(共28张PPT)
5.2. 平行线及其判定
平行线
及其判定
平行线
平行线的判定
1、平行线的定义：
在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
1、在同 一平面内
平行线有什么特征？
2、不相交
平行线的定义包含三层意思：
（1）“在同一平面内”是前提条件，
（2）“不相交”就是说两条直线没有
交点，
（3）平行线指的是“两条直线”而不
是两条射线或两条线段．
注意：
平行线归纳：
定义
在同一平面内，不相交的两条直线.
符号
图形
读法
A
B
C
D
直线AB平行于直线CD.
直线a平行于直线b.
a∥b
AB∥CD
a
b
2、同一平面内两直线的位置关系：
平行
相交
垂直
相交但不垂直
a
b
a⊥b
a ∥b
a
b
b
a
结论：在同一平面内，两直线的位置
关系有平行与相交两种。
过直线ＡＢ外一点Ｐ作直线ＡＢ的平行线CD，如何作图？
·
A
B
P
一放、二靠、三推、四画。
C
D
3、平行线的画法：
4、平行线的判定：
判定
方法
如果同位角相等，那么这两条直线平行。
1、同位角相等， 两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，
如果内错角相等,那么这两条直线平行.
如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
方法4：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行。（平行公理推论）
方法5：平行线的定义
方法6：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。
一般用于填空、选择。不要用在过程中
c
a
b
1
2
方法1:两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等，那么这两条直线平行。
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
符号语言：
平行线的判定
注意几何语言
简述：同位角相等，两直线平行。
a
b
l
1
2
简述：内错角相等，两直线平行
符号书写：
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）
方法2: 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简述：同旁内角互补，两直线平行。
a
b
l
1
2
∵ ∠1+∠2=180°（已知）
∴ a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
符号语言：
方法3: 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
例题1.
① ∵ ∠1 =_____ （已知）
∴ AB∥CE
② ∵ ∠2 = （已知）
∴ CD∥BF
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
∴ _____∥_____
AB
CE
∠2
∠4
如图：
1
3
5
4
2
C
F
E
A
D
B
（内错角相等,两直线平行）
（同位角相等,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，你能得到 ？
解∵∠1+∠2=90° ∠1=∠2
∴∠1=∠2=45°
∵ ∠3=45°
∴∠ 2=∠3
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
1
2
3
A
B
C
D
AB//CD
例题2
1. 如图K5-2-6,能判定EC∥AB的条件是 （ ）
A. ∠B=∠ACE B. ∠A=∠ECD
C. ∠B=∠ACB D. ∠A=∠ACE
D
2. 如图K5-2-7,下列能判定AB∥EF的条件有 （ ）
①∠A=∠FEC;②∠1=∠2;③∠3=∠4;
④∠B=∠5.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
练习：
3. 如图K5-2-8,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的∠A=120°,第二次拐的∠B=150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C= （ ）
A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°
D
4. 如图K5-2-14，不能判定AB∥DF的是 （ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠A=∠4
C. ∠1=∠A D. ∠A+∠3=180°
C
5. 如图K5-2-15，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是 （ ）
A. ∠1＝∠2 B. ∠3＝∠4
C. ∠BAD＋∠ABC＝180° D. ∠ABD＝∠BDC
D
6. 如图K5-2-16，直线l1，l2被直线l3，l4所截，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是 （ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠5=∠4
C. ∠5+∠3=180° D. ∠4+∠2=180°
B
4. 如图K5-2-17，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________.
(填“合格”或“不合格”)
合格
5. 如图K5-2-18，∠1=118°，∠2=62°，则a与b的位置关系是__________.
平行
能力提升
7. 如图K5-2-12,∠1=∠2,∠3=75°,∠4=75°,AB与EF平行吗?说明理由.
解:AB∥EF.理由如下.
因为∠1=∠2,
所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
因为∠3=75°,∠4=75°,
所以∠3=∠4.
所以CD∥EF(同位角相等,两直线平行).
所以AB∥EF.
8. 如图K5-2-13,已知∠1=∠2,∠3=∠4,试探究AB与EF的位置关系.
解:因为∠1=∠2(已知).
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
因为∠3=∠4(已知),
所以CD∥EF(内错角相等,两直线平行).
所以AB∥EF(平行公理的推论).
