专题03 多情况分析
题型总结
通过分析对比，可以看出：
多情况分析题型主要分为五类：
①直角三角形存在性讨论；
②等腰三角形存在性讨论；
③特殊点、特殊位置讨论；
④特殊四边形存在性讨论；
⑤代数相关的多情况分析讨论。
该类题型是2017年以后开始在中考中每年必出的必考考点，难度一般都比较大。
真题在线
年份：2017年 考向：多情况分析--特殊图形判断
14．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图1)，剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形．则所得平行四边形的周长为________ cm.
【答案】 40或
【解析】在Rt△ABC中，AC＝30，∠C＝30°，可得AB＝BE＝10，由对称性可知∠ABD＝∠EBD＝30°，∴在Rt△ABD中，AD＝10，∴AD＝DE＝10，CD＝20.a.如解图①所示，当沿过E点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以AD和DE为邻边的平行四边形ADEF时，∵AD＝DE＝10，∴所得平行四边形ADEF的周长为4AD＝40；
b．如解图②所示，当沿过D点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以∠B为顶角，BD为对角线的平行四边形DFBG时，由折叠性质可得DG＝DF，DF∥AB，∴DF∶AB＝CD∶CA＝2∶3，AB＝10，∴DF＝，∴所得平行四边形DFBG的周长为4DF＝.
第14题解图① 第14题解图②
年份：2018年 考向：多情况分析--特殊图形判断
14. 矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为________．
【答案】3或
【解析】根据△PBE∽△DBC，判断点P一定在对角线BD上；根据△APD是等腰三角形，分为三种情况：DA＝DP，PA＝PD，AP＝AD(此时点P在边AB的延长线上，不合题意)．(1)如解图，当DA＝DP时(点P为图中的点P1，E为图中的点E1)；由题得BD＝＝＝10，BP1＝BD－DP1＝10－8＝2；由△P1BE∽△DBC得P1E∶CD＝P1B∶DB，即P1E∶6＝2∶10，解得P1E＝；(2)如解图，当PA＝PD时(点P为图中的点P2，E为图中的点E2)；由等腰三角形的性质得P2E垂直平分AD(或BC)，那么P2E＝3，∴P2E的长为3或.
第14题解图
年份：2019年 考向：多情况分析--函数图像综合
在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像交于P，Q两点，若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 .
【答案】a＞1或a＜-1
【分析】首先求出y=x-a+1＜0和y=x2-2ax＜0的解集，然后分情况讨论，联立不等式，即可得到a的取值范围.
【解析】解：∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点，且都在x轴的下方，
∴令y=x-a+1＜0，解得x＜a-1，
令y=x2-2ax＜0，当a＞0时,解得：0＜x＜2a；当a＜0时，解得：2a＜x＜0，
①当a＞0时，若有解，则，解得：a＞1，
②当a＜0时，若有解，则，解得：a＜-1，
综上所述，实数a的取值范围是a＞1或a＜-1.
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数与不等式的关系，利用数形结合与分类讨论思想是解题关键.
