人教版八年级下册数学易错题专项训练 18.1 平行四边形测试题（含解析）

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人教版八年级下册易错题专题
18.1 平行四边形
一．选择题（共5小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB＝EA＝EC，那么下列结论正确的个数有（　　）
①∠ACE＝30° ②OE∥DA ③S□ABCD＝AC?AD ④CE⊥DB

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
3．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，OE⊥BD交BC于点E，CD＝1，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若□ABCD的周长为20，OE＝2，则四边形EFCD的周长为（　　）

A．15 B．14 C．13 D．12
5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共3小题）
6．如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为　 ．

7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，－2），点B（3m，2m＋1），点C（6，2），点D．
（1）线段AC的中点E的坐标为　 　；
（2）□ABCD的对角线BD长的最小值为　 　．
8．在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交□ABCD的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，四边形EGFH的形状是　 　；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是　 　；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是　 　；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，四边形EGFH的形状是　 　．



三．解答题（共7小题）
9．如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD、BFCG．又作平行四边形CFHD、CGKE．求证：H，C，K三点共线．








10．已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）楚接BE，DF，求证：BE＝DF．





11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10；
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）求四边形ABCD的面积．





12．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，连结BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．




13．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．


14．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．









15．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC－AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．


参考答案
一.选择题
1.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OD＝DB，
∴∠DCA＝∠CEB，
∵∠DCA＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠CEB，
∴BC＝EC，
∵EB＝EA＝EC，
∴∠ACB＝90°，EC＝BC＝EB，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，故①正确，
∵OD＝DB，AE＝EB，
∴OE∥AD，故②正确，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴AD⊥AC，
∴S□ABCD＝AC?AD，故③正确，
假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，
故选：C．
2.解：A、AD∥BC，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
C、∠A＝∠C，∠B＝∠D能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
D、AB＝AD，CB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
故选：C．
3.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵△ABO是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB，
∴AO＝OC＝BO＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
∴OB＝OC，∠ABC＝90°，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∠BOC＝120°，
∵BO⊥OE，
∴∠BOE＝90°，∠EOC＝30°，
∴∠EOC＝∠ECO，
∴EO＝EC，
∴BE＝2EO＝2CE，
∵CD＝1，
∴BC＝CD＝，
∴EC＝BC＝，
故选：D．
4.解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为20，
∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，
∴CD＋AD＝10，∠OAE＝∠OCF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF＝2，AE＝CF，
则EFCD的周长＝ED＋CD＋CF＋EF＝（DE＋CF）＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝10＋4＝14．
故选：B．
5.解：在□ABCD中，AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA；
E、F分别是边AD、BC的中点，
∴AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，故①正确，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△BCG，△CHF∽△AHD，
∴AG：GC＝EG：BG＝AE：BC，CH：AH＝CF：AD，
∵E，F分别是边AD，BC中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE：BC＝1：2，CF：AD＝1：2，
∴EG：BG＝AG：CG＝1：2，CH：AH＝1：2，
∴AG＝CH＝AC，2EG＝BG，故③正确；
∴AG＝GH＝CH，故②正确．
∵S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，
∴S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，故④正确．
故选：D．

二.填空题
6.答案：或.
【解答】解：取BC、AB的中点H、G，理解MH、HG、MG．
如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，

由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝－x，
在Rt△HNC中，∵HN2＝HC′2＋NC′2，
∴（－x）2＝x2＋（）2，
解得x＝．
如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，

在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，
∴GC′＝，
∵△HNC′∽△GC′M，
∴，
∴＝，
∴x＝．
如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2．

此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．
综上所述，满足条件的线段CN的长为或．
故答案为为或．
7.答案：
（1）（3，0）；
（2）.
【解答】解：（1）∵点A（0，－2），点C（6，2），
∴线段AC的中点E的坐标为（3，0）
故答案为（3，0）．

