高中数学人教B版（2019）必修（第三册）第7章 三角函数 7．2 任意角的三角函数 复习课 教案
文档属性
| 名称 | 高中数学人教B版（2019）必修（第三册）第7章 三角函数 7．2 任意角的三角函数 复习课 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 477.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-10 01:03:49 | ||
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文档简介
任意角的三角函数
教学目标：
1、会应用三角函数的定义求给定角的三角函数值，并能判定三角函数值的符号．
2、能应用单位圆中的三角函数线求解简单三角方程与不等式．
3、通过具体例题，体会同角三角函数值之间的内在联系，体会诱导公式与圆的对称性之间的一致性，会运用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行化简、求值、证明.
4、培养学生观察、分析、转化与化归等能力，提高学生逻辑推理、直观想象、数学运算等素养．
教学重点：三角函数定义;同角三角函数的基本关系式和诱导公式．
教学难点：灵活应用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行代数式的恒等变形．
教学过程：
一、知识结构
本章的主要内容及其它们之间的关系可以用如下知识结构图表示：
本节课，我们重点复习任意角的三角函数。本部分的内容可以分为两块，一块是任意角的概念与弧度制，另一块是任意角的三角函数，下面我们先来回顾一下本部分的核心知识：
二、核心知识
1、任意角的概念与弧度制：
（1）任意角的概念：
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.
规定：逆时针方向旋转而成的角称为正角；顺时针方向旋转而成的角称为负角；没有旋转时，称为零角.
经过推广后，角就包括正角、负角、零角.
由于旋转的绝对量是任意的，因此角的大小是任意的.
终边相同角的集合：
（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α，则：
扇形的弧长公式：
角度与弧度的转换：
2、任意角的三角函数：
（1）定义：设是任意角，P(x, y)是终边上异于原点的任意一点，P与原点的距离.
称为角的正弦，记作，即；
称为角的余弦，记作，即；
称为角的正切，记作，即（终边不在y轴上，即）
（2）几何表示：单位圆与三角函数线：
正弦线： 余弦线： 正切线：
（3）任意角的三角函数在各象限的符号：
记忆规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
3、两组公式：
（1）同角三角函数的基本关系式：
平方关系：
商数关系：,
（2）诱导公式：(PPT展示）
注意：公式中的是使公式两边有意义的任意一个角
前四组公式的特点：符号看象限，函数名不变；
后四组公式的特点：符号看象限，函数名改变.
8组诱导公式可以统一成形式“”.
当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，
然后前面加一个把α看作锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”
诱导公式的本质是单位圆中具有对称关系的两个角的三角函数值之间的关系，公式中的角可以为任意角。例如，与的终边关于y轴对称，由三角函数线知，它们的正弦值相等、余弦值与正切值均互为相反数.为了记忆方便，我们只是把看作锐角而已.
三、典型例题
例1、（1）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
（2）若角的终边落在直线上，求，和的值．
解析：（1）由题知，r＝＝，
因为sin θ＝＝＝－<0，所以y<0，解得y＝－8.
解析：（2）由题知，角的终边可能在第二象限或者第四象限.
i)当角的终边在第二象限时，取，则,，
所以，，．
ii)当角的终边在第四象限时，取，则,，
所以，，．
综上知，当角的终边落在第二象限时，，，．
当角的终边落在第四象限时，，，．
【总结反思】任意角的三角函数的定义是三个比值，只与角的大小有关，而与点P在角的终边上的位置无关，因此利用定义求值时可以在终边上取特殊点，从而简化运算.
例2 求函数的定义域．
解析：方法一：利用三角函数线
由题意知即
如图，结合三角函数线知：
解得，
∴函数的定义域为.
