G
C．G D．G
[解析]　对两质量分布均匀的球体，F＝G中的r为两球心之间的距离．两球的万有引力F＝G，故D正确．
[答案]　D
易错警示(万有引力定律公式F＝G适用于任意两个质点之间引力的计算.对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心之间的距离；如果质量分布不均匀，不能将球体看作质量集中在球心上的质点.
要点三 万有引力与重力的关系
1．重力是万有引力的一个分力
(1)处在地面上的物体，由于地球的自转，物体将绕地轴OO′做匀速圆周运动．
地球对物体的万有引力在指向地轴上的圆心方向的分力提供物体做匀速圆周运动的向心力mrω2，而万有引力的另一分力即物体所受的重力G＝mg，如图所示．因此除了南北两极，重力并不等于万有引力．
(2)F引＝G，F向＝mrω2，G＝mg，物体位于赤道上时，向心力指向地心，三力同向，均指地心，满足F引＝F向＋G，即G＝mRω2＋mg赤；当物体在地球的南北两极时，向心力F向为零，F引＝G，即G＝mg极．
(3)当物体从赤道向两极移动时，根据F向＝mrω2知，向心力减小，则重力增大，在两极时物体所受的万有引力等于重力．从赤道向两极，重力加速度增大，而重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极，重力的方向才指向地心．
2．重力加速度
(1)不考虑地球自转的情况下，在地球表面的物体所受的重力近似等于地球对物体的引力，由mg＝G可得地球表面的重力加速度g＝.
(2)物体在距地球表面不同高度处所受的重力和重力加速度：mg′＝G，g′＝，其中h为物体到地球表面的距离．
(3)离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系：＝2.
【典例】　地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h＝3R的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R.
[思路点拨]　忽略地球自转的影响时，物体在地面及地球上空某处受到的重力与地球对它的万有引力相等．
[解析]　地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以在地面上G＝mg0，离地心4R处G＝mg，解得＝2＝.
[答案]　
关于万有引力和重力关系的处理方法
(1)物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G.
(2)对于地球的卫星，所受重力等于万有引力，即mg＝G.
[针对训练]　火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为(　　)
A．0.2g B．0.4g
C．2.5g D．5g
[解析]　在星球表面有mg＝，设火星表面的重力加速度为g火，则＝·＝0.4，故B正确．
[答案]　B
易错警示(星球表面物体的重力加速度g＝，应用该式解题时须注意R的含义.如果物体离地高度为h，则R＝R球＋h，此时有：g′＝，而M为该星球的质量.
1．(多选)(太阳与行星间的引力)如图是八大行星绕太阳运动的情境，关于太阳对行星的引力说法中正确的是(　　)
A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律等推导出来的
[解析]　太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做圆周运动的向心力，它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；太阳对行星的引力规律是由开普勒三定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C错误，D正确．
[答案]　AD
2．(多选)(对万有引力的理解)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(　　)
A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F＝计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
[解析]　任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确．
[答案]　CD
3．(万有引力与重力的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地球表面的高度为(　　)
A．(－1)R B．R
C.R D．2R
[解析]　设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面重力mg＝G，在高度为h处的重力mg＝G.解以上两式得：h＝(－1)R，A正确．
[答案]　A
4．(万有引力的计算)两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为(　　)
A．2F B．4F
C．8F D．16F
[解析]　设两个大小相同的实心小铁球的质量均为m，半径均为r，根据万有引力公式可得F＝G.根据m＝ρ·πr3可知，两个铁球半径变为原来的2倍，则其质量变为原来的8倍，所以将两半径为小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F′＝G＝16G＝16F，故选D.
[答案]　D
思想方法之——巧用“填补法”求物体间的万有引力
计算一些非球形物体间的万有引力，常采用“填补法”．所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过填补后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法．常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体，即先把挖去的部分“补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力定律公式，分别计算出半径为R的球体和“补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到答案．
【典例】　有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，求剩下部分对质点的万有引力F为多大．
[解析]　设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的引力为F1，可以看成是剩余部分对质点的引力F与被挖小球对质点的引力F2的合力，即F1＝F＋F2.
设被挖小球的质量为M′，其球心到质点的距离为r′.
由题意知M′＝，r′＝R，
由万有引力定律，得F1＝G＝，
F2＝G＝G＝，
所以剩下部分对质点的万有引力F＝F1－F2＝.
[答案]　
求解本题的关键是挖之前球与质点间的引力和挖去的部分与质点间的引力的计算，都可以通过万有引力定律公式直接求解，注意不能运用公式直接计算剩余部分的引力，因为那是一个非匀质球体.
[针对训练]　如图所示，一个质量为M的均匀实心球，半径为R，如果从球中挖去一个直径为R的小球，放在相距为d＝2.5R的地方，分别求下列两种情况下挖去部分与剩余部分之间的万有引力大小．(答案必须用分式表示，G、M、R为已知量)
(1)从球的正中心挖去(如图甲所示)；
(2)从球心右侧挖去(如图乙所示)．
[解析]　(1)挖去的球的半径是大球半径的，由m＝ρ·π3知，挖去部分的球的质量m＝M.
将球被挖去的部分填补上，则此时实心大球对相距为d处的质量为M的球的万有引力
F1＝＝，
挖去部分对相距为d处的质量为M的球的万有引力
F2＝G＝，
则从球的正中心挖去部分与剩余部分的万有引力大小为
F＝F1－F2＝.
(2)将球被挖去的部分填补上，则此时实心大球对相距为d处的质量为M的球的万有引力
F1′＝＝，
挖去部分对相距为处的质量为M的球的万有引力
F2′＝＝，
则从球心右侧挖去部分与剩余部分的万有引力为
F′＝F1′－F2′＝－＝.
[答案]　(1)　(2)