专题04 规律题
考察规律
一是均匀变化规律，
二是不均匀变化规律，
三是循环变化规律，
四是数字运算规律。
其中均匀变化规律考察最多，主要体现为数式规律寻找和坐标，个数规律寻找；
规律题型是在中考中每年必出的必考考点，难度表面看比较难，在了解各类规律的技巧后，均可快速计算答案，化难为易。
【真题再现】
年份：2010年 考向：循环数规律
9. 下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )
A. 495 B. 497 C. 501 D. 503
【答案】A
【解析】当把3按此规律操作时，不难得出应该是362486248…，除首位的3外，四个一循环，因而(100－1)÷4＝24……3，则这个多位数前100位的所有数字之和是3＋(6＋2＋4＋8)×24＋6＋2＋4＝495.
年份：2011年 考向：循环规律，均匀变化规律
18. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
第18题图
(1)填写下列各点的坐标：A4(____，____)，A8(____，____)，A12(____，____)；
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
【解析】 (1)解：A4(2，0)，A8(4，0)，A12(6，0)；
(2)解：A4n的坐标为(2n，0)；
(3)解：蚂蚁从点A100到点A101的移动方向是向上．
年份：2012年 考向：均匀变化规律
17. 在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f.
(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
第17题图
m n m＋n f
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 5 7
3 4 7
猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是__________________________(不需证明)；
(2)当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否仍然成立．
【解析】 (1)解：表中填6；6.
关系式为f＝m＋n－1.
注：若猜想出的是其他关系式，只要这个关系式对表中每种情况都成立就可酌情给分；
(2)解：当m、n不互质时，关系式f＝m＋n－1不成立．
例如：当m＝2，n＝2时，图形如解图所示．
第17题解图
对角线所穿过的小正方形的个数f＝2，而m＋n＝4，等式f＝m＋n－1不成立．
年份：2013年 考向：均匀变化规律
18. 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，…
第18题图
(1)观察以上图形并完成下表：
图形的名称 基本图的个数 特征点的个数
图① 1 7
图② 2 12
图③ 3 17
图④ 4
… … …
猜想：在图)中，特征点的个数为________(用n表示)；
(2)如图，将图)放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，2)，则x1＝________；图的对称中心的横坐标为________．
【解析】(1)解：22，5n＋2； ...............(3分)
(2)解：，2013. ...............(8分)
【解法提示】正六边形的边长是2，所以边心距为；图②的对称中心在正六边形的一边上，横坐标为2；图③的对称中心是正中间的正六边形的中心，横坐标为3，依此类推，图 的对称中心的横坐标为2013.
年份：2014年 考向：均匀变化规律
16. 观察下列关于自然数的等式：
32－4×12＝5 ①
52－4×22＝9 ②
72－4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
【解析】(1)解：4，17. ....................(4分)
【解法提示】观察所给的三个等式可得：
等式左边第一项分别为32，52，72，……；
第二项为4×12，4×22，4×32，……；
等式右边分别为5，9＝5＋4，13＝9＋4，……；
∴第四个等式第二项为4×42，等式右边为13＋4＝17.
(2)解：第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1，
∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，
∴第n个等式成立． .............(8分)
【解法提示】由①、②、③三个等式可知，等号左边第一项为从3开始的连续奇数的平方，第二项为相应序号数的平方的4倍，等号右边为相应序号数的4倍加1，即：
① 32－4×12＝5＝(2×1＋1)2－4×12＝4×1＋1，
② 52－4×22＝9＝(2×2＋1)2－4×22＝4×2＋1，
③ 72－4×32＝13＝(2×3＋1)2－4×32＝4×3＋1，
…
故第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.
年份：2015年 考向：数字运算规律
13. 按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的关系式是________．
【解析】观察这一列数可得：23＝21·22，25＝22·23，28＝23·25，213＝25·28，…，即从第三个数起每个数都等于前两个数之积 ，由x、y、z表示这列数中的连续三个数，则有xy＝z.
