专题01 最值问题
题型总结
几何最值题型主要分为五类：
①点到直线垂线段最短；
②勾股定理最值；
③三角形边角关系最值，隐形圆最值；
④轴对称最值；
⑤圆中所有弦中直径最长。
该类题型是2013年以后开始在中考中高频出现的热考考点，难度一般都比较大。
真题在线与解法总结
年份：2011年 考向：几何最值:三角形边角关系
22. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.
(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
图① 图② 图③
解法总结：
三角形边角关系最值
特征：单线段求最值（最大和最小均可），题目中存在旋转动态
做法：连接最值线段两端点到旋转点，构造旋转动态三角形
最值：另外两边之差≤最值边≤另外两边之和
年份：2013年 考向：几何最值:圆中所有弦中直径最长
10. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点．在以下判断中，不正确的是( )
A. 当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B. 当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C. 当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D. 当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
年份：2015年 考向：几何最值:勾股定理最值
20. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ长；
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
第20题图
解法总结：
勾股定理最值
特征：单线段求最值，两个端点都是动点，且在一个动态三角形中
做法：根据勾股定理：a?+b?=c?
最值：当一直角边固定时，若求另一直角边的最值，则转化为求斜边的最值，另一直角边越大则斜边越大，另一直角边越小则斜边越小；
当一斜边固定时，若求一直角边的最值，则转化为求另一直角边的最值，一直角边越大则另一直角边越小，一直角边越小则另一斜边越大。
年份：2016年 考向：几何最值:隐形圆最值
10. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
A. B. 2 C. D.
解法总结
一般隐形圆最值
解题技巧：
特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角
做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆
最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径
年份：2017年 考向：几何最值:轴对称最值
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（ ）
A. B. C．5 D.
解法总结：
轴对称最值
特征：一直线(线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值
直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点
做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点
最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值
年份：2019年 考向：几何最值:轴对称最值
10.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12.点P在正方的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是 ( )
A. 0 B.4 C.6 D. 8
对应练习
1.如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．
2.（2017·辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为
A．4 B．5 C．6 D．7
3.如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
4.（2018·山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为
A．3 B．4 C． D．
5.（2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是
A． B．2 C． D．4
6.（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是
A．6 B． C． D．4.5
7.（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为
A． B． C． D．
8.（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是
A． B． C．6 D．3
9.（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ．
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．
11.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值．
12.（2017四川德阳）如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
13.（2014成都中考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．
14.（2016淮安中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
15.（2018相城区一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．
16.已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．
17.（2013武汉中考）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．
18.如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 ．
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．
20.（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 ．
21.如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．
23.如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
专题01最值问题
题型总结
几何最值题型主要分为五类：
①点到直线垂线段最短；
②勾股定理最值；
③三角形边角关系最值，隐形圆最值；
④轴对称最值；
⑤圆中所有弦中直径最长。
该类题型是2013年以后开始在中考中高频出现的热考考点，难度一般都比较大。
真题在线与解法总结
年份：2011年 考向：几何最值:三角形边角关系
22. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.
(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
图① 图② 图③
【解析】 (1)证明：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，
∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，
∴∠A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.
∴△A′CD是等边三角形．.............(5分)
(2)证明：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝ .
又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.
∵＝tan30°＝，
∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3. .............(9分)
(3)解：120，. .............(12分)
解法总结：
三角形边角关系最值
特征：单线段求最值（最大和最小均可），题目中存在旋转动态
做法：连接最值线段两端点到旋转点，构造旋转动态三角形
最值：另外两边之差≤最值边≤另外两边之和
年份：2013年 考向：几何最值:圆中所有弦中直径最长
10. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点．在以下判断中，不正确的是( )
A. 当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B. 当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C. 当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D. 当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
【解析】
选项 逐项分析 正误
A 当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，O既是等边△ABC的内心，也是外心，所以∠ABP＝∠CBP，根据圆周角性质，＝，所以PA＝PC，故△APC为等腰三角形 √
B 当△APC是等腰三角形时，点P是的中点或与点B重合，由垂径定理可得PO⊥AC √
C 当PO⊥AC时，由点P是的中点或与点B重合，易得∠ACP＝30°或∠ACP＝60° ×
D 当∠ACP＝30°时，分两种情况：1. 点P是的中点，则BP为直径，根据圆周角定理可得：∠BCP＝90°； 2. 点P是的中点，则CP为直径，∠CBP＝90°.两种情况都可以得到△BPC是直角三角形 √
年份：2015年 考向：几何最值:勾股定理最值
20. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ长；
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
第20题图
【解析】(1)解：∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB.
在Rt△OPB中，OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan30°＝. ............(3分)
如解图①，连接OQ，在Rt△OPQ中，
PQ＝＝＝. ..........(5分)
(2)解：如解图②，连接OQ，∵OP⊥PQ，
∴△OPQ为直角三角形，
∴PQ2＝OQ2－OP2＝9－OP2，
∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC. ..........(7分)
OP＝OB·sin∠ABC＝3·sin30°＝.
