第四章三角形
4.2图形的全等
一、教学目标
1.理解并掌握全等三角形的性质；
2.能用符号正确地表示两个三角形全等，能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边；
3.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．
二、教学重点及难点
重点：全等图形、全等三角形及其性质．
难点：利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形，引入课题．
设计意图：通过丰富的情境图片，在学生欣赏的同时，激发学生学习兴趣，引入新课．
【探究新知】
探究1：全等图形
（1）下面这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合．你能分别从图中找出这样的图形吗？
定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形．
（2）“议一议”观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？
全等图形的性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同．
（二）全等三角形
1.全等三角形定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
对应顶点：A和D，B和E，C和F；
对应边：AB和DE，BC和EF，AC和DF；
对应角：∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F．
表示方法:△ABC≌△DEF，注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
2．全等三角形的性质：
（1）例：你能找到图中的对应边和对应角吗？对应边和对应角有什么特征？
解：对应边： 和 、 和 、 和
对应角： 和 、 和 、 和
发现对应边 ，对应角
归纳：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）“议一议”
①全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线相等吗？还有哪些相等的线段？
②如图，已知△ABC≌△A′B′C′，在△A′B′C′中画出与线段DE相等的对应线段．
归纳：全等三角形对应边上的高，对应边上的中线相等，对应角平分线也相等．
【典型例题】
例1．下列四个图形是全等图形的是（ ）
A．（1）和（3） B．（2）和（3）
C．（2）和（4） D．（3）和（4）
解：由图可知（2）、（3）、（4）图中的圆在等腰三角形中，（1）图中的圆在直角三角形中，所以排除（1）．考虑（2）、（3）、（4）图中的圆，很明显（3）图中的圆小于（2）、（4）中的圆，所以能够完全重合的两个图形是（2）、（4）．故选C．
设计意图：本题考查全等形的判断，要明确全等形的意义，即可以完全重合的图形，做题时要紧扣此点．
例2．如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．
分析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．
解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE．
设计意图：通过此例让学生明确找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．
例3．如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
分析：根据全等三角形对应边、对应角相等，求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3．
设计意图：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．
例4．如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．
分析：根据“全等三角形的对应角相等”，可知∠EAD＝∠CAB，故∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°．然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．
解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD．∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°．∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°．
设计意图：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．
例5.如图，已知≌，且在同一直线上，（1）和相等吗？试说明理由；（2）如果，求和的度数．
解：（1），
∵≌，∴，
∴ BC-B′C = B′C′-B′C ∴ BB′= CC′
（2）
∵≌，∴
∴，∴，
∴．
设计意图：该题主要是应用“全等三角形对应边相等，对应角相等”，在找相等的边和角时，应注意“对应”．
【随堂练习】
1．（1）两个能够完全重合的图形称为 ；全等图形的 和 完全相同．
（2）由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）．
2.（1）下列命题：
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；
③两个正方形一定是全等形；
④边数相同的图形一定能互相重合．
其中错误命题的个数是（ ）B
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（2）如图，△AOB≌△COD，A与C是对应点，那么下列结论中错误的是（ ）C
A．∠B＝∠D B．∠AOB＝∠COD C．AC＝BD D．AO＝AB
（3）如图所示，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，小胡图同学写了四个结论，其中有一个不正确，这个结论是（ ）D
A． ∠1＝∠2 B．AC＝CA C． ∠D＝∠B D．AC＝BC
（4）已知如图：两个三角形全等，则∠的度数是（ ）A
A．50° B．58° C．72° D．60°
（5）如图，AC与BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，图中全等三角形的对数是（ ）C
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
（6）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°， ∠B＝40°，则∠C1 ＝（ ）A
A．30° B．110° C．40° D．50°
3.（1）如图，△ABC≌△DBE，∠A＝42°，∠C＝38°，∠CBE＝22°，
则∠DBC＝____．78°
（2）如图，△ACB≌△A′C′B′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为__________ ．30°
（3）如图，C为直线BE上一点，△ABC≌△ADC，∠DCF＝∠ECF，则AC和CF的位置关系是______ ．AC⊥CF
4．找出下列图形中的全等图形．
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
（7） （8） （9） （10） （11） （12）
解：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形
5.如图所示，△ABC≌△DBE，AB⊥BC，DE的延长线交AC于点F ，那么DF与AC垂直吗？为什么？
解：DF与AC垂直．
∵△ABC≌△DBE，
∴∠A＝∠D．
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴∠AFE＝∠DBE．
∵AB⊥BC，
∴∠DBE＝90°．
∴∠AFE＝90°．
∴DF⊥AC．
6.如图， 已知△ABC≌△ADE．
（1）写出它们的对应边和对应角．
（2）求证：∠EAC＝∠BAD．
（1）它们的对应边是：AB和AD，AC和AE，BC和DE;对应角是：∠BAC和∠DAE，∠ABC和∠ADE，∠C 和∠E．
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE．∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．∴∠EAC＝∠BAD．
设计意图：灵活运用全等的性质解决问题，提升学生识别图形的能力.
