江苏省滨海县苏科版八年级数学下册讲义——9.4矩形、菱形、正方形（构造直角三角形斜边中线，附答案）

20.构造直角三角形斜边中线（解题课，难度★★★）核心考点

知识梳理
构造 中位线
中点 线角转化
构造 斜边中线





典例剖析
1.如图9.57，在△ABC中，点D是 AB边的中点，M在△ABC内，且∠MBC = ∠MAC， 过点 M 作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接 DE、DF．求证：DE = DF．





证明：取AM中点G, BM中点H, 连接 DG、DH、FG、EH,∵D是AB中点，ME⊥BC. MF⊥AC
∴DH=AM=FG, DG=BM =EH, DG//BM, DH//AM, ∴四边形DGMH为平行四边形,
∴∠1=∠2, ∵GF=AM=AG, ∴∠MAF=∠GFA, ∠3=∠ MAF＋∠GFA= 2∠MAF
同理，∠4=2∠MBE, ∠MAF=∠MBE, ∠3=∠4, ∴∠DGF=∠1＋∠3=∠2+∠4 =∠DHE, 在△DHE与△FGD中
DH=FG
∠ DHE=∠DGF ,∴△DHE≌△FGD ,DE=DF
EH=DG

2. 在 △ABC 中，D为AB 的中点，分别延 CA、CB 到点E、F，使DE = DF.过 E、F
分别作CA、CB 的垂线，相交于P，连接 AP、BP．求证：∠PAE = ∠PBF．






证明：取AP中点G,BP中点H, 连接 DG、DH、FH、EG, ∵D是AB中点，PE⊥AE, PF丄BF
∴DH=AP=EG,DG=BP=FH,在△DEG与△FDH中
DG=FH
EG=DH ∴△DEG≌△FDH,∴∠DGE=∠DHF,
DE=DF
∵DG//BP ,∠1 =∠APB, 又∵DH//AP, ∠2=∠APB , ∴∠1=∠2
∴∠3 = ∠DGE -∠1= ∠DHF -∠2 =∠4, ∵∠3 = 2∠APE , ∴∠4= 2∠BPF
∴∠APE=∠BPF ,∵PE⊥AC，PF丄BC, ∴∠PAE=90?-∠APE,∠PBF=90?-∠BPF
∴∠PAE=∠PBF

基础练
1.已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA = BC, DA = DE,连接EC, 取EC的中点M，连接BM和DM证明：BM = DM.







⑴取AC， AE的中点F、Q,分别连接 PB、PM. QD、QM,下列相等关系错误的是（ ）
A. MP = DQ = AE B. QM = BP= AC C. QM = BP=CE
⑵下列关于角的条件中，可以用来进一步判定△QDM≌△PMB的条件的是( )
A. ∠DEA = ∠BCA = ∠BAC B. ∠CPM = ∠CAE = ∠MQE
⑶综上，判定△QDM≌△PMB 的依据是（ ），进而得到BM = DM.
SAS B.HL

2.如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点，连接EF, Q是EF的中点， CP丄EF于点P,求证：DP = DQ.

取AC的中点G连接NG, DG, NQ, MP









①欲证DP = DQ,只需要证明（ ）
∠NQD = ∠MPD B.∠NDQ = ∠MDP C. △DNQ≌△DMP
②NQ = ___ , MP=_____.
③欲证△NDM为等边三角形，只需证明( )
A.∠DNM = 60° B. ND = NM C. ND = NM, ∠DNM = 60°
④证明△NGD≌△NCM,GD=_____, CM =_____,
∠GNC =______°,∠NGD + ∠4 = ______?, ∠4 + ∠5 = ______?
证明△NGD≌△NCM的判断依据是_______


20.构造直角三角形斜边中线答案
基础练：1.①C ②B ③A
证明：取AC、CE的中点P、Q,分别连接PB、PM、QD、QM
在Rt△ABC中，P是斜边AC的中点， ∴BP =，
在Rt△CDE中，Q是斜边CE的中点
∴DQ = CE， ∵Q、M分别是△AEC中边CE、AE的中点， ∴QM∥AC， QM = AC
∵P、M分别是△AEC中边AC、AE的中点, ∴MP//CE, MP =CE
∴ MP = DQ= CE, QM = BP = AC ，∵QM //AC， ∴∠MQE = ∠ACE
∵PM∥CE ，∴∠APM = ∠ACE， ∠APM = ∠ACE = ∠MQE， ∵∠APB = ∠DQE = 90°
∴∠APM + ∠APB = ∠MQE+∠DQE， ∴∠MPB =∠DQM， ∴△QDM≌△PMB(SAS)，∴BM = DM


2.①C ②CE; CE; ③ C；④ BC； CE; 60；240； 240； SAS.
取AC的中点G,连接NG, DG
①证△NGD≌△NCM
先证明NG = NC及△GNC为等边三角形.
∵点N、 G分别是CF、AC的中点
∴GN = AF， ∵△ACF为等边三角形
∴AC = CF = AF ∴GN = NC = CG
∴△GNC为等边三角形
再证明 ∠NGD = ∠5
∠1 = ∠2 = ∠GNC = 60°
∵点D是AB的中点 ， ∴ GD = CB, GD//CB ∴∠3 +∠4 = 180°
∴∠1 +∠ 3 + ∠4 = 240° ，∴∠NGD + ∠4 = 240°
∵△BCE为等边三角形， ∴∠6 = 60°, BC = EC ，∠4 + ∠5 + ∠2 + ∠6 = 360°
∴∠4 + ∠5 = 240°，∴∠NGD = ∠5
证明GD= CM
点M是CE的中点，∴CM = CE， ∵GD = CB, CB = CE，∴GD = CM
∴△NGD≌△NCM(SAS)
②证等边三角形
∴ND = NM, ∠7 = ∠8， △NDM为等腰三角形 ∵∠GNC = 60°，∠7 + ∠9 = 60°
∴∠DNM = ∠8 + ∠9 = 60°， ∴△NDM为等边三角形








再证△NQD≌△MPD
连接NQ, MP ∵△NDM为等边三角形 ， ND = MD
①证NQ = MP
∵点N、Q分别是FE、FC的中点， ∴ NQ = CE, NQ//CE
∵点M是EC的中点，CP丄EF， ∴MP = CE ，NQ = MP
②证 ∠DNQ = ∠DMP
∵点N、M分别是FE、CE的中点 ， ∴MN//EF, ∠10 = ∠ll, ∠12 = ∠13
∵NQ//CE， ∴∠ll = ∠14， ∵PM = CE = ME, ∴∠13 = ∠14 (等边对等角)
∴∠10 = ∠12， 又∵∠DNM = ∠DMN = 60°，∴∠10 = ∠12
∴∠DNQ =∠DMP， ∴△NQD≌△MPD(SAS)， ∴DP= DQ。