专题07 ：圆的综合证明与计算
【考向分析】
通过分析对比，可以看出：
安徽中考数学圆的主要考向分为四类：
一是圆基本计算，
二是圆基础综合，
三是圆综合证明与计算，
四是尺规作图。
其中圆的基础计算基本上是每年必考，圆中综合证明与计算是近几年的主要热考方向，18年新出了一个考向：尺规作图；
圆是在中考中每年必出的必考考点，难度从简单到一般，需要我们牢记圆的基本知识点，另外掌握圆中辅助线做法等技巧是快速解决圆题型的关键。
【真题再现】
年份：2010年 考向：圆中计算问题
8. 如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A. B. 2 C. D. 3
【解析】延长AO交BC于点D，连接OB.由AB＝AC得点A在线段BC的垂直平分线上，因而可得AD⊥BC，所以BD＝3，不难得出AD＝BD＝3，于是OD＝AD－OA＝2，在Rt△ODB中，OB＝＝＝.
13. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是上一点，则∠D＝________．
【解析】AC是⊙O的直径?∠ABC＝90°?
?∠D＝∠A＝40°.
年份：2011年 考向：圆中计算问题
7. 如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧的长是( )
A. B. π C. π D. π
【解析】连接OB、OC.
?劣弧的长＝＝π.
13. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是________．
【解析】过点O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别是F、G. 连接OD.
? ?OG＝GE＝1?OD＝＝＝.
年份：2012年 考向：圆中计算，圆综合
9. 如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°.设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是( )
【解析】因为OP＝x，且OA＝2，则AP＝2－x，由相切的性质可知，∠PAB＝90°，∠APB＝60°，利用三角函数可求得：AB＝2－x.则△PAB的面积y＝－2x＋2.所以函数图象为二次函数，对称轴为x＝2.
13. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________°.
【解析】因为OA＝OC，且四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC为菱形，如解图，连接OB，则OA＝OB＝AB，△OAB为等边三角形，则∠OAB＝∠OCB＝60°.又∠DAB＋∠DCB＝180°，∠OAB＝∠OCB＝60°，则∠OAD＋∠OCD＝60°.
年份：2013年 考向：圆中计算，圆综合
10. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点．在以下判断中，不正确的是( )
A. 当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B. 当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C. 当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D. 当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
【解析】
选项 逐项分析 正误
A 当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，O既是等边△ABC的内心，也是外心，所以∠ABP＝∠CBP，根据圆周角性质，＝，所以PA＝PC，故△APC为等腰三角形 √
B 当△APC是等腰三角形时，点P是的中点或与点B重合，由垂径定理可得PO⊥AC √
C 当PO⊥AC时，由点P是的中点或与点B重合，易得∠ACP＝30°或∠ACP＝60° ?×
D 当∠ACP＝30°时，分两种情况：1. 点P是的中点，则BP为直径，根据圆周角定理可得：∠BCP＝90°； 2. 点P是的中点，则CP为直径，∠CBP＝90°.两种情况都可以得到△BPC是直角三角形 √
年份：2014年 考向：圆综合证明与计算
19. 如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．
第19题图
【解析】
∵OC为小圆的直径，
∴∠OFC＝90°，∴CF＝DF，
又∵OE⊥AB，∴∠OFC＝∠OEF＝90°.
∵∠FOE＝∠COF，∴△OEF∽△OFC.
则＝.
∴OC＝＝＝9.
又∵CF＝＝＝3，
∴CD＝2CF＝6. .................(10分)
年份：2015年 考向：圆综合证明与计算，圆计算
12. 如图，点A、B、C在⊙O上，⊙O的半径为9，的长为2π，则∠ACB的大小是________．
【解析】如解图，连接OA、OB，由已知可得：l＝＝＝2π，解得n＝40，即∠AOB＝40°，∴∠ACB＝∠AOB＝20°.
20. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ长；
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【解析】(1)解：∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB.
在Rt△OPB中，OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan30°＝. ............(3分)
如解图①，连接OQ，在Rt△OPQ中，
PQ＝＝＝. ..........(5分)
(2)解：如解图②，连接OQ，∵OP⊥PQ，
∴△OPQ为直角三角形，
∴PQ2＝OQ2－OP2＝9－OP2，
∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC. ..........(7分)
OP＝OB·sin∠ABC＝3·sin30°＝.
∴PQ长的最大值为＝. ...........(10分)
图① 图②
年份：2016年 考向：圆中计算问题
13. 如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点．过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C.若∠BAC＝30°，则劣弧的长为______．
【解析】如解图，连接OB.∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠B＝90°，又∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∴劣弧的长＝＝π.
