人教版高一物理必修2第七章重力势能、弹性势能、动能定理知识点复习

第四节　重力势能
1.重力做的功
(1)表达式
WG＝mgh＝mg(h1－h2)，其中h表示物体起点和终点的高度差，h1、h2分别表示物体起点和终点的高度。
(2)正负
物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功，也可以说成物体克服重力做功。
(3)特点
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
2．重力势能
(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量。
(2)大小：等于物体所受重力与所处高度的乘积，表达式为Ep＝mgh，其中h表示物体所在位置的高度。
(3)单位：焦耳，与功的单位相同。重力势能是标量，正负表示大小。
(4)重力做功与重力势能变化的关系
①表达式：WG＝Ep1－Ep2。
②重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。

3．重力势能的相对性和系统性
(1)相对性
①参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做参考平面，在参考平面，物体的重力势能取作0。
②重力势能的相对性
选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。
对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负值的重力势能，表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。
(2)系统性
重力势能是地球与物体所组成的系统共有的。
判一判
(1)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　　)
(2)同一物体的重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1>Ep2。(　　)
(3)在同一高度的质量不同的两个物体，它们的重力势能一定不同。(　　)
提示：(1)×　重力势能是标量，没有方向。
(2)√　重力势能为正值，表示物体处于参考平面的上方，为负值表示物体处于参考平面的下方，而同一物体在越高的地方重力势能越大。
(3)×　若选定两物体所处的水平面为参考平面，则两物体的重力势能均为0。
说明：
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)物体在同一水平面上运动时，重力总是不做功。
(3)重力做功与路径无关还可以理解为：重力是恒力，而恒力做功W＝Flcosα就是力F与在力F方向上的位移的乘积，而重力方向上的位移与路径无关，只与高度差h有关。往高处运动，重力方向上的位移与重力方向相反，重力做负功，往低处运动，重力做正功，其值都为mgh(h为始末位置的高度差)。
(4)重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功特点为：与具体路径无关，只与起点和终点两个位置有关，恒力做的功等于力与沿着力方向的位移的乘积。
(5)物体的竖直位移等于零，说明重力做功的代数和等于零，但过程中重力并不一定不做功。
(6)重力势能：物体的重力势能用Ep表示，Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。
(7)重力做功与重力势能变化的关系
①WG＝mgh1－mgh2。重力做多少正功，重力势能减少多少，重力做多少负功，重力势能增加多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
②重力做的功是过程量，重力势能是状态量，WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp将过程量与状态量联系起来。






重力势能与参考平面的选取有关，而重力做功和重力势能的变化量与参考平面的选取无关。



重力势能与参考平面的选取有关，而重力做功和重力势能的变化量与参考平面的选取无关。





第五节　探究弹性势能的表达式

1.弹性势能的认识
(1)弹性势能的概念
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。
(2)弹簧的弹性势能
当弹簧的长度为原长时，它的弹性势能为0，弹簧被拉长或被压缩后，就具有了弹性势能。
2．探究弹性势能的表达式
(1)决定弹性势能大小相关因素的猜想
①猜想依据：弹性势能和重力势能同属势能，重力势能大小与物体的质量和高度有关，弹簧弹力与其形变量和劲度系数有关。
②猜想结论：弹性势能与弹簧的形变量l和劲度系数k有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大；在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量l越大，弹簧弹性势能越大。
(2)探究思想
①弹力做功与弹性势能变化的关系同重力做功与重力势能变化的关系相似。

②用拉力缓慢拉动弹簧，拉力做的功等于克服弹力做的功。
(3)数据处理
图象法：作出F ?l图象，则弹力做功等于图象与l轴围成的面积。
(4)结论
F ?l图象如图所示，拉力F等于弹力kl，故当弹簧形变量为l0时，F0＝kl0(k为弹簧的劲度系数)，图中图线与l轴围成的面积表示拉力做功，W0＝kl。

由此可得出，弹性势能的表达式为Ep＝kl2。
判一判
(1)不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同。(　　)
(2)同一弹簧发生不同的形变量时弹力做功不同。(　　)
(3)弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加。(　　)
提示：(1)×　(2)√(3)×　
说明：
(1)弹性势能与弹力做功的定性关系
①弹力做负功时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
②弹力做正功时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(2)弹性势能与弹力做功的定量关系：弹力做功与弹性势能的关系式为W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。
(3)弹性势能与弹力做功的关系图

