四川省内江市第六中学2019-2020高一下学期入学考试数学（文）试卷（PDF版）

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数学（文）试卷
考试时间：120分钟
一、选择题（本题共 12道小题，每小题 5分，共 60分）
1.已知平面向量 (1, 3), ( 2,0)? ? ? ?
? ?
a b ，则 2a b? ?
??
（ ）
A.3 2 B.3 C. 33 D.5
2.sin 20 cos10 cos160 sin10? ?? ? ? ?（ ）
A. 3
2
? B. 3
2
C.
1
2
? D.
1
2
3.若 ABC? 的三个内角满足 : : 5 :11:13a b c ? ,则 ABC? （ ）
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4.函数 ( ) sin 2 3 cos 2f x x x? ? 的对称中心坐标为（ ）
A. ,0 ( )
6 2
k k Z? ?? ?? ? ?? ?
? ?
B. ,0 ( )
6 2
k k Z? ?? ?? ?? ?
? ?
C. ,0 ( )
6
k k Z? ?? ?? ? ?? ?
? ?
D. ,0 ( )
6
k k Z? ?? ?? ?? ?
? ?
5.在四边形 ABCD中， AB AD
???? ????
? 且 BA CD?
???? ????
，则四边形 ABCD的形状一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
6.已知角? 的顶点在坐标原点，始边与 x轴正半轴重合，终边经过点 ( 2 1)P ? ， ，则 cos2 ?? （ ）
A. 2 2
3
B.
1
3
C.
1
3
? D. 2 2
3
?
7. ABC? 的内角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c，若 3a ? ， 2b ? ， 4
B ?? ，则 A ?（ ）
A.
6
?
B.
3
?
C.
3
?
或
2
3
?
D.
6
?
或
5
6
?
8.对于任意向量 a
?
，b
?
，下列命题中正确的是（ ）
A.如果 a
?
，b
?
满足 a b?
??
，且 a
?
与b
?
同向，则 a b?
?? B. | | | | | |a b a b? ? ?
? ? ? ?
C. | | | | | |a b a b? ? ?
? ? ? ?
D. a b a b? ? ?
? ?? ?
2
9.在VABC中， AD为 BC边上的中线，M 为 AD（靠近点 A）的三等分点，则BM?
?????
A.
5 1
6 6
AC AB?
???? ????
B.
1 5
6 6
AC AB?
???? ????
C.
5 1
6 6
AC AB?
???? ????
D.
1 5
6 6
AC AB?
???? ????
10.在VABC中，已知 , 2, 60a x b B? ? ? ?，如果VABC有两组解，则 x的取值范围是( )
A.
4 32
3
? ?
? ?? ?
? ?
， B.
4 32
3
? ?
? ?
? ?
， C.
4 32
3
? ?
?? ?
? ?
， D.
4 32,
3
? ?
? ??
? ?
11.在 ABC? 中，AB AC AB AC? ? ?
???? ???? ???? ????
， 2AB ? ， 1AC ? ，E，F 为 AB的三等分点，则CE CF
???? ????
? ?（ ）
A.
8
9
B.
10
9
C.
17
9
D.
25
9
12. ? ABC? 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,A B C，且 ? ?sin sin sina A c C a b B? ? ? ， 2c ? ，则 ABC? 面
积的最大值为（ ）
A. 3 B．2 C． 2 3 D． 4 3
二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20分）
13.已知点 (0,1), (3, 2)A B ，向量 ( 4, 3)AC ? ? ?
????
，则向量 BC
????
=______.
14.已知α为锐角，且 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α=______.
15.如下图，设 A，B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧，在 A所在的河岸边选定一点 C，测出 AC的
距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则 A，B两点的距离为 m
16.如上图是以C为圆心的一个圆，其中弦 AB的长为 2 ，则 AC AB? ?
???? ????
_______.
三、解答题（本题共 6 道小题，第 17 题 10 分，其余各题 12分，共 70 分）
17.向量 ? ?1, 2a? ? ? ， ? ?1,0b ? ?
?
，求（1）求 ?? ba,cos ；（2）若 ? ? ? ?a b a b?? ? ?? ? ? ? ，求? .
18.已知函数 ? ? 23 sin 2sin
2
xf x x? ? .
（1）求函数 ? ?f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数 ? ?f x 在 ? ?0,2? 内的所有零点.
3
19.在 ABC? 中， 3a ? ， 2b c? ? ，
1cos
2
B ? ? . （1）求b， c的值； （2）求 ? ?sin B C? 的值.
20.(错题重做)如图，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为
3
?
的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内
接矩形.记∠COP＝?，求当角?取何值时，矩形 ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.
21.设向量 ? ?,m a b?? ， ? ?2, 2n b a? ? ?? ，在 ABC? 中 , ,a b c分别为角 A,B,C 的对边，且
2 sin (2 )sin (2 )sinc C b a B a b A? ? ? ? .
（1）求角C；（2）若m n?
?? ?
，边长 2c ? ，求 ABC? 的周长 l和面积 S 的值.
22.已知 ABC? 中， a b c、 、 分别为角 A B C、 、 的边，且
1sin 2
2 2
C ?? ?? ?? ?
? ?
，且 2 2 2a b c? ?
（1）求角C的大小； （2）求
a b
c
?
的取值范围.
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数学（文）参考答案
1-5 ADCAC 6-10 BCBBA 11-12 CA
13. ( 7, 4)? ? 14.α＝3π
8
. 15.50 2m 16.2
17.向量 ? ?1, 2a? ? ? ， ? ?1,0b ? ?
