第五章生活中的轴对称
5.2探索轴对称的性质
一、教学目标
1.探索轴对称的性质；
2.掌握轴对称的基本性质，并能利用性质解决问题.
二、教学重点及难点
重点：掌握轴对称的性质；运用轴对称的性质解决实际问题．
难点：灵活运用轴对称的性质解决实际问题．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
一、复习导入
提问：什么样的图形是轴对称图形 ？怎么判断两个图形成轴对称？
轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线叫这个图形的对称轴．
轴对称:对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称．
这条直线是对称轴（幻灯片给出答案）．
设计意图：轴对称图形和两个图形成轴对称是学生比较容易混淆的概念，而本节课是探索轴对称的性质，实际上是以上两者都具备的性质．
【探究新知】
现在，我们已经能够准确地判断一个图形是否是轴对称图形，对于成轴对称的图形我们应该如何得到呢？
活动1.将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平．如图
问题1：两个“14”有什么关系？(轴对称)
问题2：在上面扎字的过程中，点 E 与点 E′重合，点 F 与点F′重合．设折痕所在直线为 l，连接点 E 与点 E′的线段与 l 有什么关系？点 F 与点 F′呢？
（点 E 与点 E′，点 F 与点 F′关于直线l对称）
问题3：线段AB 与线段 A′B′有什么关系？CD 与 C′D′呢？
（线段AB 与线段 A′B′，线段CD 与 线段C′D′关于直线l对称）
问题4：∠1与∠2 有什么关系？∠3 与 ∠4 呢？说说你的理由．
（∠1与∠2，∠3 与 ∠4均相等）
活动2.观察课本图5-6的轴对称图形：
（1）找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分．
（2）连接点 A 与点 A′的线段与对称轴有什么关系？连接点 B 与点 B′的线段呢？
（3）线段AD与线段A′D′有什么关系？线段 BC与线段 B′C′呢？为什么？
（4）∠1 与 ∠2 有什么关系？∠3 与 ∠4 呢？说说你的理由？
在图中，沿对称轴对折后，点A与点A′重合，称点A关于对称轴的对应点是点A′．类似地，线段AD关于对称轴的对应线段是线段A′D′，∠3关于对称轴的对应角是∠4．
归纳轴对称图形或成轴对称的图形的性质：
对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
设计意图：这里让学生“自主解决问题，说明理由”，把课堂还给学生，把问题交给学生，由学生自主探索交流得出结论，学生将感受到成功的喜悦，培养了学生解决问题的意识和能力．
【典型例题】
例1.（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被 垂直平分. 对称轴
（2）下图是轴对称图形，相等的线段是 ,相等的角是 . AB=CD，BE=CE ；∠B=∠C
设计意图：明确轴对称图形的性质，并能正确应用.
例2. 把下面的图补充完整．
（1）如图甲是轴对称图形的一部分，其中是对称轴，请把另一部分画出来．
（2）如图乙，是轴对称中的一个图形，其中是对称轴，请把另一个画出来．
作法：（1）①过A，B两点分别作直线的垂线，交于E，F两点；②截取EA′＝EA，FB′＝FB；③连接CA′，B′D，就是所求作图形．
（2）类似于（1）可以作出（2）来．
设计意图：目的让学生明白我们作图的依据就是轴对称（或轴对称图形）的对称轴垂直平分它们对应点连成的线段．
例3．（1） 如图所示，填空：
①线段AB的对应线段是__________
②点C的对应点是__________
③的对应角是_________
④连接BE，则BE被直线
解：分别是（1）AE （2）D （3） （4）垂直平分
（2）如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1， P关于OA对称，点P2， P关于OB对称．连接P1P2，分别交OA，OB于C，D．连接PC，PD．若P1P2＝10cm，则△PCD的周长为 ．10cm
设计意图：依据轴对称或轴对称图形的性质解决问题.
例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在DA的延长线上，你能利用轴对称的性质证明吗？
分析：轴对称性质可以证明线段相等
解：∵AB＝AC，
∠BAD＝∠DAC，
AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD．
∴AD垂直平分BC
点P在DA的延长线上
∴PA、PB关于PD对称
∴PC＝PB．
本题的其他解法略.
设计意图：利用轴对称的性质证明线段相等，规范解题格式，明确解题思路.
【随堂练习】
1．（1）如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( )
A．130° B．150° C．40° D．65°
（2）如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝( )B
A．20° B．30° C．40° D．50°
（3）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )B
A．4cm2
B．8cm2
C．12cm2
D．16cm2
设计意图：正方形是轴对称图形，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
（4）下列说法错误的是( )C
A．等边三角形是轴对称图形
B．轴对称图形的对应边相等，对应角相等
C．成轴对称的两条线段必在对称轴一侧
D．成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分
（5）将一张正方形的纸进行折叠，然后如图所示，在完成折叠的最后一个步骤之后，用剪刀剪下所折成图形的一角，如果将纸展开，所得到的正方形会与哪一个选项相类似呢？（ ）C
A．
B．
C．
D．
2．画出△ABC关于直线l的对称图形．
解：如图所示．
3． 作出下列图形的对称轴．
解：如图，
直线m就是所求的对称轴.
