第7章 一次方程组单元检测卷（含解析）

华师大版七年级下册第2章二元一次方程组单元检测卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
方程mx-2y=x+5是二元一次方程时，m的取值为（ ）
A．m≠1 B．m≠-1 C．m≠0 D．m≠2
已知关于 x，y 的二元一次方程 4ax﹣3y=﹣1 的一组解为，则 a 的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
方程x+2y＝5的非负整数解有（　　）
A．无数个 B．3个 C．4个 D．5个
下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A． B．C．D．
把一张贰拾元的人民币换成壹元或伍元的零钱，换法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
若点P（﹣a，4﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜4 B．a＞4 C．a＜0 D．0＜a＜4
根据如图提供的信息，小红去商店买一只水瓶和一只杯子应付（　　）
A．30元 B．32元 C．31元 D．34元
已知关于x、y的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解；④x，y都为自然数的解有4对.其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
王老师的数学课采用小组合作学习方式，把班上40名学生分成若干小组，如果要求每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝　 　．
小彬拿20元钱到超市买来果汁x瓶，酸奶y瓶，找回7元，已知果汁每瓶2元，酸奶每瓶3元，列出关于x、y的二元一次方程为????．
某地区的居民用电，按照高峰时段和空闲时段规定了不同的单价．某户5月份高峰时段用电量是空闲时段用电量2倍，6月份高峰时段用电量比5月份高峰时段用电量少50%，结果6月份的用电量和5月份的用电量相等，但6月份的电费却比5月份的电费少25%，求该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低的百分率是_____．
初202l届数学组的老师们为了拍摄《燃烧我的数学》的MTV，从全年级选了m人（m＞200）进行队列变换，现把m人排成一个10排的矩形队列，每排人数相等，然后把这个矩形队列平均分成A．B两个队列，如果从A队列中抽调36人到B队列，这样A．B队列都可以形成一个正方形队列，则m的值为______．
三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　　．
对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.
、解答题（本大题共8小题，共66分）
已知:2x2n-1-3y3m-n=1是二元一次方程,求m+n.
把一根长9米的钢管截成2米长和1米长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？
用指定的方法解下列方程组：
(1)(代入法)(2)(加减法)
小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
阅读探索
（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得： 即
所以
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为__________．
小华早晨6点多钟去学校，去时看了一下手表，发现时针与分针的夹角为θ度（0＜θ＜180，θ为整数），到了学校，他又看了一下手表，发现此时还不到7点钟，且时针与分针的夹角为也为θ度，若小华去学校途中所用的时间是10的整数倍，那么，小华去学校途中所用的时间是多少？
问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂，如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是　 　（填写序号）．
（1）bc+d＝a，（2）ac+d＝b，（3）ac﹣d＝b．
某商场准备购进两种摩托车共25辆，预计投资10万元，现有甲、乙、丙三种摩托车供选购，甲种每辆4200元，可获利400元；乙种每辆3700元，可获利350元；丙种每辆3200元，可获利200元．要求10万元资金全部用完．
(1)请你帮助该商场设计进货方案；
(2)从销售利润上考虑，应选择哪种方案？
答案解析
、选择题
【考点】二元一次方程的定义
【分析】先将原方程变形为一般形式，再根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数这个方面考虑．
解：原方程移项，得mx-x-2y=5，
合并同类项，得（m-1）x-2y=5，
根据二元一次方程的定义，得
m-1≠0，即m≠1．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【考点】二元一次方程的解
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
解：把代入方程4ax﹣3y=﹣1中得：8a﹣9=﹣1，解得：a=1．
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【考点】解二元一次方程
【分析】把y看做已知数表示出x，确定出方程的非负整数解即可．
解：方程x+2y＝5，
解得：x＝﹣2y+5，
当y＝0时，x＝5；y＝1时，x＝3；y＝2时，x＝1，
则方程的非负整数解有3个，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数表示出另一个未知数．
【考点】二元一次方程组的定义．
【分析】直接利用二元一次方程组的定义进而分析得出答案．
解：A．，是二元二次方程组，故此选项错误；
B、，含有分式方程，故此选项错误；
C、，是三元一次方程组，故此选项错误；
D、，是二元一次方程组，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的定义，正确把握定义是解题关键．
【考点】列二元一次方程
【分析】根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50”和“甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50”两个等量关系，即可列出方程组.
解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y；
由甲得乙半而钱五十，可得：
由甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：
故答案为:A
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系.