　

(1)弹性势能的表达式为：Ep＝kl2
①弹簧处于原长时没有形变，弹性势能最小，通常认为为零。
②对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能是一样的。对于某一弹性势能可能对应着弹簧伸长和压缩两个不同的状态。
(2)变力做功的计算方法：图象“面积”法。


第七节　动能和动能定理
1.动能
(1)定义：物体由于运动而具有的能量。
(2)表达式：Ek＝mv2。
(3)单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，1 J＝1_kg·m2·s－2。
(4)物理特点
①具有瞬时性，是状态量。
②具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。
③是标量，没有方向，Ek≥0。
2．动能定理
(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
(2)表达式：W＝Ek2－Ek1。
(3)适用范围：既适用于恒力做功也适用于变力做功；既适用于直线运动也适用于曲线运动。
判一判
(1)合力为零，物体的动能一定不会变化。(　　)
(2)合力不为零，物体的动能一定会变化。(　　)
(3)物体动能增加，则它的合外力一定做正功。(　　)
提示：(1)√　合力为零，则合力的功为零，根据动能定理，物体的动能一定不会变化。
(2)×　合力不为零，合力做功可能为零，此时物体的动能不会变化。例如做匀速圆周运动的物体。
(3)√　根据动能定理可知，物体动能增加，它的合力一定做正功。
想一想
1.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？
提示：速度变化，动能不变。卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的；运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。
2．在同一高度以相同的速率将手中的小球以上抛、下抛、平抛三种不同方式抛出，落地时速度、动能是否相同？
提示：重力做功相同，动能改变相同，末动能、末速度大小相同，但末速度方向不同。
说明：
(1)动能
①动能是状态量：与物体某一时刻的运动状态相对应。
②动能是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值；速度方向改变不影响动能大小，例如匀速圆周运动过程中，动能始终不变。
③动能具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度大小可能不同，动能也可能不同。在通常的计算中，没有特别说明，都是以地面为参考系。
(2)动能定理
①内容：公式为W＝mv－mv或W＝Ek2－Ek1或W＝ΔEk。合外力对物体做的总功等于物体动能的变化。
②意义：揭示了力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做了多少功来度量。
(3)对动能定理的进一步理解
A、对状态与过程关系的理解：功是伴随一个物理过程而产生的，是过程量；而动能是状态量，动能定理把过程量和状态量联系在了一起。
B、对适用条件的理解：对于变力做功和曲线运动的情况，动能定理同样适用。
例1　(多选)关于动能，下列说法中正确的是(　　)
A．动能是普遍存在的机械能中的一种基本形式，凡是运动的物体都有动能
B．公式Ek＝mv2中，速度v是物体相对于地面的速度，且动能总是正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
[完美答案]　AC
　(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是(　　)
A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
答案　AD
例2　有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　　)

A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
[完美答案]　C

　下列关于运动物体所受的合力、合力做功和动能变化的关系，正确的是(　　)
A．如果物体所受的合力为零，物体的动能一定不变
B．如果合力对物体做的功为零，则合力一定为零
C．物体在合力作用下做匀变速直线运动，则动能在一段过程中变化量一定不为零
D．物体的动能不发生变化，物体所受合力一定是零
答案　A
例3　质量M＝6.0×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。求：
(1)起飞时飞机的动能是多少？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？






[解答]　(1)飞机起飞时的动能Ek＝Mv2
代入数值得Ek＝1.08×107 J。
(2)设牵引力为F，由受力分析知合外力为F，总功W＝Fl
Ek1＝0，Ek2＝Ek，则ΔEk＝Ek2－Ek1＝Ek
由动能定理得Fl＝Ek，代入数值解得F＝1.5×104 N。
(3)设滑行距离为l′，阻力为f，飞机受到的合力为F－f。
其总功W＝(F－f)l′
由动能定理得(F－f)l′＝Ek－0
整理得l′＝，代入数值，得l′＝9.0×102 m。
[完美答案]　(1)1.08×107 J　(2)1.5×104 N
(3)9.0×102 m