8. 如图K5-2-21，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，CE是△ABC的角平分线.
（1）求∠DCE的度数；
（1）解：∵∠B=30°，CD⊥AB于点D，
∴∠DCB=90°-∠B=60°.
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACE=45°.
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC.
（2）证明：∵∠CEF=135°，∠ECB=45°，
∴∠CEF+∠ECB=180°.
∴EF∥BC.
体验成功——达标检测
2、直线a、b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1= ∠2②∠3= ∠6③∠4+∠7=1800
④∠3+ ∠5=1800，其中能判断a//b的是
( )
A ①②③④ B ①③④ C ①③ D ④
6
4
1
5
7
3
2
8
a
b
B
∠ C＝61
当∠ABE＝ 度时，EF∥CN
当∠CBF＝ 度时，EF∥CN
。
3、如图
A
B
C
N
E
F
1、如果∠A +∠B =180°，那么根据同旁内
角互补，两直线平行，可得_____∥_____；
如果 +∠B =180°，那么根据同旁内角
互补，两直线平行，可得AB∥EC。
A
B
C
E
AE BC
61
61
∠C
4如图，BC、DE分别平分?ABD和?BDF，且?1=?2，请找出平行线，并说明理由。
A
B
D
F
C
E
2
1
3
4
∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行.）
解：
∵ ∠MCA= ∠ A（已知）
又 ∵∠ DEC= ∠ B（已知）
∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行.）
∴ DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.）
5：如图，已知∠MCA= ∠ A， ∠ DEC= ∠ B，
那么DE∥MN吗？为什么？
A
E
B
C
D
N
M
C
A
1
2
D
B
F
E
6、已知直线AB，CD被EF所截,如图，
∠1＝45°,∠2＝135°,试判断AB与CD是否平行.并说明理由.
3
4
C
A
1
2
D
B
F
E
7、如图，BF交AC于B，FD交CE于D，且∠1=∠2，∠1=∠C.
求证：AC∥FD.
F
E
B
C
D
A
2
1
证明：
∵∠1 = ∠2，
∠1 = ∠C （已知）
∴∠2 = ∠C （等量代换）
∴ AC∥FD
(同位角相等, 两直线平行)
8、如图，∠DAB被AC平分，且∠1=∠3.
求证：AB∥CD.
2
3
1
C
A
B
D
证明： ∵ AC平分∠DAB (已知)
∴ ∠1=∠2 (角平分线定义)
∵ ∠1=∠3 (已知)
∴ ∠2=∠3 (等量代换)
∴ AB∥CD
(内错角相等，两直线平行)
9.如图，MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
解：过点F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，
则∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ＝90°－50°＝40°，所以AB∥FQ.
又因为∠1＝140°，
所以∠1＋∠NFQ＝180°，
所以CD∥FQ，所以AB∥CD.
Q
再见
5.2 平行线及其判定
一．选择题（共12小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条不相交的直线叫做平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条
C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c D．若两条线段不相交，则它们互相平行
2．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（ ）
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
3题 4题 5题 6题
4．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠5 C．∠1+∠4=180° D．∠3=∠5
5．如图：能判断AB∥CD的条件是（ ）
A．∠A=∠ACD B．∠A=∠DCE C．∠B=∠ACB D．∠B=∠ACD
6．如图，点C是直线AB，DE之间的一点，∠ACD=90°，下列条件能使得AB∥DE的是（ ）
A．∠α+∠β=180° B．∠β﹣∠α=90° C．∠β=3∠α D．∠α+∠β=90°
7．如图，下列四个条件中，能判断DE∥AC的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠EDC=∠EFC D．∠ACD=∠AFE
8．如图，点E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，下列条件中不能判定AD∥BE的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠D=∠5 D．∠B+∠BAD=180°
9．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（ ）
A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
10．如图，下列条件：①∠1=∠3；②∠2+∠4=180°；③∠4=∠5； ④∠2=∠3；⑤∠6=∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
7题 8题 10题
11．已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（ ）
A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c
C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c
12．在同一平面内，下列说法正确的是（ ）
A．两点之间的距离就是两点间的线段 B．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二．填空题（共8小题）
13．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
14．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 个．
15．在同一平面内，两条不相重合的直线位置关系有两种： 和 ．
16．如图，∠1=∠2，需增加条件 可以使得AB∥CD（只写一种）．
16题 17题 18题
17．如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5，④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线l1∥l2的有 （只填序号）．
18．如图，请你添加一个条件，使AB∥CD，这个条件是 ，你的依据是 ．
19．已知直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是 ．
20．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是 ．
三．解答题（共3小题）
21．填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF= ．
