专题08 二次函数应用
【考向分析】
通过分析对比，可以看出：
安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类：
一是利润最大问题，
二是面积最大问题，
三是函数几何综合最值问题，
四是实际问题建模。
其中利润最大问题考察最多，函数几何综合最值问题近些年也频繁出现，数学建模和面积最大两个类型最少；但从整体来看，中考函数应用题的考向都是对最值的考察，也就是二次函数配方法和顶点式的运用。
二次函数应用题型是在中考中每年必出的必考考点，难度比较难，但每种题型都有对应的解题技巧和固定的考察方向选择，掌握后就可快速计算答案，化难为易。
【真题再现】
年份：2010年 考向：利润最大问题
22. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．
九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天(1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如下：
鲜鱼销售单价(元/kg) 20
单位捕捞成本(元/kg) 5－
捕捞量(kg) 950－10x
(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？
(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出．求第x天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式；(当天收入＝日销售额－日捕捞成本)
(3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？
解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10 kg. .......(5分)
(2)由题意，得y＝20(950－10x)－(5－)(950－10x)＝－2x2＋40x＋14250. .........(7分)
(3)∵－2＜0，y＝－2x2＋40x＋14250＝－2(x－10)2＋14450， ..............(9分)
又1≤x≤20，且x为整数，
∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；
当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；
当x＝10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元． .............(12分)
年份：2012年 考向：实际问题建模
23. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界，请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
解：h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6.
由其图象过点(0，2)，得36a＋2.6＝2，解得a＝－.
所以y＝－(x－6)2＋2.6； ..............(3分)
(2)解：当x＝9时，y＝－×9＋2.6＝2.45.
∵2.45＞2.43，
∴可越过球网．............(4分)
当x＝18时，y＝－×144＋2.6＝0.2，
0．2＞0，
∴球会出界； ......................(7分)
(3)解：若符合题意，则当x＝9时，y＞2.43.
当x＝18时，y≤0，(8分)
∵抛物线过点A(0，2)，
36a＋h＝2.即a＝. ..........(10分)
即，
解不等式组得：h≥. .................(14分)
年份：2013年 考向：利润最大问题
22. 某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．
销售量p(件) p＝50－x
销售单价q(元/件) 当1≤x≤20时，q＝30＋x 当21≤x≤40时，q＝20＋
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
(1)解：①对于q＝30＋x，
当q＝35时，30＋x＝35，解得x＝10，在1≤x≤20范围内；
②对于q＝20＋，当q＝35时，20＋＝35，解得x＝35，在21≤x≤40范围内．
综上所述，第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件； ........(3分)
(2)解：①当1≤x≤20时，y＝(30＋x－20)(50－x)＝－x2＋15x＋500；
②当21≤x≤40时，y＝(20＋－20)(50－x)＝－525； ..............(6分)
(3)解：①y＝－x2＋15x＋500＝－(x－15)2＋612.5，
由于－＜0，抛物线开口向下，且1≤x≤20，
所以当x＝15时，y最大＝612.5(元)； ..........(8分)
②y＝－525，越大(即x越小)y的值越大，
由于21≤x≤40，所以当x＝21天时，y最大＝1250－525＝725(元)，
∵612.5＜725，
∴第21天获得的利润最大，
综上所述，这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元．........(12分)
年份：2014年 考向：综合题：最值问题
22. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
(1)解： 本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可．如：y1＝2x2，y2＝x2，顶点坐标都为(0，0)，且二次项系数均为正数，故符合． .................(4分)
(2)解：∵函数y1的图象经过点A(1，1)，则2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1.
∴y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1.(7分)
∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴可设y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k>0)，
则y2＝k(x－1)2＋1－y1＝(k－2)(x－1)2.
由题意可知函数y2的图象经过点(0，5)，
则(k－2)×(－1)2＝5.∴k－2＝5.
∴y2＝5(x－1)2＝5x2－10x＋5.
根据y2的函数图象性质可知：当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
故0≤x≤3时，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20. ................(12分)
【一题多解】∵y1＋y2与y1是“同簇二次函数”，
则y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8(a＋2>0)．
∴－＝1，化简得：b＝－2a，
又＝1，将b＝－2a代入其中，
解得a＝5，b＝－10.所以y2＝5x2－10x＋5.
