四川省内江市第六中学2019-2020高二下学期入学考试数学（文）试卷（PDF版）

1
数学（文）试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题 5分，共 60 分）
1. 复数 ? ?i 2 i? ?（ ）
A．1 2i? B．1 2i? C． 1 2i? ? D． 1 2i? ?
2.抛物线 2
1
4
x y? 的焦点到准线的距离为（ ）
A. 2 B. 1 C.
1
4
D.
1
8
3.下列说法正确的是（ ）
A．“若 1a ? ，则 2 1a ? ”的否命题是“若 1a ? ，则 2 1a ? ”
B．“若
2 2am bm? ，则 a b? ”的逆命题为真命题
C． ? ?0 0,x? ? ?? ，使 0 03 4
x x? 成立
D．“若
1
sin
2
? ? ，则
6
?
? ? ”是真命题
4.方程 2 2 2 2( 2) ( 2) 10x y x y? ? ? ? ? ? ，化简的结果是（ ）
A．
2 2
1
25 16
x y
? ? B．
2 2
1
25 21
x y
? ? C．
2 2
1
25 4
x y
? ? D．
2 2
1
25 21
y x
? ?
5. 如果方程
2 2
1
5 4
x y
m m
? ?
? ?
表示焦点在 y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）.
A． 4 5m? ? B．
9
2
m ? C．
9
4
2
m? ? D．
9
5
2
m? ?
6.已知实数 4, ,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线
2
2 1
x
y
m
? ? 的离心率为 ( )
A.
30
6
B. 7 C.
30
6
或 7 D.
5
6
或 7
7． 设 x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2
8.已知抛物线
21
8
y x? 上的点 P 到焦点 F 的距离为 4 ，则 OPF? 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9. )0(1已知椭圆
2
2
2
2
???? ba
b
y
a
x
的 离 心 率 为
4
1
， 则 双 曲 线
)0,0(1
2
2
2
2
???? ba
b
y
a
x
的渐近线方程为（ ）
A.
4 15
15
y x? ? B. 3y x? ? C.
15
4
y x? ? D.
3
3
y x? ?
10. )0(1已知椭圆
2
2
2
2
???? ba
b
y
a
x
的一条弦所在的直线方程是 05 ??? yx ，弦
的中点坐标是 )1,4(?M ，则椭圆的离心率是（ ）
2
1
.A
2
2
.B
2
3
.C
5
5
.D
11. )0(1已知椭圆
2
2
2
2
???? ba
b
y
a
x
和双曲线 1: 22 ?? yxE 有相同的焦点 21,FF ，
且离心率之积为 1， P为两曲线的一个交点，则 的形状为21PFF? （ ）
A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不能确定
12. 如图，过抛物线
2 4y x? 的焦点 F 作倾斜角为? 的直线 l， l与抛物线及其准线从上下
依次交于 A、B、C点，令 1
AF
BF
?? ， 2
BC
BF
?? ，则当
3
?
? ? 时，
1 2? ?? 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷
二、填空题：(每题 5 分，共 20 分)
13.命题 "0),,0(" 00 ????? xx 的否定是 .
14.在复平面内，复数
2i
1 i?
对应的点的坐标为 .
15.抛物线 2 8y x? 的焦点为 F ，点 ? ?6,3A ， P为抛物线上一点，且 P不在直线 AF 上，
3
则 PAF? 周长的最小值为____________
16.已知 F1、F2分别为椭圆 )0(,12
2
2
2
???? ba
b
y
a
x
的左、右焦点 ,点 P 为椭圆上一点，
??? 12021PFF ,0 为坐标原点， ,
4
33
,
11
acScOF OPF ?? ? 则椭圆的离心率的取值范围
为 。
三、解答题：（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分,共 70 分）
17.（本小题满分 10 分）已知 ,m R? 设 ? ? 2 2: 1,1 , 2 4 8 2 0p x x x m m? ? ? ? ? ? ? ? 成立；
:q 不等式 0lg )24( ?? m 成立；如果“ p q? ”为真，“ p q? ”为假，求实数m的取值范围.
18、（本小题满分 12分）已知椭圆C：
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
? ? ? ? 的右焦点 2F )0,2( ，离心
率为
3
2
。
（1）求椭圆 C的方程。
（2） 21,FF 是椭圆 C的左右焦点，A为椭圆 C上一点，且
??? 4521FAF ,求 21FAF? 的面积。
19.（本小题满分 12分）
己知抛物线C： 2 2 ( 0)y px p? ? 过点 )2,1( ?M
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点 )0,2( 且倾斜角为 ?60 的直线与抛物线 C交于 A,B 两点，求弦长 AB 。
4
20.（本小题满分 12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在 y轴上，且抛物线上有一点
? ?,5P m 到焦点的距离为 6.
(1)求该抛物线C的方程；
(2) O过坐标原点 作抛物线的两条弦OD和OE，且 0??
??
OEOD ，判断直线DE是否过定
点，并说明理由.