∵∠1=∠ACB（已知）
∴DE∥BC（ ）
∴∠2= ．（ ）
∵∠2=∠3（已知）
∴∠3= ．（ ）
∴CD∥FH（ ）
∴∠BDC=∠BHF= ．°（ ）
∴CD⊥AB．
22．（1）如图①，若∠B+∠D=∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．
23．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB=∠EDO，试说明：CF∥DO．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；
B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故错误；
C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；
D、根据平行线的定义知是错误的．
故选：C．
2．解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选：A．
3．解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；
由∠1=∠3，不能得到a∥b；
故选：D．
4．解：∠3=∠5是同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．
故选：D．
5．解：当∠A=∠ACD时，AB∥CD；
当∠A=∠DCE时，不能得到AB∥CD；
当∠B=∠ACB时，不能得到AB∥CD；
当∠B=∠ACD时，不能得到AB∥CD；
故选：A．
6．解：延长AC交DE于F，
当∠β﹣∠α=90°时，
∵∠ACD=90°，
∴∠β﹣∠α=∠ACD，
∴∠β﹣∠ACD=∠α，
∴∠AFD=∠α，
∴AB∥DE，
故选：B．
7．解：A、∵∠3=∠4，∴DE∥AC，正确；
B、∵∠1=∠2，∴EF∥BC，错误；
C、∵∠EDC=∠EFC，不能得出平行线的平行，错误；
D、∵∠ACD=∠AFE，∴EF∥BC，错误；
故选：A．
8．解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，选项A符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，选项B不合题意；
∵∠D=∠5，
∴AD∥BC，选项C不合题意；
∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，选项D不合题意，
故选：A．
9．解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c，
∵c⊥d，
∴a⊥d．故选C．
10．解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
④∵∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．
故选：B．
11．解：A、如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，说法正确；
B、如果b∥a，c∥a，那么b∥c，说法正确；
C、如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，说法错误；
D、如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，说法正确；
故选：C．
12．
解：A、两点之间的距离是指两点间的线段长度，而不是线段本身，错误；
B、在同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行，错误；
C、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调“直线外”，错误；
D、这是垂线的性质，正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
13．
解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为a∥c．
14．
解：（1）当四条直线平行时，无交点；
（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；
（3）当两两直线平行时，有4个交点；
（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；
（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；
（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．
故答案为：0，1，3，4，5，6．
15．解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故答案为：相交，平行．
16．解：当∠FAD=∠EDA时，
∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CDA，
∴AB∥CD；
当AF∥DE时，∠FAD=∠EDA，
同理可得AB∥CD．
故答案为：∠FAD=∠EDA（或AF∥DE）
17．解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．
故答案为：①②③⑤．
18．解：若要证AB∥CD，只需找出∠CDA=∠DAB，
所用的理论依据为：内错角相等，两直线平行．
故答案为：∠CDA=∠DAB；内错角相等，两直线平行．
19．解：若直线直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是平行，
故答案为：平行．
20．解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；
③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确；
④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误．
综上所述，正确的有③⑤．
故答案为③⑤．
三．解答题（共3小题）
21．证明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF=90°．
∵∠1=∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．
∵∠2=∠3（已知），
∴∠3=∠BCD（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDC=∠BHF=90°，（两直线平行，同位角角相等）
∴CD⊥AB．
故答案为：90°；同位角相等，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠BCD；等量代换；同位角相等，两直线平行；90；两直线平行，同位角角相等．
22．解：（1）AB∥CD，
理由：如图（1），延长BE交CD于F．
∵∠BED=∠B+∠D，
∠BED=∠EFD+∠D，
∴∠B=∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1=∠2+∠3．
理由如下：如图（2），延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3=∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2+∠EFA，
∴∠1=∠2+∠3．
23．解：∵DE⊥AO于E，BO⊥AO，
∴DE∥OB， ∴∠EDO=∠DOF， ∵∠CFB=∠EDO，
∴∠CFB=∠DOF， ∴CF∥DO．