　为了安全，在公路上行驶的汽车间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速vm＝120 km/h，假设前方车辆突然停止，后车以vm匀速行驶，司机发现这一情况后，从发现情况到进行制动操作，汽车通过的位移为17 m，制动时汽车受到的阻力为其车重的0.5倍，该高速公路上汽车间的距离至少应为多大？(g取10 m/s2 )
答案　128 m
解析　知道初速度vm＝120 km/h，知道末速度为零，还知道阻力为其车重的0.5倍。初、末两个状态清楚，物体受力也清楚，不涉及加速度和时间，首选动能定理解题(此题的加速度很好求，用运动学公式也容易求出需要的距离)。
制动时，路面阻力对汽车做负功W＝－0.5mgx
根据动能定理得－0.5mgx＝0－mv
可得汽车制动后滑行的距离为x＝≈111 m
该高速公路上汽车间的距离至少是x总＝x＋x′＝128 m。







例4　如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是(　　)

A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2 J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
[完美答案]　B

　如图所示，物体(可看成质点)沿一曲面从A点无初速度下滑，当滑至曲面的最低点B点时，下滑的竖直高度h＝5 m，此时物体的速度v＝6 m/s。若物体的质量m＝1 kg，g＝10 m/s2，求物体在下滑过程中克服阻力所做的功。

答案　32 J
解析　物体在曲面上的受力情况为：受重力、弹力、摩擦力，其中弹力不做功。设摩擦力做功为Wf，由A→B用动能定理知mgh＋Wf＝mv2－0，解得Wf＝－32 J。故物体在下滑过程中克服阻力所做的功为32 J。
　应用动能定理求解多过程问题
例5　如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑到由小圆弧连接的水平面上，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°。求物体能在水平面上滑行多远。


[解答]　解法一：(分段法)

对物体在斜面上和水平面上时受力分析，如图甲、乙所示。
物体下滑阶段FN1＝mgcos37°，
故Ff1＝μFN1＝μmgcos37°。
由动能定理得
mgsin37°·x1－μmgcos37°·x1＝mv－0①
在水平面上运动过程中，Ff2＝μFN2＝μmg
由动能定理，得－μmgx2＝0－mv ②
由①②两式可得
x2＝x1＝×5 m＝3.5 m。
解法二：(全程法)
物体受力分析同解法一。
物体运动的全过程中，初、末状态的速度均为零，对全过程应用动能定理有
mgsin37°·x1－μmgcos37°·x1－μmgx2＝0－0
得x2＝x1＝×5 m＝3.5 m。
[完美答案]　3.5 m
　物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面后又进入沙坑h深度停止(如图所示)。求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？

答案　
解析　解法一：(分段法)
选物体为研究对象，先研究自由落体运动过程，只有重力做功，设物体质量为m，落到沙坑表面时速度为v，根据动能定理，有mgH＝mv2－0①
再研究物体在沙坑中的运动过程，此过程重力做正功，阻力F做负功，根据动能定理有
mgh－Fh＝0－mv2②
由①②两式解得＝
可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍。
解法二：(全程法)
研究物体运动的全过程，重力所做的功为mg(H＋h)，阻力做的功为－Fh，初末状态物体的动能都是零，根据动能定理，有mg(H＋h)－Fh＝0－0
解得＝
可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍。
(多过程问题中动能定理的应用)如图所示，光滑斜面AB的倾角θ＝53°，BC为水平面，BC长度lBC＝1.1 m，CD为光滑的圆弧，半径R＝0.6 m。一个质量m＝2 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B、C两点光滑连接。当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.2 m，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10 m/s2。求：

(1)物体运动到C点时的速度大小vC；
(2)A点距离水平面的高度H；
(3)物体最终停止的位置到C点的距离s。
答案　(1)4 m/s　(2)1.02 m　(3)0.4 m
解析　(1)物体由C点运动到最高点，根据动能定理得：
－mg(h＋R)＝0－mv，代入数据解得：vC＝4 m/s。
(2)物体由A点运动到C点，根据动能定理得：
mgH－μmglBC＝mv－0，
代入数据解得：H＝1.02 m。
(3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得：
mgH－μmgs1＝0－0，代入数据，解得s1＝5.1 m
由于s1＝4lBC＋0.7 m，所以物体最终停止的位置到C点的距离为：s＝0.4 m。