21.（本小题满分 12分）已知椭圆C：
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
? ? ? ? 的两个焦点与短轴的一个端
点构成的三角形的面积为2 3，且椭圆C的离心率为
3
2
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 (4,0)且斜率不为零的直线 l与椭圆C交于两点M 、N ，点 (2 2,0)T ，试探究：
直线MT 与 NT 的斜率之积是否为常数.
22.（本小题满分 12分）已知椭圆C：
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
? ? ? ? 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，
左顶点为 A，离心率为
2
2
，点 B是椭圆上的动点， 1ABF△ 的面积的最大值为
2 1
2
?
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点 1F 的直线 l与椭圆C相交于不同的两点M ， N ，线段MN的中垂线为 'l .若
直线 'l 与直线 l相交于点 P，与直线 2x ? 相交于点Q，求
PQ
MN
取最小值时直线 l的方程.
1
数学（文）试题参考答案
考试时间：120 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1-5: A D D B D 6-10: C B B C C 11-12: B C
第Ⅱ卷
二、填空题：(每题 5 分，共 20 分)
13. 0),,0( ????? xx 14. (－1,1)
15.13 16. ?
?
?
??
?
1
2
1
，
三、解答题：（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分）
17.（本小题满分 10 分）已知 ,m R? 设 ? ? 2 2: 1,1 , 2 4 8 2 0p x x x m m? ? ? ? ? ? ? ? 成立；
:q 不等式 0lg )24( ?? m 成立；如果“ p q? ”为真，“ p q? ”为假，求实数m的取值范围.
解：由题意得：若 P 为真：对 ? ? 恒成立，2284,1,1 22 ??????? xxmmx
22)( 2 ??? xxxf设 ，易得 ? ? 3-11-22)( 2 上的最小值为，在??? xxxf ...........1 分
2
3
2
1
,384 2 ?????? mmm 解得
:为真时p?
2
3
2
1
?? m ......................................................2分
若 q为真：
3
4 2 1
2
m m? ? ? ? ...............................................4分
因为 p q? ”为真，“ p q? ”为假，所以 p与 q一真一假........................5 分
当 p真 q假时
1 3
2 2{
3
2
m
m
? ?
?
，所以
3
2
m ? ......................................7分
2
当 p假 q真时 ,
2
3
2
3
或
2
1
?
?
?
??
?
?
?
??
m
mm
所以
1
2
m ? ..................................9分
综上所述，实数m的取值范围是
1
2
m ? 或
3
2
m ? ..............................10分
18、（本小题满分 12 分）
已知椭圆C：
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
? ? ? ? 的右焦点 2F )0,2( ，离心率为
3
2
。
（1）求椭圆 C 的方程。
（2） 21,FF 是椭圆 C 的左右焦点，A为椭圆 C上一点，且
??? 4521FAF ,求 21FAF? 的面积。
解：（1）由题得： 7,3,
3
2
,2 ????? ba
a
c
c ?? ...................................... 3分
1
79
22
???
yx
椭圆方程为： ...................................................................................... 5分
（2） rAFrAF ??? 6, 21 则令 2221 ?FF又
中由余弦定理得：在 21FAF?
2
7
24
)6(8
45cos
22
??
???
?? r
r
rr
......................................................................... 9分
?
? ??? 45sin
2
1
21121
FFAFS FAF? ................................. ........................................10分
2
7
2
2
22
2
7
2
1
21
?????? ? FAFS ......................................................................... ...12分
19.（本小题满分 12分）
己知抛物线C： 2 2 ( 0)y px p? ? 过点 )2,1( ?M
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点 )0,2( 且倾斜角为 ?60 的直线与抛物线 C 交于 A,B 两点，求弦长 AB 。
解：（1）由题得： 2,42 ??? pp ................................ 2 分
3
所求抛物线C的方程为: xy 42 ? ....................................... 4 分
(2) ),(),,(),2(3 2211 yxByxAxyl 设的方程为：由题得直线 ?? ............... 5 分
012163
4
)2(3 2
2
????
??
?
?
?
?
??
xx
xy
xy
由 ................................................................... 6 分
4,
3
16
2121 ??? xxxx由韦达定理得： ........................................................................... 7分
21
2
21
2
21
2 4)(11 xxxxkxxkAB ???????? .................................................. 9分
3
78
?? AB ......................................................................................................................... 12分
20.（本小题满分 12 分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在 y轴上，且抛物线上有一点
? ?,5P m 到焦点的距离为 6.
(1)求该抛物线C的方程；
(2) O过坐标原点 作抛物线的两条弦OD和OE， 0??
??
OEOD且 ，判断直线DE 是否过
定点，并说明理由.
解：（1）由于抛物线的焦点在 y轴上且过点 ? ?,5P m
0,22 ??? ppyx设抛物线方程为： ............................................................................... 1分
26
2
5 ???? p
p
由抛物线定义可得： .......................................................................... 3分
所以抛物线 方程为： yx 42 ? ........................................................................................... 4分
（2） ），过定点（直线 40DE ，理由如下....................................................................... 5分
),(),,(, 2211 yxEyxDbkxyDE ??的直线方程为：设
044
4
2
2
????