解法总结
例1、（2018年合肥包河区一模）如图，在△ABC中，已知：AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上一点（P不与点B，C重合），∠DPE＝∠B，且DP边始终经过点A，另一边PE交AC于点F，当△APF为等腰三角形时，则PB的长为 ．
【分析】需要分类讨论：①当AP＝PF时，易得△ABP≌△PCF．
②当AF＝PF时，△ABC∽△FAP，结合相似三角形的对应边成比例求得答案．
③当AF＝AP时，点P与点B重合．
【解析】解：①当AP＝PF时，易得△ABP≌△PCF，则PC＝AB＝6，故PB＝2．
②当AF＝PF时，△ABC∽△FAP，
∴＝＝，即PC＝．
∴PB＝．
③当AF＝AP时，点P与点B重合，不合题意．
综上所述，PB的长为2或．
故答案是：2或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
例2．（2019年安徽省安庆一模）如图，△ABC是一张等腰三角形纸片，且AB＝AC＝6，BC＝4，将△ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，则折痕的长为 ．
【分析】①如图1，过A作AD⊥BC于D，沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论；②如图2，作AC边上的中线BE，过B作BH⊥AC于H，沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，设CH＝x，则AH＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：①如图1，过A作AD⊥BC于D，
沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝2，
∴AD＝＝4；
②如图2，作AC边上的中线BE，过B作BH⊥AC于H，
沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，
设CH＝x，则AH＝6﹣x，
由勾股定理得，BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，
∴42﹣x2＝62﹣（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴BH＝＝，
∴EH＝3﹣CH＝，
∴BE＝＝，
∴折痕的长为或4，
故答案为：或4．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
练习1．（2019年安徽省滁州市定远县一模）如图：在四边形纸片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，连接A'C．若△A'BC恰好是以A'C为腰的等腰三角形，则AE的长为 ．
【分析】过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，由“AAS”可证△ADN≌△BCM，可得AN＝BM，DN＝CM，即可证四边形DCMN是矩形，可得CD＝MN＝2，AN＝BM＝5，由折叠性质可得AE＝A'E，分A'C＝BC和A'C＝A'B两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，
∵AD＝BC＝6，∠A＝∠B，∠DNA＝∠CMB＝90°
∴△ADN≌△BCM（AAS）
∴AN＝BM，DN＝CM，且DN∥CM，DN⊥AB
∴四边形DCMN是矩形，
∴CD＝MN＝2
∴AN＝BM＝＝5
∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，
∴AE＝A'E，
若A'C＝BC，且CM⊥AB
∴BM＝A'M＝5
∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣10＝2
∴AE＝1
若A'C＝A'B，过点A'作A'H⊥BC，
∵CH2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，
∴36﹣25＝A'B2﹣（5﹣A'B）2，
∴A'B＝
∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣＝
∴AE＝
故答案为：1或
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
练习2．（2019年安徽省二十校联盟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 ．
【分析】分两种情况进行讨论：当∠DFE＝90°时，△DEF为直角三角形；当∠EDF＝90°时，△DEF为直角三角形，分别判定△DCF∽△BCD，得到＝，进而得出CF＝，根据线段的和差关系可得CN的长．
【解析】解：分两种情况：
①如图所示，当∠DFE＝90°时，△DEF为直角三角形，
∵∠CDF+∠CFD＝∠EFN+∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝∠EFN，
由折叠可得，EF＝EB，
∴∠EFN＝∠EBN，
∴∠CDF＝∠CBD，
又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，
∴△DCF∽△BCD，
∴＝，即＝，
∴CF＝，
∴FN＝＝，
∴CN＝CF+NF＝+＝；
②如图所示，当∠EDF＝90°时，△DEF为直角三角形，
∵∠CDF+∠CDB＝∠CDF+∠CBD＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD，
又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，
∴△DCF∽△BCD，
∴＝，即＝，
∴CF＝，
∴NF＝＝，
∴CN＝NF﹣CF＝﹣＝，
综上所述，CN的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算．解题时注意分类思想的运用．
练习3．（2019年安徽省阜阳市颍上县一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边AB上一动点（不与A，B两点重合），过点E作EF⊥AB交对角线AC于点F，连接DF．当△ADF是等腰三角形时，AE的长度等于 ．
【分析】分三种情况：①当AF＝AD＝6时，△AEF是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结果；
②当AF＝DF时，△ADF是等厘直角三角形，由勾股定理得出AF，再由勾股定理即可得出结果；
③当AD＝DF时，∠AFD＝45°，此时点F与点C重合，点E与点B重合，不符合题意；即可得出答案．
【解析】解：①当AF＝AD＝6时，△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE，
∴AE＝3．
②当AF＝DF时，△ADF是等厘直角三角形，
