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2.2.4平面与平面平行的性质
班级：____________ 姓名：______________
选择题
1．下列说法正确的是( )
A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
[答案] C
[解析] 由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C．
2．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( )
A．有公共点 B．没有公共点
C．平行 D．平行或相交
[答案] D
3．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为( )
A．0 B．1
C．2 D．无数
[答案] B
[解析] ∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B．
4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
[答案] B
[解析] 面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝．
5．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
[答案] D
[解析] 选项A中，α∩β＝a，b?α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；
选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；
选项C中，a∥β，b∥β，a?α，b?α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；
选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D．
6．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
[答案] D
[解析] 如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E．连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′．
则CE∥AA′，∴CE∥α．
C′E∥BB′，∴C′E∥β．
又∵α∥β，∴C′E∥α．
∵C′E∩CE＝E．
∴平面CC′E∥平面α．
∴CC′∥α．所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
7．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α、β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA?OA′＝3?2，则△A′B′C′的面积为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 如图∵α∥β，
∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，
且由＝＝知相似比为，
又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，
知S△ABC＝AB·CD＝AB·(AC·sin60°)＝，
∴S△A′B′C′＝.
填空题
过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
[答案] 平行
[解析] 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．
9．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
[答案] 平行四边形
[解析] ∵平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
∴EF∥HG.
同理EH∥FG，
∴四边形EFGH的形状是平行四边形．
10．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为________.
①AC⊥BD；
②AC∥截面PQMN；
③AC＝BD；
④异面直线PM与BD所成的角为45°.
[答案] ①②④
[解析] ∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系．故填①②④.
解答题
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求证：N为AC的中点．
[答案] 证明∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
[答案] 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，
则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF平面BFM，
∴BF∥平面AEC．
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2.2.4平面与平面平行的性质
班级：____________ 姓名：______________
选择题
1．下列说法正确的是( )
A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
2．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( )
A．有公共点 B．没有公共点
C．平行 D．平行或相交
3．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为( )
A．0 B．1
C．2 D．无数
4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
5．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
6．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
7．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α、β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA?OA′＝3?2，则△A′B′C′的面积为( )
A． B．
C． D．
填空题
过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
9．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
10．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为________.
①AC⊥BD；
②AC∥截面PQMN；
③AC＝BD；
④异面直线PM与BD所成的角为45°.
解答题
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求证：N为AC的中点．
12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
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