?
?
?
?
??
bkxx
yx
bkxy
由 ....................................................................................... 6分
00 2 ????? bk? ①............................................... 7 分
bxxkxx 4,4 2121 ????由韦达定理得： ，
2
2
21
2
2
2
1
21
16
)(
44
b
xxxx
yy ????又
②
........................................................................... 8 分
4
0,0 2121 ?????
??
yyxxOEOD? ③ ......................................9分
将②式代入③式得： 0404
2 ????? bbbb 或 ............................. 11 分
代入①式： 符合不满足， 40 ?? bb
），过定点（直线 40DE? ................................................... 12 分
21.（本小题满分 12 分）已知椭圆C：
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
? ? ? ?
的两个焦点与短轴的一个端
点构成的三角形的面积为2 3 ，且椭圆C的离心率为
3
2 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 (4,0)且斜率不为零的直线 l与椭圆C交于两点M 、N ，点 (2 2,0)T ，试探究：
直线MT 与 NT 的斜率之积是否为常数.
21.解：（1）由题意得
2 3
3
2
bc
c
a
? ?
?
?
??
?
（其中 c椭圆的半焦距），
解得
2
2
8
2
a
b
? ??
?
???
..............................................................................................................................4分
所以椭圆C的方程为：
2 2
1
8 2
x y
? ? .................................................................................... 5分
（2）由题意设直线 l的方程为： 4x my? ? ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，
由 2 2
4
1
8 2
x my
x y
? ??
?
?
? ??
?
得：
2 2( 4) 8 8 0m y my? ? ? ? ，............................................................. 6 分
所以
1 2 2
1 2 2
2 2
8
4
8
4
64 32( 4) 0
m
y y
m
y y
m
m m
?
? ? ?? ?
?
?
??
??
?? ? ? ? ?
?
?
，
5
故 1 2 1 2( ) 8x x m y y? ? ? ? 2
32
4m
?
?
，
2
1 2 1 2 1 24 ( )x x m y y m y y? ? ?
2
2
64 8
16
4
m
m
?
? ?
?
，............................................................... 8 分
MT NTk k?
1 2
1 2( 2 2)( 2 2)
y y
x x
?
? ?
1 2
1 2 1 22 2( ) 8
y y
x x x x
?
? ? ?
3 2 2
4
?
? （常数）............................................................................................................ 12 分
22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆C：
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
? ? ? ? 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，
左顶点为 A，离心率为
2
2
，点 B是椭圆上的动点， 1ABF△ 的面积的最大值为
2 1
2
?
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点 1F 的直线 l与椭圆C相交于不同的两点M ， N ，线段MN的中垂线为 'l .若
直线 'l 与直线 l相交于点 P，与直线 2x ? 相交于点Q，求
PQ
MN
取最小值时直线 l的方程.
【解析】(1)由已知，有
2
2
c
a
? ，即 2 22a c? .
∵
2 2 2a b c? ? ，∴b c? ....................................................................................................... 1分
设B点的纵坐标为 ? ?0 0 0y y ? .
则 ? ? ? ?
1 0
1 1 2 1
2 2 2
ABFS a c y a c b
?
? ? ? ? ? ?△ ，即 ? ?2 2 1b b b? ? ? .
∴ 1b ? ， 2a ? ................................................................................................................... 3分
∴椭圆C的方程为
2
2 1
2
x
y? ?
............................................................................................ 4分
(2)由题意知直线 l的斜率不为0 ，故设直线 l： 1x my? ? ................................. .............5分
6
设 ? ?1 1,M x y ， ? ?2 2,N x y ， ? ?,P PP x y ， ? ?2, QQ y .
联立
2 22 2
1
x y
x my
? ? ?
?
? ??
，消去 x，得 ? ?2 22 2 1 0m y my? ? ? ? .
此时
? ?28 1 0m? ? ? ?
.∴
1 2 2
2
2
m
y y
m
? ?
? ，
1 2 2
1
2
y y
m
? ?
? ................................. 6分
由弦长公式，得
2 2
2 2
1 2 2
4 4 8
1 1
2
m m
MN m y y m
m
? ?
? ? ? ? ?
?
.
整理，得
2
2
1
2 2
2
m
MN
m
?
? ?
? ................................. ....................................................8分
又 1 2
22 2
P
y y m
y
m
?
? ?
?
，∴
2
2
1
2
P Px my
m
?
? ? ?
?
.
∴
2
2 2
2
2 6
1 2 1
2
P
m
PQ m x m
m
?
? ? ? ? ? ?
? ........................................................... 9分
∴
2 2
2
2 2 2
2 6 2 3 2 2
1 2
| | 2 22 2 1 1 1
PQ m m
m
MN m m m
? ?? ?
? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ?? ?
，
当且仅当
2
2
2
1
1
m
m
? ?
? ，即 1m ? ? 时等号成立................................................ 10 分
∴当 1m ? ? ，即直线 l的斜率为 1? 时，
PQ
MN
取得最小值 2 .
01，和01的方程为：直线 ?????? yxyxl ....................................... 12 分