∴AD＝AF＝6，
∴AF＝3，
在等腰直角三角形AEF中，AF＝AE，
∴AE＝3．
③当AD＝DF时，∠AFD＝45°，此时点F与点C重合，点E与点B重合，不符合题意；
综上所述，当△ADF是等腰三角形时，AE的长度等于或3；
故答案为：或3．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
练习4．（2019年安徽省合肥市肥东县一模）如图，在△ABC中，已知：AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上一点（P不与点B，C重合），∠DPE＝∠B，且DP边始终经过点A，另一边PE交AC于点F，当△APF为等腰三角形时，则PB的长为 ．
【分析】需要分类讨论：①当AP＝PF时，易得△ABP≌△PCF．
②当AF＝PF时，△ABC∽△FAP，结合相似三角形的对应边成比例求得答案．
③当AF＝AP时，点P与点B重合．
【解析】解：①当AP＝PF时，易得△ABP≌△PCF，则PC＝AB＝6，故PB＝2．
②当AF＝PF时，△ABC∽△FAP，
∴＝＝，即PC＝．
∴PB＝．
③当AF＝AP时，点P与点B重合，不合题意．
综上所述，PB的长为2或．
故答案是：2或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
练习5．（2019年合肥市六区联考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合）．若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为 cm．
【分析】如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，于是得到MN⊥AB，BN＝BN′，根据等边三角形的性质得到＝AC＝BC，∠ABC＝60°，根据线段中点的定义得到BN＝BM＝1，如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．
【解析】解：如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，
则MN⊥AB，BN＝BN′，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，
∵点M为边BC的中点，
∴BM＝BC＝AB＝2，
∴BN＝BM＝1，
如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，
则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，
∵∠ABC＝60°，点M为边BC的中点，
∴BN＝BM＝BC＝AB＝2，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
练习6．（2019年安徽省合肥市庐江县一模）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ ．
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时；
【解析】解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴AQ＝．
②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y．
∵△BQP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴y＝．
综上所述，满足条件的AQ的值为或．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
练习7．（2019年安徽省合肥市瑶海区一模）如图，有一张面积为12的锐角三角形纸片，其中一边BC为4，把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，且矩形的一边与BC平行，则矩形的周长为 ．
【分析】画出符合的两种图形，根据面积求出高AD长，再根据矩形的性质求出四条边的长，即可求出矩形的周长．
【解析】解：①如图①中，作AD⊥BC于D，作线段CD，BD的垂直平分线，可得矩形EFGH．
∵?BC?AD＝12，BC＝4，
∴AD＝6，
∴EF＝GH＝AD＝6，EH＝FG＝2，
∴矩形的周长＝2×（6+2）＝16．
②如图②中，作线段AD的垂直平分线，可得矩形EFBC，
易知OD＝EC＝BF＝3，EF＝BC＝4，
∴矩形EFBC的周长＝2（3+4）＝14，
故答案为16或14．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，矩形的性质，三角形的面积等知识点，能画出符合的两种图形是解此题的关键．
练习8．（2019年安徽省合肥市168中学一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为 ．
【分析】先根据AD＝BC＝4，DF＝CD＝AB＝6，得出AD＜DF，再分两种情况进行讨论：①当FA＝FD时，过F作GH⊥AD与G，交BC于H，根据△DGF∽△PHF，得出＝，即＝，进而解得PF＝﹣6，进而得出DP的长；②当AF＝AD＝4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，根据勾股定理求得FG＝，FH＝6﹣，再根据△DFG∽△PFH，得出＝，即＝，进而解得PF＝﹣6，即可得出PD的长．
【解析】解：∵AD＝BC＝4，DF＝CD＝AB＝6，
∴AD＜DF，
故分两种情况：
①如图所示，当FA＝FD时，过F作GH⊥AD与G，交BC于H，则HG⊥BC，DG＝AD＝2，
∴Rt△DFG中，GF＝＝4，
∴FH＝6﹣4，
∵DG∥PH，
∴△DGF∽△PHF，
∴＝，即＝，
解得PF＝﹣6，
∴DP＝DF+PF＝6+﹣6＝；
②如图所示，当AF＝AD＝4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则
Rt△AFG中，AG2+FG2＝AF2，即AG2+FG2＝16；
Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即（AG+4）2+FG2＝36；
联立两式，解得FG＝，
∴FH＝6﹣，
∵∠G＝∠FHP＝90°，∠DFG＝∠PFH，
∴△DFG∽△PFH，
∴＝，即＝，
解得PF＝﹣6，
∴DP＝DF+PF＝6+﹣6＝，
故答案为： 或．
【点睛】本题是折叠问题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，运用相似三角形的对应边成比例列出方程，求得线段的长．解题时注意分类思想的运用．
练习9．（2019年安徽省合肥市四十五中三模）在矩形，，沿着过矩形顶点的一条直线（不经过点）将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为_____．
【分析】根据题意可得图1、图2两种情况，据此利用勾股定理进一步求解即可.
