课件28张PPT。13.3 全等三角形的判定第十三章 全等三角形第1课时 用三边关系判定三角形全等1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 判定两三角形全等的基本事实：“边边边”
全等三角形判定“边边边”的简单应用
三角形的稳定性 在全等图形中，全等三角形是最基本、应用最广
泛的一类图形，那么，判定两个三角形全等的条件是
什么呢？1知识点 判定两三角形全等的基本事实：“边边边”知1－导1. 根据下面表中给出的△ABC和△A′B′C′边和角的相等条件及对应的图形，判断△ABC和△A′B′C′是否全等，并把结果写在表中.知1－导2.有三个角对应相等的两个三角形一定全等吗? 说说你的理由.
3. 小亮认为，判断两个三角形全等的较少条件，只有以下三种情
况才有可能：三条边对应相等，或两条边和一个角分别对应相等，或两个角和一条边分别对应相等.你认为这种说法对吗?知1－导 准备一些长都是13 cm的细铁丝.
(1)和同学一起，每人用一根铁丝，折成一个边长分别是 3 cm，4 cm，6 cm的三角形. 把你做出的三角形和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗?
(2)和同学一起，每人用一根铁丝，余下 1 cm，用其余部分折成边长分别是3 cm，4 cm，5 cm的三角形. 再和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗?
(3)每人用一根铁丝，任取一组能够构成三角形的三边长的数据，和同桌分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗?知1－导基本事实一 如果两个三角形的三边对应相等，那么
这两个三角形全等.
基本事实一简写成“边边边”或“SSS”.知1－讲证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
要点精析：(1)相等的元素：三边；
(2)在判定两个三角形全等的书写过程中，等号左边是全等号左边三角形的三边，等号右边是全等号右边三角形的三边，即前后顺序要保持一致；
(3)书写过程中，边及三角形的顶点前后顺序要对应． 知1－讲如图，已知点A，D，B，F在同一条直线上，AC＝FE，BC＝DE，AD＝FB.
求证：△ABC≌△FDE.
欲证明△ABC≌△FDE，已知AC
＝FE，BC＝DE，需证明AB＝FD，然后根据“SSS”
证得结论．由AD＝FB，利用等式的性质可得AB＝FD，
进而得证．例1 导引：知1－讲∵AD＝FB，
∴AD＋DB＝FB＋DB，即AB＝FD.
在△ABC与△FDE中，∵
∴△ABC≌△FDE(SSS)．证明：知1－讲 运用“SSS”证明两个三角形全等主要就是找边相
等，边相等除了已知边相等以外，还有以下几种方式：
①中点；②公共边；③一部分相等，另一部分是公共
的(如本例)．知1－练1 已知：如图，AB＝CB，AD＝CD．
求证：△ABD≌△CBD.在△ABD和△CBD中，
∵
∴△ABD≌△CBD(SSS)．证明：知1－练2 如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )C知1－练3 如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，F在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，还可以添加的一个条件可以是( )
A．AD＝FB
B．DE＝BD
C．BF＝DB
D．以上都不对A2知识点全等三角形判定“边边边”的简单应用知2－讲如图，已知：AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.
求证：∠BAC＝∠DAE.
要证明∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在的
三角形显然不全等，我们可以利用等式的
性质将其转化为证明∠BAD＝∠CAE；由已
知的三组相等线段可证明△ABD≌△ACE，
根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE.例2 导引：知2－讲在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAE.
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.证明：知2－讲 利用某些已经证明过的结论和性质及已知条件，推
导出所要证明的结论成立的方法叫综合法．其思维特点
是：由因导果，即从已知条件出发，利用已知的数学定
理、性质和公式，推出结论．本书的证明基本上都是用
综合法．
本题运用了综合法，根据条件用“SSS”可得到全等
的三角形，从全等三角形出发可找到与结论有关的相等
的角．知2－练1 如图是一个风筝模型的框架，由DE＝DF，EH＝FH，就能说明∠DEH＝∠DFH.试用你所学的知识说明理由．解：知2－练2 如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D等于( )
A．30°
B．50°
C．60°
D．100°D知2－练3 如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论：①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E.其中错误的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．只有④D3知识点三角形的稳定性知3－导 用三根木条钉成一个三角形框架(如图)，不论怎样拉动，
三角形的形状和大小都不改变，即只要三角形的三边确定，
它的形状和大小就完全确定了. 三角形所具有的这一性质叫
做三角形的稳定性.
