数学试题（理）
总分：150 分 时间：120 分钟
一、单选题（共 12 题，每题只有一个正确答案，共 60 分）
1．设
31
i
z
i
=
+
（ i 为虚数单位），则 z =（ ）
A．
2
2
B． 2 C．
1
2
D．2
2．已知双曲线 上的点 到点 的距离是 ，则点 到点 的距离（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = ( )0a b? ? 分别过点 ( )2,0A 和 ( )0, 1B ? ，则该椭圆的焦距为（ ）
A． 3 B． 2 3 C． 5 D．2 5
4．抛物线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如果椭圆 1
936
22
=+
yx
的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A 02 =? yx B 042 =?+ yx C 01432 =?+ yx D 082 =?+ yx
6．方程 2 0mx ny+ = 与
2 2 1( 0)mx ny m n+ = ? ? 的曲线在同一坐标系中的示意图是（ ）．
A． B． C． D．
7．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：
甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两
人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，
另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．甲 B． 乙 C． 丙 D．丁
2 2
1
16 9
x y
? = P (5,0) 15 P ( 5,0)?
7 23 11 19或 7 23或
28y x= ?
( )0, 2? ( )2,0?
1
0,
32
? ?
?? ?
? ?
1
,0
32
? ?
?? ?
? ?
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
8. 设 1 2,F F 分别是椭圆
2 2
2 2
: 1
x y
C
a b
+ = （ 0a b? ? ）的左、右焦点，过 1F 的直线 l 交椭圆
于 ,A B 两点， l在 y 轴上的截距为 1，若 1 13AF F B= ，且 2AF x⊥ 轴，则此椭圆的长轴长
为（ ）
A．
3
3
B．3 C． 6 D．6
9.已知椭圆
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = ? ? 的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ， 1 2,F F 分别是
椭圆的左、右焦点，且 1F AB? 的面积为
2 3
2
?
，点 P 为椭圆上的任意一点，则
1 2
1 1
PF PF
+
的取值范围为（ ）
A．[1,2] B．[ 2, 3] C．[1,4] D． [ 2, 4]
10. 已知双曲线 )0,0(1
2
2
2
2
??=? ba
b
y
a
x
的右焦点为 F ，过F 作与双曲线的两条渐近
线平行的直线，且与渐近线分别交于 BA、 两点，若四边形OAFB（O为原点）
的面积为bc，则双曲线的离心率为( )
11. 抛物线 2 ( )2 0C x py p： ＝ ＞ 的焦点为 1(0 )F ，，抛物线C 上的点 A 关于直线
2 2l y x +： ＝ 对称的点 B 恰好在射线 ( )11 3y x ?＝ 上，则直线 AF 被C 截得的弦长为（ ）
A．
118
9
B．
127
9
C．
91
9
D．
100
9
12．已知椭圆
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b c
a b
+ = ? ? ? 的左、右焦点分别为 1 2,F F ，若以 2F 为圆心，b c?
为半径作圆 2F ，过椭圆上 P 作此圆的切线，切点为T ，且 | |PT 得最小值不小于
3
( )
2
a c? ，
则椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ）
A.
3
(0, )
5
B.
3
[ ,1)
5
C.
3 2
[ , )
5 2
D.
2
( ,1)
2
二、单选题（共 4 题，每题只有一个正确答案，共 20 分）
13．若 1＋ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2＋bx＋c＝0 的一个复数根，则 b＋c=
14．抛物线 xy 42 =：C 上一点 Q到点 B(4,1)与到焦点 F的距离和最小,则点 Q的坐标
15．已知双曲线
2 2
2 2
: 1( 0, 0)
x y
C a b
a b
? = ? ? 的焦点与椭圆
2 2
1
9 5
x y
+ = 的焦点重合，且双曲线
C 的渐近线与圆 2 2( 2) 3x y? + = 相切，则双曲线C 的离心率为_________
16．已知M 为椭圆
2 2
1
4 3
x y
+ = 上一点， N 为椭圆长轴上一点，O为坐标原点，有下列结
论：①存在点M ，N ，使得 OMN? 为等边三角形；②不存在点M ，N ，使得 OMN?
为等边三角形；③存在点M ， N ，使得 90OMN? = ?；④不存在点M ， N ，使得
90OMN? = ? .其中，所有正确结论的序号是_________
三、解答题（共 6 题，共 60 分）
17、（本题 10 分）
(1)若抛物线的焦点是椭圆
2 2
1
64 16
x y
+ = 左顶点，求此抛物线的标准方程；
(2)某双曲线与椭圆
2 2
1
64 16
x y
+ = 共焦点，且以 3y x= ? 为渐近线，求此双曲线的标准方程.
18、（本题 12 分）
已知抛物线 2: 2C y px= 的焦点为 F，点 ( )( )1 14, 0A y y ? 在抛物线上，且 | | 5AF = .
（1）求抛物线 C的方程；
（2）已知 (1,2)P ，点 B在抛物线 C上，且 PA PB⊥ ，求 B点坐标.
19、（本题 12 分）
已知圆
2 2 1: ( 1)
4
C x y? + = ，一动圆 P 与直线
1
2
x = ? 相切且与圆C 外切．
（1）求动圆圆心 P 的轨迹 E 的方程；
（2）过 ( )1,0F 作直线 l ，交（1）中轨迹 E 于 ,A B 两点，若 AB 中点的纵坐标为 1? ，求直
线 l的方程．
20．（本题 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = ? ? 的左焦点为F ， ,A B 是椭圆上关于原点O对称的两个动点，
当点 A 的坐标为
14
1,
2
? ?
