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宝山区 2019 学年第二学期期中
初三年级数学学科教学质量监测试卷
一、选择题
1. 下列计算正确的是（ ）
A. ab b a? = B. 2 3 5a a a+ = C. 3 2a a a? = D. ( )
3
2 5a a=
2. 关于 x 的方程 2 2 0x x k? ? = 有实数根，则 k的取值范围是（ ）
A. 1k ? ? B. 1k ? ? C. 1k ? ? D. 1k ? ?
3. 为备战奥运会，甲、乙、丙、丁四位优秀短跑选手参加训练，近期的 10 次百米测试平均成绩都是 10.3
秒，但他们成绩的方差分别是 0.020、0.019、0.021、0.022（单位：秒
2
）则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 下列四边形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
A. 矩形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 平行四边形
5. 如右图，矩形 EFGH内接于 ABC ，且边 FG落在 BC上，如果 AD BC⊥ ，BC=3，AD=2，EF:EH=2:3，
那么 EH的长为（ ）
A.
1
2
B.
3
2
C.
12
13
D. 2
6. 如右图，点 A 的坐标为（0,1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等腰直角 ABC ，使∠
BAC=90°，如果点 B的横坐标为 x ，点 C的纵坐标为 y，那么表示 y与 x 的函数关系的图像大致是（ ）
D G
E
A
B CF
H
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二、填空题
7. 计算：2020 的相反数是____________
8. 计算： ( )( )m n m n? + ____________
9. 分解因式： 2 4 4a a? + =____________
10. 方程 1 1x x+ ? = 的解是____________
11. 一组数据 3、12、8、12、20、9 的众数为____________
12. 一个不透明的盒子中装有 9 个大小相同的乒乓球，其中 3 个是黄球，6 个是白球，从该盒子中任意摸
出一个球，摸到白球的概率是____________
13. 如果抛物线 ( ) ( )
2
1y x m m= ? + + 的顶点在第二象限，那么 m的取值范围为____________
14. 如图 1，点 A的坐标是（2,0）， ABO 是等边三角形，点 B在第一象限，若反比例函数
k
y
x
= 的图像
经过点 B，则 k的值是____________
15. 如果在平行四边形 ABCD 中，如果 ,AB a AD b= = ，那么向量 AC 为____________（用a 和b 表示）
16. 如图 2，点 D 是 ABC 的边 AB 上一点，如果∠ACD=∠B，并且 : 1: 3AD AC = ，那么
AD:BD=____________
17. 将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF，若 AB=4，BC=2，那么线段 EF 的长为
____________
18. 如图 3，在 ABC中，AB=AC=5，
3
tan
4
B = ，将 ABC 绕点 B逆时针旋转，得到 1 1A BC ，当点 1C
在线段 CA延长线上时 1ABC 的面积为____________
三、解答题
19. 计算：
1
cot 45 1
2cos 45
33 2
?
? ? ?
? ?+ ?? ?
? ? ?
x
y
图1
B
AO
图2
A
B C
D
图3
B C
A
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20. 解方程：
2
2 1
1
1 1x x
+ =
? +
21. 已知：如图 4， O 与 P 相切于点 A，如果过点 A的直线 BC交 O 于点 B，交 P 于点 C，OD AB⊥
于点 D，PE AC⊥ 于点 E.
求：（1）
DE
BC
的值；
（2）如果 O 和 P 的半径比为 3:5，求
AB
AC
的值.
22. 在抗击新冠状病毒战斗中，有 152 箱公共卫生防护用品要运到 A、B 两城镇，若用大小货车共 15 辆，
则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为 12 箱/辆和 8 箱/辆，其中
用大货车运往 A、B两城镇的运费分别为每辆 800 元和 900 元，用小货车运往 A、B两城镇的运费分别
为每辆 400 元和 600 元.
（1）求这 15 辆车中大小货车各多少辆?
（2）现安排其中 10 辆货车前往 A 城镇，其余货车前往 B 城镇，设前往 A 城镇的大货车为 x 辆，前往 A、
B两城镇总费用为 y元，试求出 y与 x 的函数解析式，若运往 A城镇的防护用品不能少于 100 箱，请你
写出符合要求的最少费用.
E
D
O
P
A
B
C
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23. 如图 5，E、F分别是正方形 ABCD的边 DC、CB的中点，以 AE为边作正方形 AEHG，HE与 BC交
于点 Q，联结 AQ、DF.
（1）求证： AE DF⊥ ；
（2）设
1 2 3, ,CEQ AED EAQS S S S S S= = = ，求证 1 2 3S S S+ = .
24. 如图 6，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ( )2 2 3 0y ax ax a a= ? ? ? 与 x 轴交于 A、B两点（点 A
在点 B的左侧），经过点 A的直线 :l y kx b= + 与 y轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，
且 CD=4AC.
（1）直接写出点 A的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b用含a 的式子表示）；
（2）点 E是直线 l 上方的抛物线上的动点，若 ACE的面积的最大值为
5
4
，求a 的值；
（3）设 P是抛物线的对称轴上的一点，点 Q在抛物线上，当以点 A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，
请直接写出点 P的坐标.
G
H F
EC D
B A
x
y
l
图6
D
B
A
O
E
C
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25. 如图 7，已知：在直角 ABC中，∠ACB=90°，点M在边 BC上，且 AB=12，BM=4，如果将 ABM
沿 AM所在的直线翻折，点 B恰好落在边 AC上的点 D处，点 O为 AC边上的一个动点，联结 OB，
以 O为圆心，OB为半径作 O ，交线段 AB于点 B和点 E，作∠BOF=∠BAC交 O 于点 F，OF交线
段 AB于点 G.
（1）求点 D到点 B和直线 AB的距离；
（2）如果点 F平分劣弧 BE，求此时线段 AE的长度；
（3）如果 AOE 为等腰三角形，以 A为圆心的 A与此时的 O 相切，求 A的半径.
E
D
M
D
M
B
A
B
C
C
O
G
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参考答案
1-6、CBBDBA
7、 2020? 8、 2 2m n? 9、 ( )
2
2a? 10、 1x =
11、12 12、
2
3
13、 1 0m? ? ? 14、 3
15、a b+ 16、1: 2 17、 5 18、
468
25
19、 3 3? 20、 2x = （ 1x = ? 是增根）
21、（1）
1
2
；（2）
3
5
22、（1）大货车 8 台，小货车 7 台；（2） 100 9400y x= + （3 8x? ? ），最少费用为9900元
23、证明略
24、（1） ( )1,0A ? ， y ax a= + ；（2）
2
5
a = ? ；（3）
26 7
1,
7
? ?
?? ?? ?
? ?
或 ( )1, 4? ；
25、（1）
12 10
5
DB = ，到直线的距离为：
36
5
；（2）
84
25
；（3）
60
13
或 20