根据y2的函数图象性质可知：当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
故0≤x≤3时，y2的最大值＝5×32－10×3＋5＝20.
年份：2015年 考向：面积最大问题
22. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
第22题图
(1)解：设AE＝a，由题意，得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，
∴BE＝a，AB＝a. ..........(3分)
由题意，得2x＋3a＋2·a＝80，∴a＝20－x. ..............(4分)
∵BC＝x>0，AE＝a＝20－x>0，
∴0∴y＝AB·BC＝a·x＝(20－x)x，
即y＝－x2＋30x(0(2)解：∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300， ...........(10分)
∴当x＝20时，y有最大值，最大值是300平方米． .......(12分)
年份：2016年 考向：综合题：最值问题
22. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2
第22题图
解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
∴，解得，； ..............(5分)
(2)如解图①，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，则S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，
S△ACD＝AD·CE＝×4×(x-2)＝2x－4，
S△BCD＝BD·CF＝×4×(-x2＋3x)＝-x2＋6x，
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x-4)＋(-x2＋6x)＝-x2＋8x.
∴S关于x的函数表达式为S＝-x2＋8x(2∵S＝-(x-4)2＋16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16. .......(12分)
第22题解图①
【一题多解】解法一：由(1)知y＝－x2＋3x，如解图②，连接AB，
则S＝S△AOB＋S△ABC，其中S△AOB＝×6×4＝12，
设直线AB解析式为y1＝k1x＋b1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得y1＝-x＋6，
过C作直线l⊥x轴交AB于点D，
∴C(x，-x2＋3x)，D(x，-x＋6)，
∴S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝·CD·(x-2)＋·CD·(6-x)＝·CD·4＝2CD，
其中CD＝-x2＋3x-(-x＋6)＝-x2＋4x－6，
∴S△ABC＝2CD＝-x2＋8x-12，
∴S＝S△ABC＋S△AOB＝-x2＋8x-12＋12＝-x2＋8x＝-(x-4)2＋16(2即S关于x的函数表达式为S＝-x2＋8x(2∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
第22题解图②
解法二：∵点C在抛物线上y＝-x2＋3x上，
∴点C(x，-x2＋3x)，
如解图③，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，则
点D的坐标为(2，0)，点E的坐标为(x，0)，
∴S＝S△OAD＋S梯形ADEC＋S△CEB＝×2×4＋(4-x2＋3x)(x-2)＋(6-x)(-x2＋3x)＝-x2＋8x，
∵S＝-x2＋8x＝-(x-4)2＋16(2∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
第22题解图③
年份：2017年 考向：利润最大问题
22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/千克) 50 60 70
销售量y(千克) 100 80 60
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
解：(1)设y＝kx＋b.由题意，得，
解得，
∴所求函数表达式为y＝－2x＋200； .......................(4分)
(2)W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000； ....................(7分)
(3)W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，
其中40≤x≤80，
∵－2<0，
∴当40≤x<70时，W随x的增大而增大；当70
年份：2018年 考向：利润最大问题
22. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
解：(1)根据可题意知：第二期培植盆景(50＋x)盆，培植花卉100－(50＋x)＝(50－x)盆，则盆景售完后的利润W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8000，
花卉售完后的利润W2＝19(50－x)＝－19x＋950.
(2)根据题意可知，最大利润W为W1和W2之和，因此可得函数关系式为：W＝W1＋W2＝－2x2＋41x＋8950＝－2(x－)2＋.