?
，求（1）求 ?? ba,cos ；（2）若 ? ? ? ?a b a b?? ? ?? ? ? ? ，求? .
（1） ?? ba,cos = 5
5
5
1
||||
??
?
?
?
?
ba
ba
………………………………………………………4 分
（2）向量 ? ?1, 2a ? ?? ， ? ?1,0b ? ?
?
，
所以 ? ? ? ? ? ?2, 2 , 1, 2a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ………………………………………………………………7 分
又因为 ? ? ? ?a b a b?? ? ?? ? ? ? ，
所以 ? ? ? ? 0a b a b?? ? ? ?? ? ? ? ，即 ? ? ? ?2 1 2 2 0? ?? ? ? ? ? ，解得 13? ? ，故答案为
1
3
.…………………10 分
18.已知函数 ? ? 23 sin 2sin
2
xf x x? ? .
（1）求函数 ? ?f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数 ? ?f x 在 ? ?0,2? 内的所有零点.
（1） ? ? ? ?23 sin 2sin 3 sin 1 cos 2sin 1
2 6
xf x x x x x ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
…………………2 分
2 2
1
T ? ?? ? ? …………………………………………………………………………………………………4分
由 2 2 ,
2 6 2
k x k k Z? ? ?? ?? ? ? ? ? ? .解得： 22 2 ,
3 3
k x k k Z? ?? ?? ? ? ? ? .
∴函数 ? ?f x 单调递增区间为： 22 ,2 ,
3 3
k k k Z? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?
……………………………………………6 分
（2）令 2sin 1 0
6
x ?? ?? ? ?? ?
? ?
，即
1sin
6 2
x ?? ?? ?? ?
? ?
. ………………………………………………………8 分
∴ 2 ,
6 6
x k k Z? ??? ? ? ? 或 52 ,
6 6
x k k Z? ??? ? ? ? …………………………………………………10 分
可得：函数 ? ?f x 在? ?0,2? 内的所有零点为： 0， 2
3
?
，2? . …………………………………………12 分
19.在 ABC? 中， 3a ? ， 2b c? ? ，
1cos
2
B ? ? . （1）求b， c的值； （2）求 ? ?sin B C? 的值.
（1）∵ 3a ? ， 2b c? ? ，
1cos
2
B ? ? ，
2
∴由余弦定理，得 ? ? ? ?22 2 2 12 cos 9 2 2 3 2
2
b a c ac B b b ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
……………………4 分
∴ 7b ? ， 2 7 2 5c b? ? ? ? ? .………………………………………………………………………………6 分
（2）在 ABC? 中，由
1cos
2
B ? ? ，得 3sin
2
B ? ………………………………………………………8 分
由正弦定理有：
sin sin
a b
A B
? ，即 sin 3 3 3 3sin
2 7 14
a BA
b
?
? ? ?
?
……………………………………10 分
∴ ? ? ? ?sin si 3
14
n n 3siB C A A?? ? ? ?? .………………………………………………………………12 分
20.(错题重做)如图，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为
3
?
的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内
接矩形.记∠COP＝?，求当角?取何值时，矩形 ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.
3
21.设向量 ? ?,m a b?? ， ? ?2, 2n b a? ? ?? ，在 ABC? 中 , ,a b c分别为角 A,B,C 的对边，且
2 sin (2 )sin (2 )sinc C b a B a b A? ? ? ? .
（1）求角C；（2）若m n?
?? ?
，边长 2c ? ，求 ABC? 的周长 l和面积 S 的值.
4
（1）由已知可得： 22 (2 ) (2 )c b a b a b a? ? ? ? ,即 2 2 2c b a ab? ? ? ，
2 2 2 1cos
2 2
b a cC
ab
? ?
? ? ? ，
3
C ?? ? ………………………………………………………………5 分
（2）由题意可知m n?
?? ?
， ? ? ? ?2 2 0a b b a即 ? ? ? ? a b ab? ? ? ………………………………7 分
由余弦定理可知， 2 2 24 ( ) 3a b ab a b ab? ? ? ? ? ? ，则 2( ) 3( ) 4 0a b a b? ? ? ? ? 即 4a b? ?
故周长为 4 2 6? ? ………………………………………………………………………………………9 分
面积
1 1sin 4 sin 3
2 2 3
S ab C ?? ? ? ? ? ? ……………………………………………………………12 分
22.已知 ABC? 中， a b c、 、 分别为角 A B C、 、 的边，且
1sin 2
2 2
C ?? ?? ?? ?
? ?
，且 2 2 2a b c? ?
（1）求角C的大小； （2）求
a b
c
?
的取值范围.
（1）
1 1sin 2 cos 2
2 2 2
C C?? ?? ? ? ? ?? ?
? ?
? ………………………………………………………2 分
2 2 2
2 2 2 cos 0 ( , ) ( , 2 )
2 2
a b ca b c C C C
ab
? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ，2 ，………………………………4 分
因此
42
3
C ?? ， 2
3
C ?? ……………………………………………………………………………………6 分
（2） sin sin 2 3 2 3(sin sin ) (sin sin( ))
sin 3 3 3
a b A B A B A A
c C
?? ?
? ? ? ? ? ?
2 3 1 3 2 3( sin cos ) sin
3 2 2 3 3
A A A ?? ?? ? ? ?? ?
? ?
………………………………………………………9 分
因为
2 3(0, ) ( , ) sin( ) ( ,1]
3 3 3 3 3 2
A A A? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，
因此
2 31,
3
a b
c
? ??
?? ??
? ?
………………………………………………………………………………………12 分