年份：2017年 考向：圆综合证明与计算，圆计算
13．如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于D，E两点，则劣弧的长为______．
【解析】在等边△ABC中，∠A＝∠B＝60°，如解图，连接OE、OD，OB＝OE＝OD＝OA＝AB＝×6＝3，∴∠BOE＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，∴＝＝π.
20．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD为平行四边形；
(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
【解析】(1)证明：∵∠B＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠D＝∠E. ...........................(10分)
∵CE∥AD，
∴∠E＋∠DAE＝180°，
∴∠D＋∠DAE＝180°，
∴AE∥DC.
∴四边形AECD为平行四边形； .................(5分)
(2)证明：(方法一)如解图①，过点O作OM⊥EC，ON⊥BC，垂足分别为M、N.
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，
又AD＝BC，
∴EC＝BC，
∴OM＝ON，
∴CO平分∠BCE. .......................(10分)
第20题解图①
(方法二)如解图②，连接OB、OE，在△COE和△COB中，，
∴△COE≌△COB(SSS)，
∴∠ECO＝∠BCO，
∴CO平分∠BCE.
第20题解图②
年份：2018年 圆综合证明与计算，圆计算，尺规作图
12. 如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝________°.
【解析】如解图，连接OA；∵AB为⊙O的切线，∴OD⊥AB；又∵D为AB的中点，∴OD为AB的中垂线，∴OA＝OB；∵四边形ABOC为菱形，∴AB＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOD＝30°；同理∠AOE＝30°，∴∠DOE＝60°.
20. 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【解析】(1)尺规作图如解图所示．
第20题解图
(2)如解图，连接OE交BC于点M，连接OC，CE，
∵∠BAE＝∠CAE，∴＝，
∴OE⊥BC，∴EM＝3，
在Rt△OMC中，OM＝OE－EM＝5－3＝2，OC＝5，
∴MC2＝OC2－OM2＝25－4＝21.
在Rt△EMC中，CE2＝EM2＋MC2＝9＋21＝30.
∴弦CE的长为.
年份：2019年 考向：圆综合证明与计算，圆计算
如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30O，∠CBA＝45O，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 .
【解析】连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.
19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【解析】如图：连接CO并延长，交AB于点D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴AD=AB=3，
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cos∠OAD=，
∴AO=，
∵sin∠OAD=,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，
答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.
【技巧总结】
圆中常见辅助线做法
①遇垂径定理，连接圆心到弦的端点，构造直角三角形
②遇过直径端点的弦，连接直径和弦的另一个端点，构造直角三角形
③遇切线，连接圆心到切点，构造直角
2、圆中常见结论和模型
圆中遇弧中点时，可得结论：
①角平分线、角相等（等弧所对圆周角相等）
②垂径定理
圆中几何模型：
在题目条件中同时存在角平分线（弧中点）、平行线、等腰三角形（一般为圆半径和圆心构成的）其中两个条件时，第三个必然可证
3、圆证明题剥离法的运用:在利用圆的性质标注所有数据和条件后，将圆去除，看剩余几何图形，可将题目简单化
【典型例题】
【例1】（2019?邗江区校级一模）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，
已知∠DOB＝72°，则∠E等于（ ）
A．36° B．30° C．18° D．24°
【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于∠E的方程，根据解方程，可得答案．
【答案】解：如图：
CE＝OB＝CO，得
∠E＝∠1．
由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E．
由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E．
由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．
由∠3＝72°，得3∠E＝72°．
解得∠E＝24°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又利用了三角形外角的性质．
【例2】（2019?白银）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点
B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【对应练习】
1.（2019?陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的
圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°，
∵CD＝CB，
∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．
2.（2019?渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.5
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【答案】解：设⊙O的半径为r．
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，
∴OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OC＝，
∵OA＝OE，AC＝CB，
∴BE＝2OC＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3.（2019?庐阳区二模）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（ ）
A． B． C． D．3cm
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OB，再根据勾股定理计算即可．
【答案】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴BE＝BD＝6，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得，OB＝，
则EC＝AC﹣AE＝9，
BC＝＝3，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BC＝，
∴OF＝＝（cm），
故选：A．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
4.（2019?相城区校级二模）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的
点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（ ）
A．105° B．115° C．125° D．85°
【分析】连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BOC＝25°，然后计算∠ADB+∠CDB即可．
【答案】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠ADC＝90°+25°＝115°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5.（2019?碑林区校级一模）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则
∠BAD等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【分析】连接OB、OC．求出∠BOD即可解决问题．
【答案】解：连接OB，OC，
∵∠ADC＝55°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝110°，
∴弧AC＝110°，
∵AD是半圆的直径，
∴弧CD＝70°，
∵D是弧BD的中点，
∴弧BD＝140°，
∴∠BOD＝140°，
∴∠BAD＝∠BOD＝70°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6.（2019?太原二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，
若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120
【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7.（2019?澄海区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠EBC＝55°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝55°，
∴∠DAC＝70°，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
8.（2019?嘉祥县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
9.（2018?南岗区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝60°，进而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【答案】解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝2∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D＝180°，
解得：∠D＝60°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△AEO中，OA＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：B．