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设能兑换x张1元、y张5元的零钱，根据总钱数不变即可得出关于x、y的二元一次方程，再根据x、y为自然数，即可找出兑换方案，此题得解．
解：设能兑换x张1元、y张5元的零钱，
根据题意得： x+5y=20，
∵x、y为自然数，
∴当y=0时，x=20；当y=1时，x=15；当y=2时，x=10；当y=3时，x=5；当y=4时，x=0.
∴兑换方案有五种．
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据总钱数不变列出关于x、y的二元一次方程是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【分析】将代入即可求出a与b的值，
解：将代入得：
，
∴a+b＝2，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
解：∵点P（﹣a，4﹣a）是第二象限的点，
∴，
解不等式①得，a＞0，
解不等式②得，a＜4，
所以，a的取值范围是0＜a＜4．
故选D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯子需要y元，根据给定的两种购买方案可得出关于x、y的二元一次方程组，将方程①②相加，再除以3即可求出结论．
解：设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯子需要y元，
根据题意得： ，
（①+②）÷3，得：x+y=31．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的解法
【分析】把x=5，y=-1代入方程组，求得a的值，即可判定①错误；解方程组求得x、y的值，计算出x+y=3，即可判定②正确；将a=1代入方程组，解方程组求得方程组的解，再代入方程x+y=4-a即可判定③正确；由②得x+y=3，即可求得x、y的自然数解，由此判断④正确.
解：①将x=5，y=-1代入方程组得： ，由①得a=2，由②得a=，故①不正确；
②解方程，①-②得：8y=4-4a
解得：y=，
将y的值代入①得：x=，所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将a=1代入方程组得： ，解此方程得：，将x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确．
④因为x+y=3，所以x、y都为自然数的解有 ，， ， ．故④正确．
综上，正确的选项有②③④．
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，能熟练的解二元一次方程组是解决问题的关键.
【考点】推理与论证
【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．
解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，
由题意得，，
①×2﹣②得，z﹣x＝20，
所以，难题比容易题多20道．
故选：B．
【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．
【考点】二元一次方程的应用
【分析】根据题意设5人一组的有x个，6人一组的有y个，利用把班级里40名学生分成若干小组，进而得出等式求出即可．
解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：
5x+6y=40，
x=1，则y=（不合题意）；
当x=2，则y=5；
当x=3，则y=（不合题意）；
当x=4，则y=（不合题意）；
当x=5，则y=（不合题意）；
当x=6，则y=（不合题意）；
当x=7，则y=（不合题意）；
当x=8，则y=0；
故有2种分组方案．
选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意分情况讨论是解题关键．
、填空题
【考点】二元一次方程的解
【分析】把代入二元一次方程ax+y＝3中即可求a的值．
解：把代入二元一次方程ax+y＝3中，
a+2＝3，解得a＝1．
故答案是：1．
【点评】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程
【分析】根据题意得到本题的等量关系为：果汁钱数+酸奶钱数=20-7，根据等量关系列出方程即可．
解：根据题意得：2x+3y=13．故答案为：2x+3y=13．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，解题的关键是找到正确的等量关系．
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，根据总价＝单价×数量结合6月份的电费却比5月份的电费少25%，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y之间的关系，进而即可得出结论．
解：设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，
依题意，得：（1﹣25%）（ax+2ay）＝2ax+ay，
解得：x＝0.4y，
∴该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低×100%＝60%．
故答案为60%．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的运用，完全平方数
【分析】根据已知设总人数为10x，进而得出5x+36和5x-36都是完全平方数，再利用a2-b2=（a+b）（a-b）=72=1×72=2×36=3×24=4×18=6×12=8×9，得出所有符合要求的a，b的值，进而得出总人数．
解：设总人数为10x人，利用平均分成A．B两个队列，如果从A队列中抽调36人到B队列，这样A．B队列都可以形成一个正方形队列，
得出：5x+36和5x-36都是完全平方数，设它们分别是a2和b2，
a2-b2=（a+b）（a-b）=72=1×72=2×36=3×24=4×18=6×12=8×9，
得（a，b）为：，，，，，，
解得：a=36.5，b=35.5或a=19，b=17或a=13.5，b=10.5或a=11，b=7或a=9，b=3或a=8.5，b=0.5，
故所有的a，b值为：（36.5，35.5），（19，17），（13.5，10.5），（11，7），（9，3），（8.5，0.5），
显然只有（19，17），（11，7），（9，3）符合，
∴5x+36等于361或121或81，
∴人数=10x=（361-36）×2=650或10x=（121-36）×2=170或10x=（81-36）×2=90，
∵m＞200，
∴m=650，
故答案为：650．
【点睛】此题主要考查了完全平方数的性质以及二元一次方程组的应用，根据已知得出符合要求的a，b的值是解题关键．
【考点】二元一次方程组的解的应用
【分析】第二格方程组方程组变形为，设x=m，y=n，得出，根据方程组的解是，求出此方程组的解是，得出x=4，y=10，求出即可．
解：方程组变形为：，
设x=m，y=n，
则，
∵方程组的解是，
∴的解释：，
即x=4，y=10，
解得：x=9，y=18，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解的应用，此题主要考查学生的理解能力和思维能力，此题比较好，但有一定的难度，能发现其中的规律是解此题的关键．　
【考点】二元一次方程组的解法
【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
解：由题意可知：，
解得：．
∵x＜y，∴原式=5×12=60．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法。关键是熟练运用二元一次方程组的解法和正确理解新定义运算法则。
、解答题
【考点】二元一次方程的定义
【分析】根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于m、n的方程，然后求解即可．
解:由题意得,解得,
所以m+n=+1=.
