苏科版数学七年级下册第9章《因式分解》方法归纳 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
因式分解 方法归纳
徐传新

专 题 因式分解
整式 相关 公式
am÷an =am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．
a0=1 (a≠0).
（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2

公式(a+b) (a-b) =a2 -b2的8种变化形式：



归纳：完全平方公式的常用形式：
(l)a2 +b2 = (a+b) 2 - 2ab= (a-b)2 +2ab;

(2) ab= [（a+b）2-（a2+b2）]；

(5) (a+b) 2 = (a-b)2 +4ab;

(6) (a-b) 2 = (a+b)2 -4ab;

(7)ab=




因式分解


------（一） 提公因式法

课前预习
1. 把下列多项式写成整式乘积的形式：
(1)a 2+a= ;(2)x 2-1= .
2.下列变形：①a(x+y)=ax+ay;②x2-4x+4=x(x-4)+4;③10x2-5x=5x(2x-1);④x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x.其中属于因式分解的有 .
3.8a3b2与12ab3c的公因式是 .
4. 把下列各式分解因式：
(1)6mn 2+2mn;
(2)18xyz-12x 2y 2;

a(a+1)
(x+1)(x-1)

③
4ab 2

原式=2mn(3n+1)
原式=6xy(3z-2xy)

因式分解的概念

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这
个多项式分解因式.

如：ax+ay=a(x+y),a 2-b 2=(a+b)(a-b),
a2+2ab+b 2=(a+b) 2,
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),
am+an+bm+bn=(a+b)(m+n)，…,都是因式分解.

注意: ①因式分解专指多项式的恒等变形，即等式的
左边必须是多项式.




提公因式法 分解因式
注意：(1)提公因式分解因式的关键是确定公因式.确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别考虑：
①对 于数字系数如果是整数系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数
②对于字母，需考虑两条：一条是取各项相同的字母；另一条是各相同字母的指数取其次数最低的.




(2)乘法分配律是提公因式法的依据，提公因式法实质
上是分配律的“逆用”，即

(3)提公因式法分解因式的一般步骤是：第一步找出公
因式；第二步提公因式并确定另一个因式.提公因式
时可用原多项式除的公因式，所得的商即为提公因式
后剩下的另一个因式.也可以用公因式分别去除原多
项式的每一项，求得剩下的另一个因式.例如：因式
分解8a 3b 2-12ab 2c，提公因式4ab 2时，用4ab 2分
别去除原多项式的每一项，得
(8a 3b 2÷4ab 2-12ab3c÷4ab 2)=2a 2-3bc,
即8a 3b 2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc).




【例2】 运用提取公因式法分解因式.
(1)12a 2b 3+6a 2b 2-18a 3b 2;
(2)-27m 2n+9mn 2-18mn;
(3)5a 2(x-y)+10a(y-x);
(4)x(x-y) 2-y(y-x) 2;
(5)18(a-b) 3-12b(b-a) 2.
解析：(1)系数12，6，-18的最大公约数为6.相同字母
a,b的最低次幂为a2b2，公因式为6a2b2.12a2b3+6a2b2-
18a3b2=6a2b2(2b+1-3a).
注意括号内第二项应为1.


(2)当第一项系数为负时，应提出负号，括号内各项都变号，
公因式为-9mn.
-27m2n+9mn2-18mn =-9mn(3m-n+2) .
(3)∵y-x=-(x-y),
∴公因式为5a(x-y).
5a2(x-y)+10a(y-x)
=5a(x-y)(a-2).
(4)x(x-y) 2-y(y-x)2
=x(x-y)2-y(x-y) 2
=(x-y)2(x-y)
=(x-y)3
(5)18(a-b)3-12b(b-a)2
=18(a-b) 3-12b(a-b)2
=6(a-b)2(3a-3b-2b)
=6(a-b)2(3a-5b)



3. 把下列各式分解因式.
(1)ab+a+b+1; (2)-4m 3+16m2-26m;
?


(3)m(a-3)+2(3-a); (4)6a(b-a)2-2(a-b)3.



原式=a(b+1)+(b+1)
=(b+1)(a+1)

原式=-2m(2m2-8m+13)
原式=m(a-3)-2(a-3)
=(a-3)(m-2)
原式=6a(a-b)2-2(a-b)3
=2(a-b)2［3a-(a-b)］
=2(a-b)2(2a+b)

5.因式分解：
（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）；


（2）a2x2y﹣axy2．




原式=x（x﹣y）+y（x﹣y）
=（x+y）（x﹣y）
原式=axy（ax﹣y）

14.3.2 公式法（一）

课前预习
1.计算：852﹣152=（　　）
A．70 B．700 C．4900 D．7000
2.下列多项式中，能运用公式法因式分解的是（　　）
A．x2﹣xy B．x2+xy
C．x2+y2 D．x2﹣y2
3.分解因式：x2﹣4=　　 ．
4.若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=　　．



D
D
（x+2）（x﹣2）
3

课堂精讲
知识点.利用平方差公式分解因式
a 2-b 2=(a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数
的和与这两个数的差的积.
(1)把乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2逆用，
即为因式分解的平方差公式.
(2)公式中所说的“两个数”是a,b，而不是a 2,b 2，其
中a,b可以是单项式，也可以是多项式.
(3)平方差公式的特点：①左边是二项式，两项都能写
成平方的形式，且符号相反；②右边是两个数的和与这
两个数的差的积，凡是符合平方差公式特点的二项式，
都可以运用平方差公式分解因式，如x 2-y 2,a 2-1,4x 2-
9,(b+c) 2- 4(a-b) 2 等.