年份：2016年 考向：均匀变化规律，高斯求和规律
18. (1)观察下列图形与等式的关系，并填空：
(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝____________．
【解析】(1)42；n2；(每空2分)
【解法提示】观察每一行图形变换，可以发现，当小球有4行时，小球的总个数＝4×4＝42(个)，∴第一个空填42；根据此规律可知，当小球有n行时，小球的总数＝n·n＝n2，∴第二个空填n2.
(2)2n＋1；2n2＋2n＋1.(每空2分)
【解法提示】在连续的奇数中，2n－1后边的数是2n＋1，∴第一个空填“2n＋1”；由第(1)小题的结论可知，在等式的左边的数中，“2n－1”前面的所有数之和等于n2，后面的所有的数之和也等于n2，∴总和＝n2＋(2n＋1)＋n2＝2n2＋2n＋1，∴等式的右边填“2n2＋2n＋1”．
年份：2017年 考向：数字运算规律
19．【阅读理解】
我们知道，1＋2＋3＋…＋n＝，那么12＋22＋32＋…＋n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22；……；第n行n个圆圈中数的和为，即n2.这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋33＋…＋n2.
第19题图1
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n－1行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________．因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________．
第19题图2
【解决问题】
根据以上发现，计算的结果为________．
【解析】
【规律探究】2n＋1. ..............(3分)
； ................(6分)
； .........(8分)
【解法提示】第n－1行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n，则n－1＋2＋n＝2n＋1；3(12＋22＋32＋…＋n2)＝(1＋2＋3＋…＋n)(2n＋1)＝；12＋22＋32＋…＋n2＝·＝.
【解决问题】1345. .............(10分)
【解法提示】＝＝＝1345.
年份：2018年 考向：均匀变化规律
18. 观察以下等式：
第1个等式：＋＋×＝1，
第2个等式：＋＋×＝1，
第3个等式：＋＋×＝1，
第4个等式：＋＋×＝1，
第5个等式：＋＋×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：______________(用含n的等式表示)，并证明．
【解析】
(1)＋＋×＝1
(2)＋＋×＝1
证明：左边＝＋＋×＝＝＝1；
右边＝1.∴左边＝右边，∴原等式成立．
年份：2019年 考向：均匀变化规律，不均匀变化规律
18.观察以下等式:
第1个等式:，
第2个等式:，
第3个等式:，
第4个等式:，
第5个等式:，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
【解析】
解：（1）第6个等式：
（2）
证明：∵右边左边.
∴等式成立
【技巧总结】
均匀变化规律
方法一：一组数据 a b c d......
前后两个数的差值一致都为k时，这组数据的第n个数是：kn+a-k
方法二：设y=kx+b，以数字序数为x值，数据为y值带入求函数解析式
所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。
不均匀变化规律
方法一：一组数据 a b c d......
①标出前后数据之差，往前顺推一个数m
②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m
③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求）
④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和
⑤所求数据第n项即为：+a-m，化简即可。
方法二：设y=ax?+bx+c，以数字序数为x值，数据为y值带入求函数解析式
所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。
循环数规律
方法：
第一步：找出完整的一组循环数并排序
第二步：拿要求的序数除以一组循环数的个数得出余数
第三步：把余数作为序号找到对应循环数字即为所求
【典型例题】
例1、找出下列各组数的第n个数，用n表示。
（1）：2 6 10 14 ...
（2）：5 8 11 14 ...
【解析】：（1）∵前后两个数字之差均为4，第一个数2-4=-2，∴第n个数是：4n-2
（2）∵前后两个数字之差均为3，第一个数5-3=2，∴第n个数是：3n+2
例2、 为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】：转换为数字为： 8 14 20......
∵前后两个数字之差均为6，第一个数8-6=2，∴第n个数是：6n+2
∴选A
例3、找出下列各组数的第n个数，用n表示。
1 3 6 10 ...