方法二：利用三角函数的图像
由题意知即
结合正弦曲线、余弦曲线、直线的图像知，
解得
∴函数的定义域为．
【总结反思】三角函数线是任意角的三角函数值的几何表示，可以利用三角函数线直观地判断三角函数值的符号，比较三角函数值的大小，以及求解三角方程不等式等．
例3 已知是三角形的内角，且．
(1)求的值；(2)求的值．
解析：(1)联立方程得（方程的思想）
由①得，将其代入②，整理得，
∴，又∵是三角形内角，∴，∴，，
∴．
解析：(2)法一：由（1）知，，，
∴
法二：∵，（转化与化归的思想）
又∵，
∴．
法三：∵，∴，即，
∴，
∴．
∵，且，∴，∴，
∴，
∴.
本题主要考察三角求值问题——给值求值。主要用到了同角三角基本关系对表达式进行三角恒等变换。对于类似的三角恒等变换问题，我们要特别关注两个问题：一是如何获取解题思路？二是如何灵活使用公式？
【总结反思】（1）利用公式解决三角恒等变换问题思路的获得：三看：看角、看名、看式（结构特征）
（2）公式的三用：正用、逆用、变形用.
（3）（本题的解决）两种思想做主导：方程思想、转化与化归思想
例4（1）若，且是第三象限角，则
（2）若，则_______．
解析：（1）∵，又∵是第三象限角，
∴，，
∴
解析：（2），
.
变式：若，，则_______．
解析：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴.
【总结反思】在运用诱导公式时，要特别注意：角α为任意角，把角α看作锐角只是一种记忆方法。
四、课堂练习：
1. 已知是角终边上一点，则 的值等于（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
2．函数的定义域为__________.
3．如果已知，则=_______.
4．若，且是第三象限角，则＝( )
A．1 B．7 C．－7 D．－1
【答案】1.A 2.3.4.B
五、课堂小结：
下面我们来对本节课的学习做一个总结，在学习任意角的三角函数的定义有关内容时，我们有以下几点需要注意：
1、任意角的三角函数:（数、形两个角度的理解与应用）
2、利用同角基本公式、诱导公式解决恒等变换问题：
（1）解题思路：
（2）公式应用：
3、思想方法：数形结合的思想、方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想
六、课后作业：
教材 66页 A组 4, 5, 7,11
教材 68页 B组 1, 2, 4, 7
教学目标：
1、会应用三角函数的定义求给定角的三角函数值，并能判定三角函数值的符号．
2、能应用单位圆中的三角函数线求解简单三角方程与不等式．
3、通过具体例题，体会同角三角函数值之间的内在联系，体会诱导公式与圆的对称性之间的一致性，会运用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行化简、求值、证明.
4、培养学生观察、分析、转化与化归等能力，提高学生逻辑推理、直观想象、数学运算等素养．
教学重点：三角函数定义;同角三角函数的基本关系式和诱导公式．
教学难点：灵活应用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行代数式的恒等变形．
教学过程：
一、知识结构
本章的主要内容及其它们之间的关系可以用如下知识结构图表示：
本节课，我们重点复习任意角的三角函数。本部分的内容可以分为两块，一块是任意角的概念与弧度制，另一块是任意角的三角函数，下面我们先来回顾一下本部分的核心知识：
二、核心知识
1、任意角的概念与弧度制：
（1）任意角的概念：
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.
规定：逆时针方向旋转而成的角称为正角；顺时针方向旋转而成的角称为负角；没有旋转时，称为零角.
经过推广后，角就包括正角、负角、零角.
由于旋转的绝对量是任意的，因此角的大小是任意的.
终边相同角的集合：
（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α，则：
扇形的弧长公式：
角度与弧度的转换：
2、任意角的三角函数：
（1）定义：设是任意角，P(x, y)是终边上异于原点的任意一点，P与原点的距离.
称为角的正弦，记作，即；
称为角的余弦，记作，即；
称为角的正切，记作，即（终边不在y轴上，即）
（2）几何表示：单位圆与三角函数线：
正弦线： 余弦线： 正切线：
（3）任意角的三角函数在各象限的符号：
记忆规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
3、两组公式：
（1）同角三角函数的基本关系式：
平方关系：
商数关系：,
（2）诱导公式：(PPT展示）
注意：公式中的是使公式两边有意义的任意一个角
前四组公式的特点：符号看象限，函数名不变；
后四组公式的特点：符号看象限，函数名改变.