4.如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称
①请写出其中相等的线段；
②如果△ABC的面积为6cm，且DE=3cm，求△ABC中AB边上的高h．
解：① AB=DE、AC=DF、BC=EF；
②∵DE＝3cm，
∴AB＝DE＝3cm．
∵，
∴h＝4．
5.如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线．
解：以河为对称轴作M的对称点，过作草地的垂线，垂线和河的交点H就是所求的点．
设计意图：通过由浅入深的习题设置，让学生在收获成功体验的同时突破难点，同时让学生体会到学习数学的意义——数学来源于生活，应用于生活．此处留给学生充分的时间与空间去思考、动手、讨论，培养学生对某个问题作出正确判断、合理决策的能力，使学生在合作学习的过程中不仅学会如何应用所学知识，更增加了学生们的合作意识．
【课堂小结】
1．轴对称图形的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
2．画轴对称图形的步骤：
(1)确定对称轴；
(2)根据对称轴确定关键点的对称位置；
(3)将找到的对称点顺次连接起来．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，掌握轴对称图形的性质与画对称图形的方法．
【板书设计】
课件31张PPT。第五章 生活中的轴对称5.2探索轴对称的性质学习目标1.探索轴对称的性质；
2.掌握轴对称的基本性质，并能利用性质解决问题.
提问：什么样的图形是轴对称图形 ？怎么判断两个图形成轴对称？
轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线叫这个图形的对称轴．
轴对称：对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称．
这条直线是对称轴．复习巩固现在，我们已经能够准确地判断一个图形是否是轴对称图形，对于成轴对称的图形我们应该如何得到呢？
活动1.将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平．如图探究新知问题1：两个“14”有什么关系？
（轴对称）
问题2：在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重合．设折痕所在直线为l，连接点E与点 E′的线段与l有什么关系？点F与点F′呢？
（点E与点E′，点F与点F′关于直线l对称）探究新知问题3：线段AB与线段A′B′有什么关系？CD与 C′D′呢？
（线段AB与线段A′B′，线段CD与线段C′D′关于直线l对称）
问题4：∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由．
（∠1与∠2，∠3与∠4均相等）探究新知活动2.右图是一个轴对称图形：（1）你能找出它的对称轴吗?（2）连接点A与点A1的线段与对称轴有
什么关系？连接点B与点B1的线段呢？AA1探究新知（3）线段AD与线段A1D1有什么关系？线段BC与B1C1呢？为什么？（4）∠1与∠2有什么关系? ∠ 3与∠4呢？说说你的理由？沿对称轴对折后，点A与点A′重合，
称点A关于对称轴的对应点是点A′．
类似地，线段AD关于对称轴的对应线段
是线段 A′D′，∠3关于对称轴的对应角是∠4．
归纳轴对称图形或成轴对称的图形的性质：
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分，
2.对应线段相等，对应角相等． 探究新知典型例题例1.（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段
被 垂直平分. 对称轴（2）下图是轴对称图形，相等的线段是 ________ ,相等的角
是 . AB=CD，BE=CE∠B=∠C例2. 把下面的图补充完整．（1）如图甲是轴对称图形的一部分，其中l是对称轴，请把另一部分画出来．
（2）如图乙，是轴对称中的一个图形，其中l是对称轴，请把另一个画出来．甲乙ll典型例题（1）①过A，B两点分别作直线l的垂线，交l于E，F两点；
②截取EA′＝EA，FB′＝FB；
③连接CA′，B′D，就是所求作图形．ABA ′B ′CEDFl典型例题（2）类似于（1）可以作出（2）来．典型例题例3．（1） 如图所示，填空：①线段AB的对应线段是__________
②点C的对应点是__________
③∠ABC的对应角是_________
④连接BE，则BE被直线m_________ABCDEAE D ∠AED垂直平分典型例题典型例题（2）如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1， P关于OA对称，点P2， P关于OB对称．连接P1P2，分别交OA，OB于C，D．连接PC，PD．若P1P2＝10cm，则△PCD的周长为 ．
10cm 例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在DA的延长线上，你能利用轴对称的性质证明PC=PB吗？解：∵AB＝AC，∠BAD＝∠DAC，AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD．
∴AD垂直平分BC
点P在DA的延长线上
∴PC、PB关于PD对称
∴PC＝PB．ABCDP典型例题1．（1）如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是（ ）A．130° B．150° C．40° D．65°A ABCD150°40°随堂练习（2）如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝（ ）A．20° B．30° C．40° D．50°ABCDEFB 随堂练习（3）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的
面积为（ ）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2ABCDB 随堂练习随堂练习（4）下列说法错误的是( )
A．等边三角形是轴对称图形
B．轴对称图形的对应边相等，对应角相等
C．成轴对称的两条线段必在对称轴一侧
D．成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分
C 随堂练习（5）将一张正方形的纸进行折叠，然后如图所示，在完成折叠的最后一个步骤之后，用剪刀剪下所折成图形的一角，如果将纸展开，所得到的正方形会与哪一个选项相类似呢？（ ）C 随堂练习2．画出△ABC关于直线l的对称图形．
随堂练习解：如图所示．
随堂练习3． 作出下列图形的对称轴．
随堂练习解：如图:
直线m 就是所求的对称轴．
随堂练习4.如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称.
①请写出其中相等的线段；
②如果△ABC的面积为6cm，且
DE=3cm，
求△ABC中AB边上的高h．
随堂练习解：① AB=DE、AC=DF、BC=EF；
②∵DE＝3cm，
∴AB＝DE＝3cm．
∵ ，
∴h＝4 ．
5.如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线．
随堂练习随堂练习解：以河为对称轴作M的对称点 ，过 作草地的垂线，垂线和河的交点H就是所求的点．
1．轴对称图形的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
2．画轴对称图形的步骤：
（1）确定对称轴；
（2）根据对称轴确定关键点的对称位置；
（3）将找到的对称点顺次连接起来． 课堂小结再见
