第十一章 第2节 简谐运动的描述
练能力、课后提升
一、选择题
1．周期为2 s的简谐运动，振子在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A．15,2 cm B．30,1 cm
C．15,1 cm D．60,2 cm
解析：选B 半分钟内全振动的次数n＝＝＝15，每次全振动经过平衡位置2次，故半分钟内通过平衡位置30次，振子完成一次全振动通过的路程为4A，则4A×15＝60 cm，A＝1 cm，只有B正确．
2．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt cm，则下列判断正确的是( )
A．该简谐运动的周期是0.2 s
B．第1 s内质点运动的路程是100 cm
C．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小
D．t＝0.6 s时刻质点的速度为0
解析：选C 由简谐运动的位移随时间变化的关系式x＝5sin 5πt cm，知圆频率ω＝5π rad/s，周期T＝＝＝0.4 s，故A错误；＝＝2.5,1个周期内质点运动的路程4A＝20 cm，所以第1 s内质点运动的路程是s＝2.5×20 cm＝50 cm，故B错误；0.4 s到0.5 s内质点由平衡位置向最大位移处运动，速度减小，故C正确；t＝0.6 s时刻质点位移x＝5sin(5π×0.6)cm＝0，质点处于平衡位置，速度最大，故D错误．
3．两个完全一样的弹簧振子A、B，把A振子移到A的平衡位置右边10 cm，把B振子移到B的平衡位置右边5 cm，然后同时放手，那么( )
A．A、B运动的方向总是相同的
B．A、B运动的方向总是相反的
C．A、B运动的方向有时相同、有时相反
D．无法判断A、B运动方向的关系
解析：选A 由于弹簧振子的周期与振幅无关，只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关，由题意可知两个完全一样的弹簧振子的周期相同，则运动方向始终一致，故选A.
4．(多选)物体A做简谐运动的位移xA＝3sinm，物体B做简谐运动的位移xB＝5sinm，则下列说法正确的是( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，均为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
解析：选CD 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，A错误；周期TA＝TB＝ s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φA－φB＝，D正确．
5．两个简谐运动图线如图所示，则有( )
A．A超前B B．A落后B
C．A超前B π D．A落后B π
解析：选B A、B简谐运动的表达式分别为xA＝Asint，xB＝Acost＝Asin，所以Δφ＝－0＝，则B的相位比A的相位超前，也就是说A的相位比B的相位落后，故选B.
6．一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点(如图)，且由A到B的过程中速度方向不变，历时0.5 s．过B点后再经过0.5 s质点以方向相反、大小相等的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
解析：选C 由振动的对称性可知，AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方最大位移位置(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s，则T＝2.0 s，C正确．
7．(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列叙述正确的是( )
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s时，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
解析：选BD 由振动图象可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故A错误；一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，故B正确；由题中图象知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sint m，当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝π，故C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，由位移与时间关系式得x＝0.02sinm＝ cm，故D正确．
8．(多选)(2018·唐山一中期中)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移x＝－0.1 m，t＝ s 时x＝0.1 m，t＝4 s时x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为( )
A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s
解析：选ACD 若振子的振幅为0.1 m， s＝T(n＝0,1,2，…)，4 s－ s＝n1T(n1＝1，2，…)，则周期T的最大值为 s，故A符合题意，B不符合题意；若振子的振幅为0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m处运动到负向最大位移处再反向运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为 s，则T＝ s(n＝0,1,2，…)，所以周期的最大值为 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故C符合题意；当振子由x＝－0.1 m经平衡位置运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为 s，则T＝ s(n＝0,1,2，…)，所以此时周期的最大值为8 s，且t＝4 s时，x＝0.1 m，故D符合题意．
9．(2019·重庆十一中期中)一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝处所用的最短时间为t2，那么下列关于t1与t2的大小关系正确的是( )
A．t1＝t2 B．t1C．t1>t2 D．t1＝2t2
解析：选B 根据振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大，可知振子从平衡位置第一次以最短时间运动到x＝处的平均速度大于从最大正位移处第一次运动到x＝处的平均速度，而路程相等，则t110．(2018·新乡市一中期末)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸．当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图象，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标．则( )
A．该弹簧振子的振动周期为2x0
B．该弹簧振子的振幅为y1
C．该弹簧振子的平衡位置在弹簧原长处
D．该弹簧振子的圆频率为
解析：选D 记录纸匀速运动，振子振动的周期等于记录纸运动2x0所用的时间，则周期T＝，故A错误；根据图象可知，振幅为A＝，故B错误；在平衡位置处弹簧振子受到的合外力等于0，此时振子受到的弹簧的拉力大小等于其重力，方向向上，所以弹簧处于拉长状态，故C错误；振子振动的圆频率为ω＝＝＝，故D正确．
二、非选择题
11．如图所示为A、B两质点做简谐运动的位移—时间图象．试根据图象求：
(1)质点A、B的振幅和周期；
(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移．
解析：(1)由题图知质点A的振幅是0.5 cm，周期为0.4 s，质点B的振幅是0.2 cm，周期为0.8 s.
(2)由题中图象知，质点A的初相φA＝π，由TA＝0.4 s得ωA＝＝5π rad/s
则质点A的位移表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π)cm
质点B的初相φB＝
由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π rad/s
则质点B的位移表达式为xB＝0.2sincm.
(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式得
xA＝0.5sin(5π×0.05＋π)cm＝－0.5× cm＝－ cm
xB＝0.2sincm＝0.2sin π cm.
答案：见解析
12．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程并画出相应的振动图象．
解析：简谐运动振动方程的一般表达式为
x＝Asin(ωt＋φ0)
根据题给条件有A＝0.08 m，ω＝2πf＝π rad/s，所以x＝0.08sin(πt＋φ0) m，将t＝0时x0＝0.04 m代入得0.04＝0.08sin φ0，解得初相φ0＝或φ0＝π
因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所
以取φ0＝π
所求的振动方程为x＝0.08sinm
对应的振动图象如图所示．
答案：x＝0.08sinm 图象见解析
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