由于x取整数，根据二次函数的性质，得
当x＝10时，总利润W最大，最大总利润是9160元．
年份：2019年 考向：综合题：最值问题
22、一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点。
⑴求k，a，c的值；
⑵过点A（0，m）(0 解：（1）因为点（1，2）在一次函数y=kx+4的图像上，所以2=k+4，即k=—2，因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图像的另一个交点是该二次函数的顶点，则（0，c）在一次函数y=kx+4的图像上，即c=4，又点（1，2）也在二次函数y=ax2+c的图像上，所以2=a+c，从而a= —2。 ……6分
方法一：因为点A的坐标为（0，m）（0＜m＜4）,边点A且垂直于y轴的直线与二次函数y= —2x2+4的图像交于点B，C，所以可设点B的坐标为（x0，m）由对称性得点C的坐标为（—x0，m），故BC=2| x0 |，又点B在二次函数y= —2x2+4的图像上，所以—2 x02+4=m，即，从而BC2=4 x02=8-2m，又OA=m，从而W=OA2+BC2=m2-2m+8=＝（m-1）2+7（0＜m＜4），所以m=1时，W有最小值7。 ……12分
方法二：由（1）得二次函数的解析式为y= —2x2+4，因为点A的坐标为（0，m）（0＜m＜4），过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y= —2x2+4的图像交于点B，C，所以令—2 x2+4=m，解得x1=，x2= —，所以BC=，所以BC=，又OA=m，从而W=OA2+BC2=m2+=m2-2m+8=（m-1）2+7（0＜m＜4），所以m=1时，W有最小值7。 ……12分
【技巧总结】
【典型例题】
【例1】（2018秋?鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件与销售单价（元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的．
（1）设该公司每月获得利润为（元，求每月获得利润（元与销售单价（元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
【答案】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）?y＝（x﹣15）?（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，
即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；
（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5
又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．
∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，
∴当x＝24时，W＝2880，
答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．
【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
【例2】（2018秋?开封期中）如图，用长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长，设矩形的宽为．
（1）用含的代数式表示矩形的长；
（2）设矩形的面积为，用含的代数式表示矩形的面积，并求出自变量的取值范围；
（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；
（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；
（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．
【答案】解：（1）∵AB＝CD＝xm，
∴BC＝（30﹣2x）m，
（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；
（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5，
此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．
答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，应注意配方法求最大值在实际中的应用．
【例3】（2019秋?台安县期中）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为．
（1）求球在空中运行的最大高度为多少？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；
（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．
【答案】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），
∴球在空中运行的最大高度为m；
（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，
解得：x＝±1.5，
∵x＞0，
∴x＝1.5；
当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，
解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，
由1.5+2.5＝4（m），
故他距离篮筐中心的水平距离是4米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【例4】（2019春?利津县期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求点，点和点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；
（3）若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．
（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【答案】解：（1）由 y＝0，得 x2+x﹣2＝0 解得 x＝﹣2 x＝l，
∴A（﹣2，0），B（l，0），
由 x＝0，得 y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y＝kx+b，则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得 k＝﹣l，y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝﹣，当 x＝﹣时，y＝_（﹣）﹣2＝﹣，
∴P（﹣，﹣）．
（3）过点M作MN⊥x轴与点N，
设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，
S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC＝（x+2）（﹣x2﹣x+2）+（2﹣x2﹣x+2）（﹣x）+×1×2
＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4．
∵﹣1＜0，
∴当x＝_l时，S四边形ABCM的最大值为4．
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
【对应练习】
1.（2019春?宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降元，每天获利元．
（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？
（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？
【分析】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；
（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；
【答案】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，
∵20+2x≥44，
∴x≥12，
∵y随x的增大而减小，
∴当x＝12时，获利最大值1232；
答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；
（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴x＝10或x＝20，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，
当10≤x≤20时，y≥1200，
答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元；
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的性质；能够从情境中列出函数关系式，借助函数的性质解决实际问题；
2.（2019春?安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为，种草所需费用（元与的函数关系图象如图所示，栽花所需费用（元与的函数关系式为．
（1）求（元与的函数关系式；
（2）设这块空地的绿化总费用为（元，请利用与的函数关系式，求绿化总费用的最大值．
【分析】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y1（元）与x（m2）的函数关系式
（2）总费用为W＝y1+y2，列出函数关系式即可求解
【答案】解：
（1）依题意
当0≤x≤600时，y1＝k1x，将点（600，18000）代入得18000＝600k1，解得k1＝30
