中考数学二次函数综合题微复习学案（含简单答案）

微复习：二次函数综合题目总结（一）：
二次函数综合题目历来被出题者青睐，现对基础题型及解法总结如下：
题型一：线段和最小：
我个人把它叫做一动（点）两定（点）问题。一般动点所在的位置有两种：一种是动点在对称轴上；一种是动点在坐标轴上。
这类题的解题思路是：找一定点关于动点所在直线的对称点，连接另一定点和对称点的线段就是所求线段。
变式题：找构成的三角形周长最小。解题思路为：三角形的三边中有一条边长固定，另两条边长不固定。不固定的按线段和最小的方法进行处理就好。

例1：如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，.顶点为D
（1）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点的坐标；
（2）若点在x轴上，使点C+PD最小，求出点的坐标；
（3）在该抛物线的对称轴上，是否存在点N，使△ANC的周长最小？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；


题型二：线段最长：属于两个动点问题，
问题：过动点向x轴上作垂线，与一次函数图像和二次函数图像分别有交点，求这两个交点的长度的最值，就是此类问题。
解题思路是：用这两个交点的纵坐标相减（哪个交点在上，就用哪个交点纵坐标减去另一个交点纵坐标），得到一个二次函数解析式，求出最值即问题解决。抓好线段最长这条直线就可以解决有关面积最大的基本问题。
变式题：求围成的三角形面积最大时：以动点所在的线段为底，高为定值，根据三角形面积公式列出代数式，问题可解决；
求围成的四边形面积最大时：用分割法，把四边形分割成几个三角形的面积和（差）进行求解。
例2：如图，直线y=x+2与抛物线y=2x2﹣8x+6相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
问：是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； ．


例3、如图，已知抛物线y=x2+2x+1经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；




题型三：形成特殊三角形：等腰三角形和直角三角形
解题思路是：用字母分别表示出构成三角形的三边的长度，
构成等腰三角形：分别让三边中的两条边两两相等；
构成直角三角形：分别让三边为斜边，根据勾股定理列出方程，即可。
若题目中有特殊要求的，按题目中的要求去做。
例4：如图，直线y=x+2与抛物线y=2x2﹣8x+6相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
问：求△PAC为直角三角形时点P的坐标．


例5：如图，已知二次函y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．


题型四：形成相似三角形：相似三角形存在的形式一般有：A字型和旋转型两种。
解题思路是：一般是利用两角对应相等，两三角形相似。判断角相等一般找公共角或线平行；特殊情况要依据：对应边成比例且夹角相等进行判定。
例6：如图，已知抛物线y=x2+2x+1经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），
点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
问：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．




例7：如图，抛物线y=x2?2x+3与x轴交于点A（?1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，?3）。点P、Q是抛物线上y=x2?2x+3的动点。
（1）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标。
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值。


题型五：形成特殊平行四边形：
解题思路是：利用特殊平行四边形对边分别相等且平行的性质进行判断。
讨论：动点所在的线段为对边和对角线两种情况。
例8：在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是
（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．若经过点C、A、A′，的抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；
问：若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标．



例9：已知抛物线y=-x2-2x+3经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
问：过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．






题型六：根据所给的两角相等，求对应的点的坐标：
解题思路是：一般的处理是，利用三角形相似，找到对应边的比进行解决

例:10：如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．若点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

　









例11、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3）．如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标；






中考在线：
1、如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．



2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4,3),与y轴相交于点B（0,-5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.
(1)求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求出直线AB的表达式；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.











3、如图，抛物线y=x2-x-4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．









4、已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．





部分参考答案：
题型一：线段和最小；

题型二：线段最长： 例2： 当n=时，线段PC最大且为．
例3：当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，此时点P（﹣，﹣）
题型三：构成特殊的三角形
例4：△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
例5：当n=时，PM最大=； P（1，﹣4）或（，﹣2﹣1）．

题型四：形成相似三角形：例6：Q（﹣4，1）Q（3，1）．
例7：（1））Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，）。
（2）S△POD的最大值为
题型五：形成特殊平行四边形：
例8：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；
例9：正方形
题型六：根据所给的两角相等，例10：
例11：∴P1（，），P2（，）
中考在线：1、（1）抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．

2、 y=2x-5.
P(6,1)，Q(4,-3);∴P(2,1),Q(4,5);∴P(2,1),Q(4,1).
3、M（，-）
4、：y＝﹣x2+x+4
存在点P，点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．
点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．