【课堂小结】
1．全等图形及其性质；
2．全等三角形（符号表示、对应元素、对应元素的标记方法）及其性质；
3．应用全等三角形性质推理计算．
设计意图：归纳总结全等图形与全等三角形的概念及性质，使学生全面了解掌握，同时也培养学生系统整理知识的能力．
【板书设计】
课件32张PPT。第四章三角形4.2图形的全等学习目标1.理解并掌握全等三角形的性质；
2.能用符号正确地表示两个三角形全等，能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边；
3.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．
在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形，问题情境定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形．下面这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合．你能分别从图中找出这样的图形吗？探究新知观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？全等图形的性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同．探究新知能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
对应顶点：A和D，B和E，C和F；
对应边：AB和DE，BC和EF，AC和DF；
对应角：∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F．
表示方法:△ABC≌△DEF．探究新知全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．探究新知解：对应边： 和 、 和 、 和 ；
对应角： 和 、 和 、 和 ；
发现对应边 ，对应角 . ABDEBCEFACDF∠ A∠ D∠ B∠ E∠ C∠ F相等相等归纳：全等三角形对应边上的高，对应边上的中线相等，对应角平分线也相等．探究新知①全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线相等吗？还有哪些相等的线段？AD=A ′ D ′AE=A ′ E ′探究新知②如图，已知△ABC≌△A′B′C′，在△A′B′C′中画出与线段DE相等的对应线段．
例1．下列四个图形是全等图形的是（ ）
A ．（1）和（3） B ．（2）和（3）
C ．（2）和（4） D ．（3）和（4）C典型例题例2．如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；
△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE．OEDCBA典型例题例3．如图，△ABC ≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC－BF＝7－4＝3．FEDCBA典型例题例4．如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．分析：根据“全等三角形的对应角相等”，可知∠EAD＝∠CAB，故∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°．然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．FEDCBA典型例题解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB＝∠EAD．
∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，
∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD
＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，
∴∠CAB＝55°．
∵∠B＝∠D＝25°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°．FEDCBA典型例题典型例题例5.如图，已知 △ABC ≌ △A ′ B ′ C ′ ，且B、B ′ 、C、C ′ 在同一直线上，（1）BB ′和CC ′ 相等吗？试说明理由；
（2）如果 ∠A=50 °，求∠A′ 和∠B′DC 的度数．
解：（1） ，
∵ △ABC ≌ △A ′ B ′ C ′
∴BC = B ′ C ′ ,
∴ BC - B ′ C = B ′ C ′ - B ′ C , ∴ BB ′= CC ′
典型例题（2）∠A′= ∠B′DC =50 °
∵ △ABC ≌ △A ′ B ′ C ′
∠A′= ∠A=50 °， ∠B= ∠A ′ B ′ C；
∴AB ∥A ′ B ′,
∴ ∠B′DC=∠A=50 °
1．（1）两个能够完全重合的图形称为___________; 全等图形的_________和________完全相同．
（2）由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片_______全等图形（填“是”或“不是”）．全等图形形状大小不是随堂练习是2．（1）下列命题：
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；
③两个正方形一定是全等形；
④边数相同的图形一定能互相重合．
其中错误命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个B随堂练习随堂练习（2）如图，△AOB≌△COD，A与C是对应点，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠AOB＝∠COD
C．AC＝BD D．AO＝AB
C随堂练习（3）如图所示，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，小胡图同学写了四个结论，其中有一个不正确，这个结论是（ ）
A． ∠1＝∠2
B．AC＝CA
C． ∠D＝∠B
D．AC＝BC
D 随堂练习（4）已知如图：的两个三角形全等，则∠ 的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
A 随堂练习（5）如图，AC与BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，图中全等三角形的对数是（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
C 随堂练习（6）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°， ∠B＝40°，则∠C1 ＝（ ）
A．30° B．110° C．40° D．50°
A3．（1）如图，△ABC≌△DBE，∠A＝42°，∠C＝38°，∠CBE＝22°，则∠DBC＝_______．78°随堂练习随堂练习（2）如图，△ACB≌△A′C′B′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为__________ ．30°随堂练习（3）如图，C为直线BE上一点，△ABC≌△ADC，∠DCF＝∠ECF，则AC和CF的位置关系是 ______ ．AC⊥CF4．找出下列图形中的全等图形． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）解：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），
（5）和（9）是全等图形随堂练习解：DF与AC垂直．
理由：∵△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D．
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴∠AFE＝∠DBE．
∵AB⊥BC，
∴∠AFE＝90°．5．如图所示，△ABC≌△DBE，AB⊥BC，DE的延长线交AC于点F ，那么DF与AC垂直吗？为什么？ ∴∠DBE＝90°．∴DF⊥AC．FEDCBA随堂练习随堂练习6.如图， 已知△ABC≌△ADE．
（1）写出它们的对应边和对应角．
（2）求证：∠EAC＝∠BAD．
解：（1）它们的对应边是：AB和AD，AC和AE，BC和DE;
对应角是：∠BAC和∠DAE，∠ABC和∠ADE，∠C 和∠E．
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．
∴∠EAC＝∠BAD．本节课主要学习了以下内容：
1．全等图形及其性质；
2．全等三角形（符号表示、对应元素、对应元素的标记方法）及其性质；
3．应用全等三角形性质推理计算．课堂小结再 见