用四根木条钉成的四边形框架(如图)，在拉动时，它的
形状会改变，所以四边形具有不稳定性.知3－讲如图，自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有( )
A.对称性
B.稳定性
C.全等性
D.以上都不是
根据三角形具有稳定性进行解答即可.例3 B分析：知3－讲 考查三角形的稳定性的题目，只要看题目是否由
三角形即可.知3－练1 如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质? 答：____________稳定性2 王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图所示．要使这个木架不变形，他至少还要再钉木条( )
A．0根
B．1根
C．2根
D．3根知3－练B1.证明三角形全等时，除了充分应用题目提供的条件外，
还应仔细观察图形，充分挖掘题目图形中的隐含条件，
如公共边.
2. 利用“边边边”判断三角形全等时，当所给相等的边不
是要判定的三角形的边时，往往利用等式的性质，在相
等线段两边加上或减去同一（相等）线段，转化为两个
三角形的边.完成教材P40练习T2, T4-T5 ，习题A组T1-T3，B组T1-T2
谢谢！课件23张PPT。13.3 全等三角形的判定第十三章 全等三角形第2课时 用两边及夹角关系判定三角形全等1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升判定两三角形全等的基本事实：边角边
判定全等三角形的基本事实：“边角边”的简单应用 小明不小心将一块大脸猫的玻璃摔成了三块(如图
所示)，为了配一块和原来完全一样的玻璃，他带哪一
块玻璃就可以了? 你能替他解决这个难题吗? 带着问
题我们还是一块儿来学习一下这节的内容吧!1知识点判定两三角形全等的基本事实：边角边知1－导问题 1
画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5 cm，2.5 cm，
并且使长为1. 5 cm的这条边所对的角是30°．
小明的画图过程如图所示：知1－导 小明根据所给的条件，画出了两个形状不同的三角形，这
说明两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两
个三角形不一定全等．
两边和它们的夹角对应相等，这两个三角形又将是怎样的呢?知1－导问题 2
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝
∠B′，BC＝B′C′.(1)将△ABC叠放在△A′B′C′上，使顶点B与顶点B′重合，边BC
落在边B′C′上，点A与点A′在边B′C′的同侧．点C与点C′是
否重合，边BC 与边B′C′是否重合? 边BA是否落在边B′A′上，
点A与点A′是否重合?
(2)由“两点确定一条直线”，能不能得到边AC与边A′C′重合，
△ABC和△A′B′C′全等？知1－导基本事实二 如果两个三角形的两边和它们的夹角
对应相等，那么这两个三角形全等.
基本事实二简写成“边角边”或“SAS”.知1－讲证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
要点精析：
(1)相等的元素：两边及这两边的夹角；
(2)在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边、角、边的
顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角
对应相等．知1－讲已知：如图，AD∥BC，AD＝CB.
求证：△ADC≌△CBA.
∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等).
在△ADC和△CBA中，
∵
∴△ADC≌△CBA(SAS).例1 证明：知1－讲 在三角形全等的条件中，要注意“SAS”和“SSA”
的区别，“SAS”指的是两边及其夹角对应相等；而
“SSA”指的是有两边和一边的对角对应相等，它是不
能证明两个三角形全等的．知1－练1 已知：如图，AC＝DB，∠ACB＝∠DBC．
求证：△ABD≌△DCB.在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB(SAS)．证明：知1－练2 如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是( )B知1－练3 【中考·莆田】如图，AE∥DF，AE＝DF，要使 △EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的( )
A．AB＝CD
B．EC＝BF
C．∠A＝∠D
D．AB＝BCA2知识点判定全等三角形的基本事实：“边角边”的简单应用知2－导 图(1)是一种测量工具的示意图．其中，AB＝CD，
AB，CD的中点O被固定在一起，AB，CD可以绕点O张合.
在图(2)中，要想知道玻璃瓶的内径是多少，只要量
出AC的长就可以了.你知道这是为什么吗? 把你的想法和
同学进行交流.【创新应用题】如图，在湖的两岸点A，B之间建一座观赏
桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点之间的距离．
请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案．
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量步骤；
(3)计算点A，B之间的距离(写出求解或
推理过程，结果用字母表示)．
本题让我们了解了测量两点之间距离的一种方法，设计时，
只要需要测量的线段在直线AB一侧便可实施，就可以达到
目的．知2－讲例2 导引：知2－讲(1)如图所示．
(2)在湖岸上找到可以直接到达点A，
B的一点O，连接BO并延长到点C，
使OC＝OB；连接AO并延长到点D，
使OD＝OA，连接CD，则测量出
CD的长即为AB的长．
(3)设CD＝m.