1 2 3 4
【解析】：①标出前后数据之差，往前顺推一个数，1 2 3 4......（如上图）
②所求数据第一个数与顺推的数作差：1-1=0
③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求）
④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和
⑤所求数据第n项即为：+0，化简即可。
例4、（2019?海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 0 ，这2019个数的和是 2 ．
【解析】：由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，
∵2019÷6＝336…3，
∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，
故答案为：0，2．
【对应练习】
1．（2019·安徽初二）如图，矩形的各边分别平行于轴或轴，甲乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动甲按逆时针方向以个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以个单位/秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第次相遇地点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，乙是甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【解析】
矩形的边长为4和2，因为乙是甲的速度的2倍，时间相同，甲与乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇甲与乙行的路程和为12×1，甲行的路程为12×=4，乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇甲与乙行的路程和为12×2，甲行的路程为12×2×=8，乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇甲与乙行的路程和为12×3，甲行的路程为12×3×=12，乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
此时甲乙回到原出发点，
则每相遇三次，甲乙回到出发点，
∵2019÷3=673，
故第2019次相遇地点的是回到出发点A，
此时相遇点A的坐标为：（2，0），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙回到出发点．
2．（2020·安徽初三）观察下列等式，探究其中的规律：①+﹣1＝，②+﹣＝，③+﹣＝，④+﹣＝，…．
（1）按以上规律写出第⑧个等式：_______；
（2）猜想并写出第n个等式：_________；
（3）请证明猜想的正确性．
【答案】（1）+?＝；（2）+?＝；（3）证明见解析．
【分析】
（1）仔细观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，据此进一步整理即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律直接进行归纳总结即可；
（3）利用分式的运算法则进行计算验证即可.
【解析】
（1）观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，
∴第⑧个等式为：+?＝，
故答案为：+?＝；
（2）根据（1）中规律总结归纳可得：+?＝，
故答案为：+?＝；
（3）证明：
对等式左边进行运算可得：+?=＝，
∵等式右边＝，
∴左边＝右边，
∴+?＝成立．
【点睛】本题主要考查了分式运算中数字的变化规律，根据题意正确找出相应的规律是解题关键.
3．（2020·安徽初三）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并加以证明．
【答案】（1）；（2）第个等式：；证明见解析．
【分析】
（1）依据所给的前6个等式的规律即可写出第7个等式；
（2）观察第1至6个等式，可猜测第n个等式为，通过计算证明等号左右两侧相等即可．
【解析】
（1）第7个等式：
（2）第个等式：.
证明：左边右边，
故猜想成立．
【点睛】本题考查规律探索和分式的运算，解题的关键是根据所给的等式找出正确的规律．
4．（2019·合肥市第四十五中学初三）观察下列各组式子：
①；②；③
（1）请根据上面的规律写出第 个式子；
（2）请写出第个式子，并证明你发现的规律．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】
（1）仿造①②③中的规律直接写出第4个式子即可；
（2）仔细观察①②③④四个式子总结出规律，然后进一步将等式左边直接进行变形计算得出等式右边，由此证明结论即可.
【解析】
（1）
（2）
证明：
等式左边，
∵等式右边为，与等式左边计算出的结果相等，
∴成立.
【点睛】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.
5．（2020·安徽合肥市五十中学新校初三）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为.
如果图3、图4中的圆圈均有13层.
(1)我们自上往下，在每个圆圈中都图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是________；
(2)我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，-20，…，求最底层最右边圆圈内的数是________；
(3)求图4中所有圆圈中各数值的绝对值之和.(写出计算过程)
【答案】(1)79；(2)6；(3)2554.
【分析】（1）13层时最底层最左边这个圆圈中的数是前12层圆圈的个数和再加1；
（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数即可得；
（3）将图④中的所有数字加起来利用所给的公式进行计算即可得.
