2.3 等差数列的前n项和第1课时 等差数列的前n项和公式
题型一 等差数列前n项和公式的基本运算
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
题型二 由数列{an}的前n项和Sn求an
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
引申探究
若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
题型三 等差数列在实际生活中的应用
例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
【课堂练习】
1．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于( )
A．2300 B．2400 C．2600 D．2500
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2 B．3 C．6 D．7
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
4．已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和．若S4＝20，a4＝8，则S8＝________.
5．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝________.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋)．
3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝
【巩固提升】
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18 B．27 C．36 D．45
2．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )
A．200 B．100 C．90 D．70
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an-1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于( )
A．27 B. C．45 D．－9
4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A．10000 B．8000 C．9000 D．11000
5．在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于( )
A. B．2 C. D．4
6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665 C．763 D．663
7．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于( )
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，则a2＋a18等于( )
A．36 B．35 C．34 D．33
二、填空题
9．在等差数列{an}中，an＝2n＋3，n∈N＋，前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，则a－b＋c＝________.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200·，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.
11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
12．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
三、解答题
13．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)已知a2＋a4＝，求S5.
14．已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－(n∈N＋)．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
15．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
2.3.1答案
例1
解 (1)方法一 由已知条件得
解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
方法二 由已知条件得
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝＝5×42＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，
∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
跟踪训练1 解 由得
解方程组得或
例2 解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N＋)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－， ①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N＋.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
引申探究
若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－. ①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．
∴an＝
跟踪训练2 解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝3n－3n-1＝2·3n-1.
当n＝1时，代入an＝2·3n-1得a1＝2≠3.
∴an＝
例3 解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1000×1%＝60，
a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1105，
即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．
反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪训练3
解 (1)设n分钟后两人第1次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.
解得n＝7，n＝－20(舍去)．
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去)．
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
课堂练习 DB 190 72 3ｎ＋３
巩固提升
８CBAAABDC
9.-3
10.100
11.15
12.10
13. 解 (1)方法一 ∵a6＝10，S5＝5，
∴解得∴a8＝a6＋2d＝16.
方法二 ∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3(a1＋10)＝15.
∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.
(2)方法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，
∴a1＋2d＝.
∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24.
方法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，
∴S5＝＝×＝24.
14．
(1)证明 当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn-1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．
所以4an＝a－a＋2an－2an-1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
因为an＋an-1>0，所以an－an-1＝2(n≥2)．
所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N＋.
15．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3
∴∴∴an＝4n－3，n∈N＋.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－ (c＝0舍去)．
经检验，c＝－符合题意，∴c＝－.
2.3第2课时 等差数列前n项和的性质
题型一 等差数列前n项和的性质的应用
例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
跟踪训练1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．
题型二 求等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
题型三 求数列{|an|}的前n项和
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
用数形结合思想求解数列中的参数问题
典例 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
【课堂练习】
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．35 C．49 D．63
2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋3n，p－q＝5，则ap－aq＝________.
1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
(1)Sn＝n·； (2)Sn＝n2＋n； (3)＝n＋.
2．求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数 法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
【巩固提升】
一、选择题
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13
2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为( )
A．160 B．180 C．200 D．220
3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2016，Sk＝S2008，则正整数k为( )
A．2017 B．2018
C．2019 D．2020
5．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知{an}为项数为2n＋1的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A. B. C. D.
7．已知等差数列{an}中，a1009＝4，S2018＝2018，则S2019等于( )
A．－2019 B．2019
C．－4038 D．4038
8．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为( )
A．22 B．21 C．20 D．19
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n等于( )
A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题
10．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，则它的通项公式是______________________．
11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
12．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.
13.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.
三、解答题
14．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值．
15．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
第2课时 等差数列前n项和的性质答案
例1
解 (1)方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝＝＝.
跟踪训练1
解 设Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴Sn＝－n2＋n.
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.
例2
解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴二次函数f(x)＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
跟踪训练2
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋)．
(2)方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
例3
解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝
跟踪训练3 解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24，得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋)．
由an≥0，解得n≤5，则
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
故Tn＝
典例
课堂练习 CBBB 20
巩固提升
1—9 DBBCBBCCB
10.答案 an＝
11. 4或5
12．
13．
14.解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，
得解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N＋.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
15．
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N＋.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Tn＝