【例】 把下列各式分解因式.



课堂精讲
(1)25m2-n2; (2)(x-y)2-1;
?
?
?
(3)16x-25x3y2; (4)x4-16.



原式=(5m+n)(5m-n)

原式=(x-y+1)(x-y-1)
原式=x(4+5xy)(4-5xy)
原式=(x2+4)(x+2)(x-2)

随堂检测
1.将x2﹣16分解因式正确的是（　　）
A．（x﹣4）2 B．（x﹣4）（x+4）
C．（x+8）（x﹣8） D．（x﹣4）2+8x
2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn
C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
3.若a+b=2011，a﹣b=1，则a2﹣b2=　　．
4.计算：20142﹣20132=　　．
5.4x2﹣9=　 　．




B
D
2011
4027
（2x﹣3）（2x+3）

14.3.3 公式法（二）

课前预习
1.分解因式a4﹣2a2+1的结果是（　　）
A．（a2+1）2 B．（a2﹣1）2
C．a2（a2﹣2） D．（a+1）2（a﹣1）2
2.当a=9时，代数式a2+2a+1的值为　　 ．
3.x2+ x+　 　是完全平方式.
4.（2014龙岩）因式分解：x2﹣4x+4=　　 ．



D
100
1
（x﹣2）2

课堂精讲
知识点.用完全平方公式分解因式
（1）把整式乘法的完全平方公式(a±b)2 =a2±2ab+b2
反过来，就得到
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2
倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
我们把a2 +2ab+b2和a2 -2ab+b2这样的式子叫做完全
平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的
多项式因式分解，
公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.




（2）完全平方公式的特点
等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或
两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项
是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均
可．
等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）
的平方，当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是
和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，
是差的平方．
归纳：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得
到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多
项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．




【例】分解因式：（1）﹣x2+4xy﹣4y2
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．
解析：（1）先添加带符号的括号，再利用完全平方
公式分解因式即可．
（2）首先利用多项式乘法计算出
（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，再加上1后变形成
x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
（1）解：﹣x2+4xy﹣4y2，
=﹣（x2﹣4xy+4y2），
=﹣（x﹣2y）2．
（2）解：原式=x2﹣4x+3+1，
=x2﹣4x+4，
=（x﹣2）2．




1. 把下列各式分解因式.
(1)y2-4x(y-x); (2)(a2+b2)2-4a2b2.




原式=(y-2x)2
原式=(a+b)2(a-b)2

随堂检测
1.下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．2x2+4x+1 B．4x2﹣12xy+9y2
C．2x2+4xy+y2 D．x2﹣y2+2xy
2.把代数式x2﹣4x+4分解因式，下列结果中正确的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2） B．（x+2）2
C．（x﹣4）2 D．（x﹣2）2
3.若a=2b﹣2，则a2﹣4ab+4b2的值是　　 ．
4.如果多项式x2﹣6x+c可以分解为（x﹣3）2，那么c的值是　 　．
5.分解因式4x2﹣4x+1=　 　．




B
D
4
9
（2x﹣1）2
十字相乘法
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

观察与发现
两个一次二项式相乘的积

一个二次三项式
整式的乘法
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式

两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。

十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
即：x ＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
2


x
x
a
b

ax＋bx=(a＋b)x


x
2
ab
例1 分解因式 x －6x＋8
2
解：x －6x＋8
2


x
x
－2
－4

－4x－2x=－6x
=(x－2)(x－4)
例2：
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）

顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。













试一试：
小结：
用十字相乘法把形如
二次三项式分解因式使
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)




练一练：
小结：

用十字相乘法把形如
二次三项式分解因式

当q>0时，q分解的因数a、b( )
当q<0时， q分解的因数a、b( )
同号
异号
将下列各式分解因式
观察：p与a、b符号关系










小结：
当q>0时，q分解的因数a、b( )
同号
异号
当q<0时， q分解的因数a、b( )
且（a、b符号）与p符号相同
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同


练习：在 横线上 填 、 符号














=（x 3）（x 1）


=（x 3）（x 1）
=（y 4）（y 5）
=（t 4）（t 14）
+
+

-
+
-
-
-
+
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。



= 17
3 x2 + 11 x + 10




6 x2 + 7 x + 2

2
3
1
2



4

+ 3
= 7
∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)


1
3
5
2



2

+ 15

= 11
1
3
2
5


5

+ 6
∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)




= –6
5 x2 – 6 xy – 8 y2
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。

1
5
–2
4



4

– 10
∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
简记口诀：
首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
分解因式 3x －10x＋3
2
解：3x －10x＋3
2


x
3x
－3
－1

－9x－x=－10x
=(x－3)(3x－1)
分解因式 5x －17x－12
2
解：5x －17x－12
2


5x
x
＋3
－4

－20x＋3x=－17x
=(5x＋3)(x－4)

小结
1.十字相乘法分解因式的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和恰好等于一次项的系数。

小结
(1)要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
用十字交叉线表示: x +a
x +b
ax + bx = (a + b)x
(2)由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.