江苏省沭阳县2020届高三下学期联考数学试题 扫描版含答案


2019～2020学年度第二学期高三年级5月联考
数学参考答案
参考公式：1.方差公式：；
2.球的体积公式：，是球的半径．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．
2．
3． 6
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．
13．
14．
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．
证明：（1）因为,，为的中点.，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以 …………3分
又因为平面,平面
所以平面. …………6分
（2）因为平面平面
平面平面
,平面
所以平面. …………8分
因为平面.
所以 …………10分
因为分别为的中点，
所以， 所以
因为，
所以 …………12分
因为平面,平面,
所以平面. …………14分
16．
解：（1）在中，由余弦定理得
…………2分
所以 …………4分
因为，是三角形的内角，
所以 …………6分
所以


…………8分
（2）在中，由正弦定理得 …………10分
…………12分
所以． …………14分
注：其它方法酌情给分！
17．
解：（1）由题意知， …………2分
，
， …………4分
则，
即，． …………6分
（2）
…………8分
因为，所以
所以， …………10分
故当时，恒成立，
所以在上单调递增， …………12分
故当时，．
答：当θ为时，矩形EFGH的面积最大，最大值为． …………14分
18．
解：（1）由题设可知，所以，故，因此
所以椭圆的方程为 …………3分
（2）设
①若，则直线的方程为
联立直线与椭圆的方程，即，
消去，化简得， …………5分
所以
又，…………7分
点到直线的距离，
所以
当且仅当，即时，取得最大值1. …………9分
②设直线的方程为.
将直线与椭圆的方程联立，即
消去，化简得 …………11分
所以.
所以-
=， …………14分
因为的值与点的位置无关，即上式取值与无关，
故有，解得． …………16分
19．
解：（1）当时，，则，
在处的切点为，切线斜率为，
所以函数在处的切线方程为. …………3分
（2）因为.
所以的定义域为； ，
又因为函数在定义域上为单递增函数，
所以在时恒成立，
即在时恒成立， …………6分
设，
则，
当时，，则在上为减函数，
当时，，则在上为增函数， …………8分
在时恒成立，
所以. …………9分
（3）因为，
所以，则不可能对恒成立，
即在定义域上不可能始终都为减函数， …………10分
由（2）知函数为增函数，
所以若函数在定义域上不是单调函数
又因为，所以是函数一个零点,
令，得
设，则与有相同的零点，
令，得，
因为，所以，
所以有两个不相等实数解，
因为，所以不妨设， …………12分
当时，，在为增函数
当时，，在为减函数
当时，，在为增函数
则 ………14分
又因为时，，
，，
又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点
又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点
又因为是函数一个零点,
综上函数必有三个不同零点. …………16分
20．
解:（1）因为an＝，所以Sn＝×＝1－()n， ………………2分
所以an＋1－Sn＝()n＋1－1＋()n＝()n－1≤×－1＝－＜0，
所以an＋1＜Sn，即{an}∈M． ………………4分
（2）设{an}的公差为d，因为{an＋n}∈M，
所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n) （*）
特别的当n＝1时，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1，
由（*）得a1＋nd＋n＋1≤na1＋d＋， ………………6分
整理得n2＋(a1－d－)n－a1－1≥0，
因为上述不等式对一切n∈N*恒成立，所以必有≥0，解得d≥－1，
又d≤－1，所以d＝－1， ………………8分
于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，
即a1≥－1， ………………10分
（3）由an＋1≤Sn得Sn＋1－Sn≤Sn，所以Sn＋1≤2Sn，即≤2，
所以＝××…×≤2n，从而有Sn＋1≤S1×2n＝a1×2n，
又an＋1≤Sn，所以an＋2≤Sn＋1≤a1×2n，即an≤a1×2n－2(n≥3)，
又a2≤S1＝a1×22－2，a1＜a1×21－2，所以有an≤a1×2n－2(n∈N*)，
所以≥×2n， ………………12分
假设数列{}中存在无穷多项依次成等差数列，
不妨设该等差数列的第n项为dn＋b(b为常数)，
则存在m∈N，m≥n，使得dn＋b＝≥×2m≥×2n，即da1n＋ba1≥2n＋2，
设f (n)＝，n∈N*，n≥3， 则f (n＋1)－f (n)＝－＝＜0，
即f (n＋1)＜f (n)≤f (3)＝＜1， ………………14分
于是当n≥3时，2n＋2＞n2，从而有：当n≥3时da1n＋ba1＞n2，即n2－da1n－ba1＜0，
于是当n≥3时，关于n的不等式n2－da1n－ba1＜0有无穷多个解，显然不成立，
因此数列{}中是不存在无穷多项依次成等差数列． ………………16分
附加题
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．

解：（1）由条件，得. …………4分
（2）设变换后新曲线上任一点，变换前对应点，则
，即 …………6分
，代入得：
所以曲线在的作用下的新曲线的方程为 …………10分
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
解：由消去参数得圆的普通方程为，圆心坐标为， ………5分
过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为，
化为极坐标方程为 ……10分
C．[选修4-5：不等式选讲]
解： ………………………………5分

………………8分
当且仅当即时取最大值 …10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.
解：如图，以点为原点，分别为轴建立
空间直角坐标系，则．………… 1分
（1）所以，
设平面一个法向量为
由得，取 ………… 4分
设直线与平面所成角为，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为． ………… 6分
（2）由（1）知平面一个法向量为
取平面一个法向量 ………… 7分
………… 9分
由图知二面角的余弦值为 ………… 10分
23．
解：由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为.
（1）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.
所以. ………… 4分
（2）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），. ………… 6分
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得，而，所以. ………… 9分
当与轴垂直时，与重合.
所以，所求轨迹方程为. ………… 10分