∵OD＝OA，∠COD＝∠BOA， OC＝OB
∴△COD ≌△BOA(SAS)．
∴CD＝AB，即AB＝m. ， 解：知2－讲 解答本题的关键是构造全等三角形，巧妙地借助两个
三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的数量关系．知2－练1 已知：如图，AC，BD相交于点O，且AO＝CO，BO＝DO．求证：AB＝CD.在△AOB和△COD中，
∵
∴△AOB≌△COD(SAS)．
∴AB＝CD.(全等三角形的对应边相等)证明：知2－练2 如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为( )
A．8 cm
B．9 cm
C．10 cm
D．11 cmB知2－练3 【中考·青海】如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌ △DEF，这个添加的条件可以是AB＝________．DE应用“SAS”判定两个三角形全等的“两点注意”：
1.对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注
意元素的“对应”关系．
2.顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，
绝不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误，因为边
边角(或角边边)不能保证两个三角形全等．完成教材P43练习T3，习题A组T1-T3，B组T1-T2
谢谢！课件29张PPT。13.3 全等三角形的判定第十三章 全等三角形第3课时 用两角一边关系判定三角形全等1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升判定两三角形全等的基本事实：角边角
判定两三角形全等的判定定理：角角边 豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作
业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？
你能帮他画出来吗？1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角知1－导 如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
∠C＝∠C′.把△ABC和△A′B′C′叠放在一起，它们能够完全
重合吗? 提出你的猜想，并试着说明理由.知1－导可以这样验证：
将△ABC叠放在△A′B′C′上，使边BC落在边B′C′上，顶
点A与顶点A′在边B′C′的同侧．由BC＝B′C′可得边BC与
边B′C′完全重合．因为∠B＝∠B′，∠C＝∠C′ ，∠B的
另一边BA落在边B′A′上， ∠C的另一边落在边C′A′上，
所以∠B与∠B′完全重合， ∠C与∠C′完全重合．由于
“两条直线相交只有一个交点”，所以点A与点A ′ 重合.
所以， △ABC和△A′B′C′全等.知1－导基本事实三 如果两个三角形的两个角和它们的夹
边对应相等，那么这两个三角形全等.
基本事实三简写成“角边角”或“ASA”.知1－讲证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
要点精析：
(1)相等的元素：两角及它们的夹边；
(2)在书写两个三角形全等的条件角边角时，一定要把夹
边相等写在中间，以突出角边角的位置及对应关系．知1－讲已知：如图，AD＝BE，∠A＝∠FDE，BC∥EF.
求证：△ABC≌△DEF.例1 证明：∵ AD＝BE(已知)，
∴ AB＝DE (等式的性质).
∵ BC∥EF(已知)，
∴∠ABC＝∠E(两直线平行，同位角相等).
在△ABC和△DEF中，
∵ ∴ △ABC≌△DEF(ASA).知1－讲 不管是“ASA”还是“AAS”，都是要找两个角和
一条边对应相等，找边相等与“SSS”中找边相等相同，
找角相等与“SAS”中找角相等相同．?知1－练1 已知：如图，∠ABC＝∠DCB，BD，CA分别是
∠ABC，∠DCB的平分线．
求证：AB＝DC.知1－练证明：知1－练2 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和△ABC全等的图形是( )
A．甲、乙 B．甲、丙
C．乙、丙 D．乙C知1－练3 如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成4块，现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是( )
A．带①和②去
B．只带②去
C．只带④去
D．都带去C2知识点判定两三角形全等的判定定理：角角边知2－导 可以证明，两角和其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等.
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∠A＝∠A′， ∠B ＝ ∠B′，BC＝B′C′.
求证： △ABC≌△A′B′C′.知2－导∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∠ A′ ＋∠ B′ ＋∠ C′
＝180°，(三角形内角和定理).
又∵ ∠A＝∠A′， ∠B ＝ ∠B′(已知)
∴ ∠C＝∠C′(等量代换).
在△ABC和△A′B′C′中，∵
∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA).证明：知2－导 如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相
等，那么这两个三角形全等.
这个定理简写成“角角边”或“AAS”.知2－讲 知道一个三角形的两个角相等，就去找它们的夹
边，如果夹边相等，这两个三角形全等，如果不是夹
边，可以转化为夹边，因为三角形有两个角相等，那
么第三个角也相等.知2－讲【中考·十堰】如图，CA＝CD，∠B＝∠E，∠BCE＝
∠ACD.求证：AB＝DE.