【解析】①如图1中，当折痕为直线时，
根据折叠性质可得：，
，
即此时折痕长为；
②如图2中，当直线为折痕时，
根据折叠性质可得：，，
在中，
∴，
∴
设，
在中，，
解得，
∴CM=，
综上所述，满足条件的折痕长为或，
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查了四边形折叠问题与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
练习10．（2019年安徽省合肥市四十五中三模）等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为_____．
【分析】分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可.
【解析】解：分四种情形：
①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，
∵∠BAD＝∠CBE，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴BD＝EC＝1，
∴AE＝AC﹣EC＝2；
②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F．
∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
设EC＝CF＝EF＝x，
∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，
∴△ABD∽△BFE，
∴，即，解得x＝，
∴AE＝AC+CE＝；
③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．
∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠CBE，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴EC＝BD＝1，
∴AE＝AC+EC＝4；
④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时，作EF∥AB交BC于F，则△EFC是等边三角形．
设EC＝EF＝CF＝m，
由△ABD∽△BFE，可得，
∴，解得m＝，
∴AE＝AC﹣EC＝，
综上所述，满足条件的AE的值为2或4或或．
故答案为：2或4或或．
【点睛】本题以等边三角形为载体，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，正确分类、不重不漏的画出符合题意的图形、灵活应用全等三角形和相似三角形的判定和性质是解答的关键.
专题03 多情况分析
题型总结
通过分析对比，可以看出：
多情况分析题型主要分为五类：
①直角三角形存在性讨论；
②等腰三角形存在性讨论；
③特殊点、特殊位置讨论；
④特殊四边形存在性讨论；
⑤代数相关的多情况分析讨论。
该类题型是2017年以后开始在中考中每年必出的必考考点，难度一般都比较大。
真题在线
年份：2017年 考向：多情况分析--特殊图形判断
14．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图1)，剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形．则所得平行四边形的周长为________ cm.
年份：2018年 考向：多情况分析--特殊图形判断
14. 矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为________．
年份：2019年 考向：多情况分析--函数图像综合
14.在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像交于P，Q两点，若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 .
解法总结
例1.（2018年合肥包河区一模）如图，在△ABC中，已知：AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上一点（P不与点B，C重合），∠DPE＝∠B，且DP边始终经过点A，另一边PE交AC于点F，当△APF为等腰三角形时，则PB的长为 ．
例2．（2019年安徽省安庆一模）如图，△ABC是一张等腰三角形纸片，且AB＝AC＝6，BC＝4，将△ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，则折痕的长为 ．
练习1．（2019年安徽省滁州市定远县一模）如图：在四边形纸片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，连接A'C．若△A'BC恰好是以A'C为腰的等腰三角形，则AE的长为 ．
练习2．（2019年安徽省二十校联盟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 ．
练习3．（2019年安徽省阜阳市颍上县一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边AB上一动点（不与A，B两点重合），过点E作EF⊥AB交对角线AC于点F，连接DF．当△ADF是等腰三角形时，AE的长度等于 ．
练习4．（2019年安徽省合肥市肥东县一模）如图，在△ABC中，已知：AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上一点（P不与点B，C重合），∠DPE＝∠B，且DP边始终经过点A，另一边PE交AC于点F，当△APF为等腰三角形时，则PB的长为 ．
练习5．（2019年合肥市六区联考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合）．若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为 cm．
练习6．（2019年安徽省合肥市庐江县一模）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ ．
练习7．（2019年安徽省合肥市瑶海区一模）如图，有一张面积为12的锐角三角形纸片，其中一边BC为4，把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，且矩形的一边与BC平行，则矩形的周长为 ．
练习8．（2019年安徽省合肥市168中学一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为 ．
练习9．（2019年安徽省合肥市四十五中三模）在矩形，，沿着过矩形顶点的一条直线（不经过点）将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为_____．
练习10．（2019年安徽省合肥市四十五中三模）等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为_____．