（2）解：如图，∵点B（3m，2m＋1），
∴令 ，
∴y＝x＋1，
∴B在直线y＝x＋1上，
∴当BD⊥直线y＝x＋1时，BD最小，
过B作BH⊥x轴于H，则BH＝2m＋1，
∵BE在直线y＝x＋1上，且点E在x轴上，
∴E（－，0），G（0，1），
∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，
∴F是AC的中点，
∵A（0，－2），点C（6，2），
∴F（3，0）．
在Rt△BEF中，∵BH2＝EH?FH，
∴（2m＋1）2＝（3m＋）（3－3m），
解得：m＝或－（舍弃），
∴B（，），
∴BF＝＝
∴BD＝2BF＝，
则对角线BD的最小值是；
故答案为．

8.答案：
（1）平行四边形；
（2）菱形；
（3）菱形；
（4）正方形；
【解答】解：（1）结论：四边形EGFH是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AE∥CF，
∴∠AEO＝∠CFO，∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，同理可证：OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形；
（3）菱形；
由（2）知四边形EGFH是菱形，
当AC＝BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；
（4）四边形EGFH是正方形；
证明：∵AC＝BD，
∴□ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴□ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF＝90°；
∠BOG＋∠BOF＝∠COF＋∠BOF＝90°
∴∠BOG＝∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，
∴GH＝EF；
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF＝GH，
∴四边形EGFH是正方形．
故答案为：平行四边形，菱形，菱形，正方形；


三.解答题
9.证明：如图，连接DE交AC于N，连接EG交KC于M，连接DF交CH于Q，连接FG交BC于J，连接MN，NQ，QJ，JM，DG．

∵四边形AECD是平行四边形，
∴EN＝ND，同法可证：EM＝MG，
∴MN∥DG，MN＝DG，
同法可证：QJ∥DG，QJ＝DG，
∴MN∥QJ，MN＝QJ，
∴四边形MNQJ是平行四边形，
∴NJ与MQ互相平分，
∵AC＝BC，AN＝CN，CJ＝BJ，
∴M、C、Q共线，
∴H，C，K三点共线．
10.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，∵OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
11.（1）证明∵∠DBC＝90°，BE＝3，BC＝4，
∴BC＝＝＝5，
又∵AE＝AC－CE，且AC＝10
∴AE＝10－5＝5
∴AE＝EC，又DE＝EB
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：S平行四边形ABCD＝BC?BD＝4×6＝24．
12.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，
∵E，F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）菱形，
证明：∵边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，CD∥AB，
∴DF∥EB，
∵E，F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵∠ADB＝90°，
∴DE＝AB，
∴DE＝EB，
∴四边形DEBF是菱形．
13.解：（1）∵AH＝3，HE＝1，
∴AB＝AE＝4，
又∵Rt△ABH中，BH＝＝，
∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝2；
（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，

则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠MAC＝∠NGC＝45°，
∵AB＝AE，
∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，
又∵AE⊥BG，
∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，
∴∠MAE＝∠NBG，
设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°＋α，∠BGA＝∠GCN＋∠GBC＝45°＋α，
∴AB＝BG，
∴AE＝BG，
在△AME和△BNG中，
，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME＝NG，
在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，
∴GC＝NG＝ME＝BE，
∴BE＝GC，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF＝CE，
∴AD－AF＝BC－EC，即DF＝BE，
∴DF＝BE＝CG．
14.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
在△DEO和△BOF中，

∴△DOE≌△BOF．
（2）解：结论：四边形EBFD是矩形．
理由：∵OD＝OB，OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD＝EF，
∴四边形EBFD是矩形．

15.（1）证明：如图1中，

∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，∵AE⊥BD，
∴BE＝DE，∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝(AC－AD)＝（AC－AB）．
（2）结论：EF＝（AB－AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．

∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠PAE＋∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AP，∵AE⊥BD，
∴BE＝PE，∵BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP－AC）＝（AB－AC）．







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