由∠BCE＝∠ACD推出∠BCA＝∠ECD，然后由已知
条件CA＝CD，∠B＝∠E即可得出△ABC≌△DEC，
即可得出AB＝DE.例 2 导引：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，
即∠BCA＝∠ECD.
在△ABC和△DEC中，∵
∴△ABC≌△DEC(AAS)．
∴AB＝DE.知2－讲
证明：知2－讲 利用“AAS”证明三角形全等时，首先要知道两个角
相等，然后找一个角的对边即可.知2－练1 如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3.
求证：AB＝DE.知2－练证明：知2－练2 【中考·莆田】如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A．PC⊥OA，PD⊥OB
B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD
D．PC＝PDD知2－练3 【中考·黔西南州】如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE
B．AC＝DF
C．∠A＝∠D
D．BF＝ECC1.基本事实三：如果两个三角形的两个角和它们的
夹边对应相等，那么这两个三角形全等(简写成
“角边角”或“ASA”)．
2.证明书写格式：
在△ABC和△A′B′C′中，∵
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．3.全等三角形的判定定理：如果两个三角形的两角
及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角
形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．
证明书写格式：
在△ABC和△A′B′C′中，∵
∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)． 4.证明三角形全等的“三类条件”：
(1)直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角．
(2)隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条件，如
公共边、公共角、对顶角．
(3)间接条件：即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应
角，需要进一步推理．完成教材P46练习T1-T2，P47习题A组T1-T3，B组T1-T2
谢谢！课件22张PPT。3.3 全等三角形的判定第十三章 全等三角形第4课时 图形变换中的全等三角形1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升图形变换在全等三角形中的应用
全等变换在实际中的应用 话说战国时，魏国有一个叫更羸的射箭能
手.有一天，更羸跟魏王到郊外打猎.一只大雁
从远处慢慢地飞来，边飞边鸣.更羸仔细看了
看，指着大雁对魏王说：“大王，我不用箭，
只要拉一下弓，这只大雁就能掉下来.” “是吗? ”魏王信不过自
己的耳朵，问道，“你有这样的本事? ”更羸说：“请让我试一
下.”更羸并没有取箭，他左手拿弓，右手拉弦，只听得嘣的一声响，
那只大雁只往上飞，拍了两下翅膀，忽然从半空里直掉下来.
请问更羸出箭的点A与两个弓弦的端点B、C的距离组成的三角
形和更羸手捏弦的点与点B、C组成的三角形有何关系？1知识点图形变换在全等三角形中的应用知1－导 如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形.1.观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过
怎样的变换(平移或旋转)后，能够与另一个三角形重合.
2.请你分别再画出几组具有类似位置关系的两个全等三角形.知1－导 实际上，在我们遇到的两个全等三角形中，有些
图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另
一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换) 得到的.
发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找
到命题证明的途径，较快地解决问题. 知1－讲已知：如图，在△ABC中， D是BC的中点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F.
求证：△BDF≌△DCE.例1 知1－讲证明：∵D是BC的中点(已知)，
∴BD＝DC(线段中点定义).
∵DE∥AB，DF∥AC，(已知)
∴∠B＝∠EDC，∠BDF＝∠C，(两直线平行，
同位角相等)
在△BDF和△DCE中，∵
∴△BDF≌△DCE(ASA).知1－讲 观察可知，将△BDF沿BC方向向右平移，可使
△BDF与△DCE 重合.知1－练1 已知：如图，AC＝EF，AB∥CD，AB＝CD.
求证：BE∥DF.知1－练证明：知1－练2 【中考·贺州】如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为________．120°知1－练3 如图，由∠1＝∠2，BC＝DC，AC＝EC，得△ABC≌△EDC的根据是( )
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSSA2知识点全等变换在实际中的应用知2－讲已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC
的中点，CF∥AB，交DE 的延长线于点F.
求证：DE＝FE.例 2 知2－讲∵CF∥AB(已知)，
∴∠A＝∠ECF(两直线平行，内错角相等).
在△EAD和△ECF中，
∵
∴△EAD≌△ECF(ASA).
∴DE＝FE(全等三角形的对应边相等).证明：知2－讲 观察可知，将△ECF绕点E逆时针旋转180°,它可
与△EAD重合.知2－练1 已知：如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE. 求证：∠1＝∠2.知2－练证明：知2－练2 【中考·义乌】如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A．SAS B．ASA
C．AAS D．SSSD知2－练3 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°B本节课你学到了什么？还有什么疑惑吗？与同伴交流完成教材P49练习T3，P50习题A组T1-T3，B组T1-T2
谢谢！