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【考点】二元一次方程的应用
【分析】截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．
解：截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，
设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，
由题意得，2x+y＝9，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：
，，，
则有四种不同的截法．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
【考点】解二元一次方程组
【分析】（1）方程组了代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
解：(1)
由①得.③
将③代入②得，解得.
将代入③得.
所以原方程组的解是
(2)
①得解得.
将代入①得.
所以原方程组的解是
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．
解：设中性笔和笔记本的单价分别是元、元，根据题意可得：
，
解得：，
答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】（1）知识累计
观察阅读材料的解题方法，理解换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，根据（1）中的结论确定出关于x与y方程组，求出解得到x与y的值，即可求出a与b的值；
（3）能力运用
设，根据已知方程组的解确定出m与n的值即可．
解：（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得： 即
所以
此种解方程组的方法叫换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，
方程组变形得：，
解得：，即，
解得：；
（3）能力运用
设，
可得，
解得：，
故答案为：
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设去时是6点x分，到校是6点y分，途中所用的时间为（y﹣x）．则依题意得，θ＝（360+x）×0.5﹣6x＝180﹣5.5x；θ＝6y﹣（360+y）×0.5＝5.5y﹣180．
由以上两式求得．设＝10k（k为正整数），易求0＜55k＜360，0＜k＜6.6．由2θ＝55k知，k为偶数数，所以k＝2或4．θ＝55或110．
y﹣x＝20或40．
解：设去时是6点x分，到校是6点y分，途中所用的时间为（y﹣x）．则依题意得，
θ＝（360+x）×0.5﹣6x＝180﹣5.5x；
θ＝6y﹣（360+y）×0.5＝5.5y﹣180．
两式相加得：2θ＝5.5（y﹣x），
所以，．
设＝10k（k为正整数），
所以2θ＝55k，
∵0＜θ＜180，∴0＜55k＜360，0＜k＜6.6．
由2θ＝55k知，k为偶数数，∴k＝2或4．θ＝55或110．y﹣x＝20或40．
答：小华去学校途中所用的时间是20分钟或40分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用．注意θ的取值范围是0＜θ＜180．
【考点】一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用
【分析】问题解决 设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：，解方程组即可，
反思归纳 由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b即可．
问题解决
解：设竹签有x根，山楂有y个，
由题意得：，
解得：，
答：竹签有20根，山楂有104个，
反思归纳
解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，
则ac+d＝b，
故答案为：（2）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）分当购进甲、乙两种型号的摩托车；购进甲、丙两种型号的摩托车；购进乙、丙两种型号的摩托车三种情况．并分别通过设出未知数，解二元一次方程组来解答．
（2）根据（1）的结论求出每种近货方案的利润，选择利润最大的那种方案就可以了．
解：(1)有三种方案：
第一种购甲、乙两种摩托，设购进甲种摩托车为x辆，乙种摩托车为y辆，则
解得
第二种购甲、丙两种摩托，设购进甲种摩托车为m辆，丙种摩托车为n辆，则解得
第三种购乙、丙两种摩托，设购进乙种摩托车为a辆，丙种摩托车为b辆，则
解得（不符合题意，舍去）
∵a，b；均为正整数，∴这种方案不成立，∴只有两种方案．
①甲种摩托车进15辆，乙种摩托车进10辆；②甲种摩托车进20辆，丙种摩托车进5辆．
(2)第一种方案赢利400×15＋350×10＝9 500(元)，
第二种方案赢利400×20＋200×5＝9 000(元)．
∵9500元＞9000元．
∴选择第一种方案．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组解决实际问题的运用，方程组的解法及实数大小的比较的运用，在方案设计中全面考虑问题是很关键的．