8组诱导公式可以统一成形式“”.
当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，
然后前面加一个把α看作锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”
诱导公式的本质是单位圆中具有对称关系的两个角的三角函数值之间的关系，公式中的角可以为任意角。例如，与的终边关于y轴对称，由三角函数线知，它们的正弦值相等、余弦值与正切值均互为相反数.为了记忆方便，我们只是把看作锐角而已.
三、典型例题
例1、（1）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
（2）若角的终边落在直线上，求，和的值．
解析：（1）由题知，r＝＝，
因为sin θ＝＝＝－<0，所以y<0，解得y＝－8.
解析：（2）由题知，角的终边可能在第二象限或者第四象限.
i)当角的终边在第二象限时，取，则,，
所以，，．
ii)当角的终边在第四象限时，取，则,，
所以，，．
综上知，当角的终边落在第二象限时，，，．
当角的终边落在第四象限时，，，．
【总结反思】任意角的三角函数的定义是三个比值，只与角的大小有关，而与点P在角的终边上的位置无关，因此利用定义求值时可以在终边上取特殊点，从而简化运算.
例2 求函数的定义域．
解析：方法一：利用三角函数线
由题意知即
如图，结合三角函数线知：
解得，
∴函数的定义域为.
方法二：利用三角函数的图像
由题意知即
结合正弦曲线、余弦曲线、直线的图像知，
解得
∴函数的定义域为．
【总结反思】三角函数线是任意角的三角函数值的几何表示，可以利用三角函数线直观地判断三角函数值的符号，比较三角函数值的大小，以及求解三角方程不等式等．
例3 已知是三角形的内角，且．
(1)求的值；(2)求的值．
解析：(1)联立方程得（方程的思想）
由①得，将其代入②，整理得，
∴，又∵是三角形内角，∴，∴，，
∴．
解析：(2)法一：由（1）知，，，
∴
法二：∵，（转化与化归的思想）
又∵，
∴．
法三：∵，∴，即，
∴，
∴．
∵，且，∴，∴，
∴，
∴.
本题主要考察三角求值问题——给值求值。主要用到了同角三角基本关系对表达式进行三角恒等变换。对于类似的三角恒等变换问题，我们要特别关注两个问题：一是如何获取解题思路？二是如何灵活使用公式？
【总结反思】（1）利用公式解决三角恒等变换问题思路的获得：三看：看角、看名、看式（结构特征）
（2）公式的三用：正用、逆用、变形用.
（3）（本题的解决）两种思想做主导：方程思想、转化与化归思想
例4（1）若，且是第三象限角，则
（2）若，则_______．
解析：（1）∵，又∵是第三象限角，
∴，，
∴
解析：（2），
.
变式：若，，则_______．
解析：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴.
【总结反思】在运用诱导公式时，要特别注意：角α为任意角，把角α看作锐角只是一种记忆方法。
四、课堂练习：
1. 已知是角终边上一点，则 的值等于（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
2．函数的定义域为__________.
3．如果已知，则=_______.
4．若，且是第三象限角，则＝( )
A．1 B．7 C．－7 D．－1
【答案】1.A 2.3.4.B
五、课堂小结：
下面我们来对本节课的学习做一个总结，在学习任意角的三角函数的定义有关内容时，我们有以下几点需要注意：
1、任意角的三角函数:（数、形两个角度的理解与应用）
2、利用同角基本公式、诱导公式解决恒等变换问题：
（1）解题思路：
（2）公式应用：
3、思想方法：数形结合的思想、方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想
六、课后作业：
教材 66页 A组 4, 5, 7,11
教材 68页 B组 1, 2, 4, 7