【解析】（1）当有13层时，前12层共有：1+2+3+…+12=78个圆圈，78+1=79，
故答案为79；
（2）图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+13==91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，
故答案为67；
（3）图④中共有91个数，分别为-23，-22，-21，…，66，67，
图④中所有圆圈中各数的和为：
-23+（-22）+…+（-1）+0+1+2+…+67==2002.
【点睛】本题是一道找规律的题目，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n=.
6．（2020·海门市东洲国际学校初三）用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知．
（1）在第n个图中，白棋共有 枚，黑棋共有 枚；
（2）在第几个图形中，白棋共有300枚；
（3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由．
【答案】（1）n（n+1），3n+6；（2）第24个图形中，白棋共有300枚；（3）白棋的个数不能与黑棋的个数相等．
【分析】
（1）观察图形可得：第一个图形有白棋1=枚，黑棋9=3×1+6枚；第二个图形有白棋3=枚，黑棋12=3×2+6枚；第三个图形有白棋6=枚，黑棋15=3×3+6枚；…由此可得，第n个图中，白棋共有枚，黑棋共有3n+6枚；（2）令=300，解方程求得n的值即可；（3）令=3n+6，解方程求得n的值，若n为正整数，则白棋的个数能与黑棋的个数相等，否则，不能.
【解析】
解：（1）由题意得：白棋为： n（n+1），黑棋为3n+6；
故答案为 n（n+1），3n+6；
（2）n（n+1）＝300，解得：n＝24（已舍去负值）
故：第24个图形中，白棋共有300枚；
（3）n（n+1）＝3n+6；
解得：n＝为无理数，不是整数，
∴白棋的个数不能与黑棋的个数相等．
【点睛】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．正确总结出第n个图中白棋及黑棋的数目的表达式是解决本题的关键．
7．（2019·山东初二月考）计算张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．
请你结合这些算式，解答下列问题：
（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式；
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n–1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；
（3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）两个连续奇数的平方差是8的倍数（3）不正确
【分析】观察所给式子，找出规律.
根据平方差公式，化简即可.
举例说明或者参照进行运算即可.
【解析】：观察所给式子：找出规律：
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n＋1，2n－1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；
，
故两个连续奇数的平方差是8的倍数.
（3）不正确，
解法一：举反例：
因为12不是8的倍数，故这个结论不正确，
解法二：设这两个偶数位2n和2n＋2，
因为8n＋4不是8的倍数，故这个结论不正确.
三、填空题
8．（2019·合肥市第四十五中学初三）观察以下等式：
第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ；
（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？
【答案】（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）原式的个位数为5．
【分析】
（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
（2）根据规律写出通项公式然后证明即可；
（3）给等式乘以（2﹣1）从而可知（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．
【解析】
解：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
（3）原式＝（2﹣1）（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，
∴2的个位数2，4，8，6循环，
∵2020＝505×4，
∴22020的个位数为6，
则原式的个位数为5．
故答案为：（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1
【点睛】
本题主要考查的是平方差公式的应用，找出2n的尾数规律是解题的关键．
9．（2020·海门市东洲国际学校初三）如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有_____个，第n幅图中共有_____个．
【答案】7 2n﹣1
【分析】
根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2-1=3个，第3幅图中有2×3-1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．
【解析】
解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×2-1=3个．
第3幅图中有2×3-1=5个．
第4幅图中有2×4-1=7个．
…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有（2n-1）个．
故答案为7；2n-1．
【点睛】考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．
观察下列等式：
第一行???? 3=4－1
第二行???? 5=9－4
? 第三行?? ? 7=16－9
? 第四行??? 9=25－16
…???? … 按照上述规律，第n行的等式为____________??