∴PQ长的最大值为＝. ...........(10分)
图① 图②
第20题解图
解法总结：
勾股定理最值
特征：单线段求最值，两个端点都是动点，且在一个动态三角形中
做法：根据勾股定理：a?+b?=c?
最值：当一直角边固定时，若求另一直角边的最值，则转化为求斜边的最值，另一直角边越大则斜边越大，另一直角边越小则斜边越小；
当一斜边固定时，若求一直角边的最值，则转化为求另一直角边的最值，一直角边越大则另一直角边越小，一直角边越小则另一斜边越大。
年份：2016年 考向：几何最值:隐形圆最值
10. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
A. B. 2 C. D.
【解析】如解图，∵∠PAB＝∠PBC，∠ABC＝90°，∴∠BAP＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P始终在以AB的中点O为圆心，以OA＝OB＝OP＝AB＝3为半径的圆上，由解图知，只有当在点P在OC与⊙O的交点处时， PC的长最小．在Rt△OBC中，OC＝＝＝5，∴P′C＝OC－OP′＝5－3＝2，∴线段CP长的最小值为2.
第10题解图
解法总结
一般隐形圆最值
解题技巧：
特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角
做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆
最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径
年份：2017年 考向：几何最值:轴对称最值
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（ ）
A. B. C．5 D.
【解析】如解图所示，设△PAB底边AB上的高为h，∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴·AB·h＝·AB·AD，∴h＝2，为定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CD于F，故P点在直线EF上 ，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，交直线EF于点P，此时PA＋PB最小，且PA＋PB＝A′B＝＝＝.
第10题解图
解法总结：
轴对称最值
特征：一直线(线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值
直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点
做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点
最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值
年份：2019年 考向：几何最值:轴对称最值
10.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12.点P在正方的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是 ( )
A. 0 B.4 C.6 D. 8
【解析】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12， ∴EC=8，FC=4=AE，
∵点M与点F关于BC对称， ∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45°，∴∠ACM=90°
∴EM=,
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为＜9,
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=12,
∴点P在CH上时，＜PE+PF≤12,
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF=,
∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF,
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE=BF=,
∴PE+PF=,
∴点P在BH上时，＜PE+PF＜
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9． 即共有8个点P满足PE+PF=9， 故选D．
对应练习
1.如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．
【解析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．
当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．
2.（2017·辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C’，当C’、P、D共线时，PC+PD最小，最小值为5，故选B．
3.如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
【解析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值．
过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7．
4.（2018·山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为
A．3 B．4 C． D．
【解析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C．
5.（2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是
A． B．2 C． D．4
【解析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’．
因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．
6.（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是
A．6 B． C． D．4.5
【解析】此处P为折点，作点M关于AC的对称点M’，恰好在AD上，化折线EP+PM为EP+PM’．
当E、P、M’共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：AC·BD/2=BC·EM’
7.（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为
A． B． C． D．
【解析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处E为折点，作F关于AB对称点F’，则BF’=BF=DH=CM，∴MF’=BC=5，MH=DC=10，∴HF’为5倍根号5，周长最小值为10倍根号5，故选B．
8.（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是
A． B． C．6 D．3
【解析】此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P’、P’’，化△PMN周长为P’N+NM+MP’’．
当P’、N、M、P’’共线时，得最小值，利用60°角翻倍得∠P’OP’’=120°，OP’=OP’’=OP，可得最小值．
9.（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ．
【解析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M’如图所示，连接PM’，化PM+PN为PM’+PN．
当M’、P、N共线时，得最小值，又∠M’ON=60°且ON=2OM’，可得∠OM’N=90°，故P点坐标可求．
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．
【解析】考虑PQ、AE为定值，故只要AP+QE最小即可，如图，将AP平移至A’Q，考虑A’Q+QE最小值．
作点A’关于x轴的对称点A’’，连接A’’E，与x轴交点即为Q点，左移2个单位即得P点．
11.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值．
【解析】此题难点在于要得到AF与CE之间的关系，方能将这两条线段联系到一起．过点E作EH⊥CD交CD于H点，由相似可得：FH=1．
连接BH，则BH=CE
问题转化为BH+AF最小值．
参考将军遛马的作法，作出图形，得出AF+BH=A’H+B’H=A’B’=5．
12.（2017四川德阳）如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
【解析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．
连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．
13.（2014成都中考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．
【解析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．
连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．
构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．
14.（2016淮安中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
【解析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．
过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．
15.（2018相城区一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．
【解析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．
连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．
16.已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．
【解析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？
考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．
连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．
思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．
17.（2013武汉中考）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．
【解析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，
所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧
当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．
18.如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 ．
【解析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．
当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．
【解析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．
取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．
连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，．
20.（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 ．
【解析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．
重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．
∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．
记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．
21.如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．
【解析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．
考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．
【解析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．
考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．
连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．
23.如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
【解析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．
所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．
所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）
当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．