? ?? ?
? ?
时， ABF? 的周长恰为7 2 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F 作直线 l 交椭圆于 ,C D 两点，且CD AB?= ( )R? ? ，求 ACD? 面积的取值范
围．
21．（本题 12 分）
已知椭圆 过点 ．
（1）求椭圆 的方程，并求其离心率；
（2）过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上（点 不在直线 上），
直线 关于 的对称直线 与椭圆交于另一点 ．设 为坐标原点，判断直线 与
直线 的位置关系，并说明理由．
22．（本题 12 分）
如图抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点（ 在 轴上方），
， 点到 轴的距离为 4.
（1）求抛物线方程及点 的坐标；
（2）是否存在 轴上的一个点 ，过点 有两条直线 ，满足 ， 交抛物线
于 两点. 与抛物线相切于点 （ 不为坐标原点），有 成立，若
存在，求出点 的坐标.若不存在，请说明理由.
2 2
2
: 1
2
x y
C
a
+ = (2,1)P
C
P x l A C A l
PA l PB B O AB
OP
2: 2 ( 0)C y px p= ? F A A x
5AF = A y
A
y M M 1 2,l l 1 2l l⊥ 1l C
,D E
2l B B
2
MB MD ME= ?
M
高2021届高二（下）入学考试数学试题（理）
总分：150分 时间120分钟
选择题答案： AD B C D A BDCB DC
二、单选题（共4题，每题只有一个正确答案，共20分）
13．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＋c=
【答案】1
14．抛物线C: y2?=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标
【答案】（）
15．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为_________
【答案】2
16．已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点，有下列结论：①存在点，，使得为等边三角形；②不存在点，，使得为等边三角形；③存在点，，使得；④不存在点，，使得.其中，所有正确结论的序号是_________
【答案】①④
三、解答题（共6题，共60分）
17、（本题10分）
(1)若抛物线的焦点是椭圆左顶点，求此抛物线的标准方程；
(2)某双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程.
【解析】
（1）椭圆左顶点为，
设抛物线的方程为，可得，
计算得出，
则抛物线的标准方程为；
（2）椭圆的焦点为，
可设双曲线的方程为，
则，
由渐近线方程，
可得，
计算得出，
则双曲线的方程为.
18、（本题12分）
已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知，点B在抛物线C上，且，求B点坐标.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题可知，，
故抛物线C的方程为：.
（2）将代入抛物线方程，由可得，故，
点B在抛物线C上，不妨设，
所以，，
因为，所以,
即，解得或，
又因为与不能重合，故，故B点坐标.
19、已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过作直线，交（1）中轨迹于两点，若中点的纵坐标为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设P（x，y），则由题意，|PC|﹣（x），
∴x+1，
化简可得动圆圆心P的轨迹E的方程为y2＝4x；
（2）法一：由（1）得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点C（1，0）
设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则
两式相减．整理得
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1
∴直线l的斜率
直线l的方程为y﹣0＝﹣2（x﹣1）即2x+y﹣2＝0.
法二：由（1）得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点C（1，0）
设直线l的方程为x＝my+1
由消去x，得y2﹣4my﹣4＝0
设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1
∴
解得
直线l的方程为即2x+y﹣2＝0.
20．已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求出AB，得到a，然后求解b，即可得到椭圆方程;（2）当直线AB的斜率不存在时，求解三角形面积，设直线CD的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．由消去y整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，△＞0，设C（x1，y1），D（x2，y2），利用弦长公式求解CD，然后求解三角形面积，推出范围即可．
【详解】
（1）当点的坐标为时，，所以．
由对称性，，
所以，得
将点代入椭圆方程 中，解得，
所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由消去整理得：． 显然，
设，则
故
．
因为，所以，
所以点到直线的距离即为点到直线的距离，
所以
，
因为，所以，
所以．综上，．
21．已知椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；
（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），直线关于的对称直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（Ⅰ），离心率．（Ⅱ）直线与直线平行．见解析
【解析】
解：（Ⅰ）由椭圆过点，
可得，解得． 所以，
所以椭圆的方程为，离心率．
（Ⅱ）直线与直线平行．
证明如下：由题意，设直线，，
设点，，
由得
，
所以，所以，
同理，
所以，
由，，
有，
因为在第四象限，所以，且不在直线上，所以，
又，故，所以直线与直线平行.
22．如图抛物线的焦点为，为抛物线上一点（在轴上方），，点到轴的距离为4.
（1）求抛物线方程及点的坐标；
（2）是否存在轴上的一个点，过点有两条直线，满足，交抛物线于两点.与抛物线相切于点（不为坐标原点），有成立，若存在，求出点的坐标.若不存在，请说明理由.
【答案】（1），； （2）存在点.
【解析】
（1）由抛物线的焦点为，满足，点到轴的距离为4，由抛物线的定义，可得，且，解得，
所以抛物线的方程为，
令，解得，
又由在轴上方，所以，即.
（2）假设存在点M，可知直线的斜率存在，
设的方程为，
联立方程组，整理得，
由，解得，
此时切点，可得，
因为，所以的方程为，
联立，整理得，
所以，，
所以，所以，
所以存在点，符合题意.