【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D＝60°．
10.（2018秋?丹江口市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆
材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB
为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【答案】解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
11.（2018?周村区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【答案】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∴在△CEM中，5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
12.（2019?凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13.（2019?临沂）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据直角三角形的性质得到CF＝EF＝DF，求得∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠OAE＝∠CDE＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠ADC＝45°，于是得到结论．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：连接AD，∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
14.（2019?朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DFA＝∠DEC，证出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．
（2）连接AH，求出DB＝2DH＝2，在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，解方程可求出AD的长．则OA可求出．
【答案】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的判定，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．
专题07 圆的综合证明与计算
【考向分析】
通过分析对比，可以看出：
安徽中考数学圆的主要考向分为四类：
一是圆基本计算，
二是圆基础综合，
三是圆综合证明与计算，
四是尺规作图。
其中圆的基础计算基本上是每年必考，圆中综合证明与计算是近几年的主要热考方向，18年新出了一个考向：尺规作图；
圆是在中考中每年必出的必考考点，难度从简单到一般，需要我们牢记圆的基本知识点，另外掌握圆中辅助线做法等技巧是快速解决圆题型的关键。
【真题再现】
年份：2010年 考向：圆中计算问题
8. 如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A. B. 2 C. D. 3
13. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是上一点，则∠D＝________．
年份：2011年 考向：圆中计算问题
7. 如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧的长是( )
A. B. π C. π D. π
13. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是________．
年份：2012年 考向：圆中计算，圆综合
9. 如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°.设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是( )
13. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________°.
年份：2013年 考向：圆中计算，圆综合
10. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点．在以下判断中，不正确的是( )
A. 当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B. 当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C. 当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D. 当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
年份：2014年 考向：圆综合证明与计算
19. 如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．
第19题图
年份：2015年 考向：圆综合证明与计算，圆计算
12. 如图，点A、B、C在⊙O上，⊙O的半径为9，的长为2π，则∠ACB的大小是________．
20. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ长；
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
年份：2016年 考向：圆中计算问题
13. 如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点．过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C.若∠BAC＝30°，则劣弧的长为______．
年份：2017年 考向：圆综合证明与计算，圆计算
13．如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于D，E两点，则劣弧的长为______．
20．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD为平行四边形；
(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
年份：2018年 圆综合证明与计算，圆计算，尺规作图
12. 如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝________°.
20. 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
年份：2019年 考向：圆综合证明与计算，圆计算
如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30O，∠CBA＝45O，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 .
19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【技巧总结】
圆中常见辅助线做法
①遇垂径定理，连接圆心到弦的端点，构造直角三角形
②遇过直径端点的弦，连接直径和弦的另一个端点，构造直角三角形
③遇切线，连接圆心到切点，构造直角
2、圆中常见结论和模型
圆中遇弧中点时，可得结论：
①角平分线、角相等（等弧所对圆周角相等）
②垂径定理
圆中几何模型：
在题目条件中同时存在角平分线（弧中点）、平行线、等腰三角形（一般为圆半径和圆心构成的）其中两个条件时，第三个必然可证
3、圆证明题剥离法的运用:在利用圆的性质标注所有数据和条件后，将圆去除，看剩余几何图形，可将题目简单化
【典型例题】
【例1】（2019?邗江区校级一模）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，
已知∠DOB＝72°，则∠E等于（ ）
A．36° B．30° C．18° D．24°
【例2】（2019?白银）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点
B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
【对应练习】
1.（2019?陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的
圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2.（2019?渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.5
3.（2019?庐阳区二模）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（ ）
A． B． C． D．3cm
4.（2019?相城区校级二模）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的
点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（ ）
A．105° B．115° C．125° D．85°
5.（2019?碑林区校级一模）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则
∠BAD等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
6.（2019?太原二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，
若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．l00° B．105° C．110° D．120
7.（2019?澄海区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
8.（2019?嘉祥县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
9.（2018?南岗区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
10.（2018秋?丹江口市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆
材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB
为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．
11.（2018?周村区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
12.（2019?凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
13.（2019?临沂）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
14.（2019?朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