【答案】：2n+1=（n+1）2- n2。
【解析】：等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9 …，
这些奇数可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，
其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n 个奇数为2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；
等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、…恰好是22，32，42，52，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，
第n 个被减数为（n+1）2；
减数分别为1、4、9、16…恰好是12，22，32，42，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个减数为n2；
所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n2。
11. 如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若点A0(1，0)，则点A2017的横坐标为________．
第14题图
【答案】()1008
【解析】由题意可知，经过12次变换后，点A13落在射线OA1上，∵2017÷12＝168……1，∴点A2017落在射线OA1上，其横坐标与点A2016相同，∵OA0＝1，经过12次变换后，OA12＝()12，再经过12次变换后，OA24＝()24，综上可猜想，OA2016＝()2016＝()1008，∴点A2017的横坐标为()1008.
12. 如图，直线y＝x上有点A1，A2，A3，…，An＋1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，…，AnAn＋1＝2n，分别过点A1，A2，A3，…，An＋1作直线y＝x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…，Bn＋1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…，AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1，则△AnBnBn＋1的面积为________(用含正整数n的式子表示)．
第15题图
【答案】 ×22n－×2n
【解析】如解图，作A1C1⊥x轴于C1，A2C2⊥x轴于C2，AnCn⊥x轴于Cn，∵点An在直线上y＝x，∴＝＝＝，∴∠AnOCn＝30°，∴OCn＝OAn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)，∠AnOBn＝60°，∵BnAn⊥OAn，∴OBn＝2OAn，∴BnBn＋1＝2OAn＋1－2OAn＝2AnAn＋1＝2×2n＝2n＋1.
第15题解图
S△AnBnBn＋1＝BnBn＋1×OCn＝×2n＋1·(1＋2＋22＋…＋2n－1)，设S＝1＋2＋4＋…＋2n－1，则2S＝2＋4＋…＋2n＋1＋2n，∴S＝2S－S＝(2＋4＋…＋2n－1＋2n)－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝2n－1 ，综上可知
S△AnBnBn＋1＝×2n＋1×(2n－1)＝×22n－×2n.
专题04 规律题
考察规律
一是均匀变化规律，
二是不均匀变化规律，
三是循环变化规律，
四是数字运算规律。
其中均匀变化规律考察最多，主要体现为数式规律寻找和坐标，个数规律寻找；
规律题型是在中考中每年必出的必考考点，难度表面看比较难，在了解各类规律的技巧后，均可快速计算答案，化难为易。
【真题再现】
年份：2010年 考向：循环数规律
9. 下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )
A. 495 B. 497 C. 501 D. 503
年份：2011年 考向：循环规律，均匀变化规律
18. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
第18题图
(1)填写下列各点的坐标：A4(____，____)，A8(____，____)，A12(____，____)；
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
年份：2012年 考向：均匀变化规律
17. 在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f.
(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
第17题图
m n m＋n f
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 5 7
3 4 7
猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是__________________________(不需证明)；
(2)当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否仍然成立．
年份：2013年 考向：均匀变化规律
18. 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，…
第18题图
(1)观察以上图形并完成下表：
图形的名称 基本图的个数 特征点的个数
图① 1 7
图② 2 12
图③ 3 17
图④ 4
… … …
猜想：在图)中，特征点的个数为________(用n表示)；
(2)如图，将图)放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，2)，则x1＝________；图的对称中心的横坐标为________．
年份：2014年 考向：均匀变化规律
16. 观察下列关于自然数的等式：
32－4×12＝5 ①
52－4×22＝9 ②
72－4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
年份：2015年 考向：数字运算规律
13. 按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的关系式是________．
年份：2016年 考向：均匀变化规律，高斯求和规律
18. (1)观察下列图形与等式的关系，并填空：
(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝____________．
年份：2017年 考向：数字运算规律
19．【阅读理解】
我们知道，1＋2＋3＋…＋n＝，那么12＋22＋32＋…＋n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22；……；第n行n个圆圈中数的和为，即n2.这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋33＋…＋n2.
