第五章 第5节 向心加速度
2 提升练、课时跟踪
一、选择题
1．关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．它描述了角速度变化的快慢
B．它描述了线速度大小变化的快慢
C．它描述了线速度方向变化的快慢
D．公式a＝只适用于匀速圆周运动
解析：选C 由于向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故C正确，A、B错误；公式a＝不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动，故D错误．
2．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是( )
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
解析：选C 向心加速度的方向与线速度方向垂直，始终指向圆心，A、B错误，C正确；做匀速圆周运动物体的向心加速度的大小不变，而方向时刻变化，D错误．
3．质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( )
A．因为a＝Rω2，所以向心加速度a与轨道半径R成正比
B．因为a＝，所以向心加速度a与轨道半径R成反比
C．因为a＝4π2f2R，所以向心加速度a与轨道半径R成正比
D．因为a＝R，所以在轨道半径R一定时，向心加速度a与周期T成反比
解析：选D ω一定时，a与轨道半径R成正比，A错误；v一定时，a与轨道半径R成反比，B错误；在f一定时，a与R成正比，C错误；在R一定时，a与T成反比，D正确．
4．关于物体随地球自转的加速度大小，下列说法中正确的是( )
A．在赤道上最大 B．在两极上最大
C．地球上处处相同 D．随纬度的增加而增大
解析：选A 物体随地球自转角速度相同，但自转的圆心在地轴上，自转的半径由赤道向两极逐渐减小，赤道处半径最大，由公式a＝ω2r知：自转的加速度由赤道向两极逐渐减小，因此，选项A正确，选项B、C、D错误．
5．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为( )
A．3∶4 B．4∶3
C．4∶9 D．9∶4
解析：选B 根据公式an＝ω2r及ω＝2πn，得an＝4π2n2r，所以＝×＝，选项B正确．
6．如图所示，O、O′为两个皮带轮，O轮的半径为r，O′轮的半径为R，且R＞r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O′轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则( )
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
解析：选A 在O′轮的边缘上取一点Q，则Q点和N点在同一个轮子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ≥rN，由向心加速度公式an＝ω2r可知aQ≥aN；由于皮带转动时不打滑，Q点和M点都在由皮带传动的两个轮子边缘，这两点的线速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ＞rM，由向心加速度公式an＝可知，aQ＜aM，所以aM＞aN，A选项正确．
7．如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板的两个端点，在翘动的某一时刻，甲、乙两个小孩的线速度大小分别为v甲、v乙，角速度大小分别为ω甲、ω乙，向心加速度大小分别为a甲、a乙，则( )
A．v甲＝v乙，ω甲>ω乙，a甲＝a乙
B．v甲>v乙，ω甲＝ω乙，a甲>a乙
C．v甲＝v乙，ω甲＝ω乙，a甲＝a乙
D．v甲>v乙，ω甲<ω乙，a甲
解析：选B 由题意知甲、乙的角速度相等，由题图看出r甲>r乙，根据v＝ωr得线速度v甲>v乙，根据a＝ω2r得a甲>a乙，所以B选项正确．
8．(多选)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( )
A．a、b两点的线速度相同
B．a、b两点的角速度相同
C．若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va∶vb＝ ∶2
D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝ ∶2
解析：选BCD 由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，B正确；由v＝ωr知va＜vb，A错误；又ra＝rbcos θ，则当θ＝30°时，ra＝ rb，则va∶vb＝ra∶rb＝ ∶2，C正确；由an＝ω2r知aa∶ab＝ra∶rb＝ ∶2，D正确．
9．(多选)小金属球质量为m，用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示，若无初速度释放小球．当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的线速度突然增大
解析：选AC 由题意知，当悬线运动到与钉子相碰时，悬线仍然竖直，小球在竖直方向仍然只受重力和悬线的拉力，故其运动方向不受力，线速度大小不变；又ω＝，r减小所以ω增大；a＝，r减小则a也增大，故A、C正确．
10．如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
解析：选D 轮A、B边缘点的线速度相等，故va∶vb＝1∶1，根据公式v＝rω，有ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有na∶nb＝3∶2，根据a＝vω，有aa∶ab＝3∶2，轮B、轮C是共轴传动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据公式v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，根据ω＝2πn，有nb∶nc＝1∶1，根据a＝vω，有ab∶ac＝3∶2，综合得到va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，na∶nb∶nc＝3∶2∶2，aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，故D选项正确．
二、非选择题
11．一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶．当轿车从A点运动到B点时，轿车和圆心的连线转过的角度θ＝90°，求：
(1)此过程中轿车位移的大小；
(2)此过程中轿车运动的路程；
(3)轿车运动的向心加速度的大小．
解析：(1)轿车的位移为从初位置到末位置的有向线段，其大小为线段的长度s，s＝R＝×60 m≈85 m.
(2)路程等于弧长，l＝Rθ≈60× m＝94.2 m.
(3)向心加速度的大小a＝＝ m/s2＝15 m/s2.
答案：(1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s2
12．某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的90°圆弧形水平弯道，弯道两端连接的都是直道．有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系如图乙所示．求：
(1)汽车转弯所用的时间；
(2)汽车行驶的速率．
解析：(1)由题图乙可得汽车转弯所用的时间为：t＝10 s.
(2)汽车在转弯过程中做圆周运动的周期T＝4t＝40 s，由an＝r，可得：r＝63.7 m，由an＝，解得v＝10 m/s.
答案：(1)10 s (2)10 m/s
13．如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
解析：同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP.
由向心加速度公式an＝ω2r，得＝，
故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2；
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ，
由向心加速度公式an＝，
得＝，
故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2.
答案：4 m/s2 24 m/s2
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