第19题图1
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n－1行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________．因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________．
第19题图2
【解决问题】
根据以上发现，计算的结果为________．
年份：2018年 考向：均匀变化规律
18. 观察以下等式：
第1个等式：＋＋×＝1，
第2个等式：＋＋×＝1，
第3个等式：＋＋×＝1，
第4个等式：＋＋×＝1，
第5个等式：＋＋×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：______________(用含n的等式表示)，并证明．
年份：2019年 考向：均匀变化规律，不均匀变化规律
18.观察以下等式:
第1个等式:，
第2个等式:，
第3个等式:，
第4个等式:，
第5个等式:，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
【技巧总结】
均匀变化规律
方法一：一组数据 a b c d......
前后两个数的差值一致都为k时，这组数据的第n个数是：kn+a-k
方法二：设y=kx+b，以数字序数为x值，数据为y值带入求函数解析式
所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。
不均匀变化规律
方法一：一组数据 a b c d......
①标出前后数据之差，往前顺推一个数m
②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m
③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求）
④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和
⑤所求数据第n项即为：+a-m，化简即可。
方法二：设y=ax?+bx+c，以数字序数为x值，数据为y值带入求函数解析式
所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。
循环数规律
方法：
第一步：找出完整的一组循环数并排序
第二步：拿要求的序数除以一组循环数的个数得出余数
第三步：把余数作为序号找到对应循环数字即为所求
【典型例题】
例1、找出下列各组数的第n个数，用n表示。
（1）：2 6 10 14 ...
（2）：5 8 11 14 ...
例2、 为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．
例3、找出下列各组数的第n个数，用n表示。
1 3 6 10 ...
例4、（2019?海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 ，这2019个数的和是 ．
【对应练习】
1．（2019·安徽初二）如图，矩形的各边分别平行于轴或轴，甲乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动甲按逆时针方向以个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以个单位/秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第次相遇地点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·安徽初三）观察下列等式，探究其中的规律：①+﹣1＝，②+﹣＝，③+﹣＝，④+﹣＝，…．
（1）按以上规律写出第⑧个等式：_______；
（2）猜想并写出第n个等式：_________；
（3）请证明猜想的正确性．
3．（2020·安徽初三）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并加以证明．
4．（2019·合肥市第四十五中学初三）观察下列各组式子：
①；②；③
（1）请根据上面的规律写出第 个式子；
（2）请写出第个式子，并证明你发现的规律．
5．（2020·安徽合肥市五十中学新校初三）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为.
如果图3、图4中的圆圈均有13层.
(1)我们自上往下，在每个圆圈中都图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是________；
(2)我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，-20，…，求最底层最右边圆圈内的数是________；
(3)求图4中所有圆圈中各数值的绝对值之和.(写出计算过程)
6．（2020·海门市东洲国际学校初三）用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知．
（1）在第n个图中，白棋共有 枚，黑棋共有 枚；
（2）在第几个图形中，白棋共有300枚；
（3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由．
7．（2019·山东初二月考）计算张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．
请你结合这些算式，解答下列问题：
（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式；
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n–1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；
（3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？请说明理由．
三、填空题
8．（2019·合肥市第四十五中学初三）观察以下等式：
第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ；
（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？
9．（2020·海门市东洲国际学校初三）如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有_____个，第n幅图中共有_____个．
观察下列等式：
第一行???? 3=4－1
第二行???? 5=9－4
? 第三行?? ? 7=16－9
? 第四行??? 9=25－16
…???? … 按照上述规律，第n行的等式为____________??
11. 如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若点A0(1，0)，则点A2017的横坐标为________．
第14题图
12. 如图，直线y＝x上有点A1，A2，A3，…，An＋1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，…，AnAn＋1＝2n，分别过点A1，A2，A3，…，An＋1作直线y＝x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…，Bn＋1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…，AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1，则△AnBnBn＋1的面积为________(用含正整数n的式子表示)．
第15题图