∴y1＝30x
当600＜x≤1000时，y1＝k2x+b，将点（600，18000），（1000，26000）代入得
，解得
∴y1＝20x+600
综上，y1（元）与x（m2）的函数关系式为：
（2）总费用为：W＝y1+y2
∴W＝
整理得
故绿化总费用W的最大值为32500元
【点睛】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用．根据函数解析式即可求最大值，但要注意自变量的取值范围．
3.（2019秋?沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商
品在未来40天内的日销售量（件与时间（天的关系如下表：
时间（天 1 3 5 10 36
日销售量（件 94 90 86 76 24
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件与（天之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
【答案】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m＝kt+b（k≠0），
将t＝1，m＝94，t＝3，m＝90
代入，
解得，
∴m＝﹣2t+96；
（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，
则P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）2+578，
∴当t＝14时，P1有最大值，为578元．
P2＝（﹣2t+96）?（t+40﹣20）＝﹣t2+8t+1920＝（t﹣44）2﹣16，
∵当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小，
∴t＝21时，P2有最大值，为513元．
∵513＜578，
∴第14天日销售利润最大，最大利润为578元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．
4.（2018秋?洪山区期中）如图，是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点在边上，点在的延长线上，，设的长为米，改造后苗圃的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，此时的长为 米．
（3）当为何值时改造后的矩形苗圃的最大面积？并求出最大面积．
【分析】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【答案】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；
（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，
解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），
答：BE的长为4米；
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；
（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，
所以当x＝2时，y有最大值，
∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
5.（2018秋?鼓楼区期中）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边的长为，面积为．
（1）若与之间的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少？
【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；
（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．
【答案】解：（1）由题意可得，
y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
∵24﹣3x≤10，3x＜24，
解得，x≥且x＜8，
∴，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（）；
（2）当y＝45时，
45＝﹣3x2+24x，
解得，x1＝3（舍去），x2＝5，
答：AB的长应为5m．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．
（1）当时，①求的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值．
【分析】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；
（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．
【答案】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h＝1，
解得：h＝；
②把x＝5代入y＝﹣（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
（2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：
，
解得：，
∴a＝﹣．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
7.（2019秋?萧山区期中）小明跳起投篮，球出手时离地面，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离处达到最高．已知篮筐中心距地面，与球出手时的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求此抛物线对应的函数关系式；
（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？
（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？
【分析】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；
（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；
（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．
【答案】（本题12分）
（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，
将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，
解得a＝﹣，
∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；
（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝≠3，
∴抛物线不过点（8，3），
故不能正中篮筐中心；
∵抛物线过点（8，），
∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移7/9个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．
（3）由（1）求得的函数解析式，
当y＝3.19时，3.19＝﹣19（x﹣4）2+4
解得：x1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），
x2＝1.3
∴球员乙距离甲球员距离小于1.3米时，即可盖帽成功．
【点睛】本题是二次函数的应用，属于常考题型，此类题的解题思路为：①先根据已知确定其顶点和与y轴交点或x轴交点，求解析式；②根据图形中的某点坐标得出相应的结论．
8.（2018?绥阳县模拟）如图，已知抛物线的图象经过点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上点和点之间是否存在一点使得四边形的面积最大，若存在求出四边形的最大面积，若不存在，请说明理由．
（3）直线上有一点，使得时，过作轴于，点为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，，四点为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出点C，D坐标，再建立四边形OBHC的面积于点H横坐标的函数关系式即可得出结论；
（3）先确定出点E的坐标，利用待定系数法得出直线BD的解析式，利用PC＝PE建立方程即可求出a，求出点P坐标，设出点M的坐标，进而得出点G，N的坐标，利用FM＝MG建立方程求解即可得出结论．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣4，所以点D（﹣1，﹣4）
当x＝0时，y＝﹣3，所以点C（0．﹣3）
设点H（a，a2+2a﹣3）（﹣3＜a＜﹣1）
所以S四边形OBHC＝S△OBH+S△OCH
＝OB×|a2+2a﹣3|+OC×|a|
＝（3﹣2a﹣a2）﹣a
＝﹣a2﹣+
当a＝﹣＝﹣时，S四边形OBHC＝．
（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣6，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2＝（m+1）2+（﹣2m﹣6）2，PC2＝m2+（﹣2m﹣6+3）2，
∵PC＝PE，
∴（m+1）2+（﹣2m﹣6）2＝m2+（﹣2m﹣6+3）2，
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣2×（﹣2）﹣6＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM＝MG，
∴|d+2|＝|d2+2d﹣3|，
∴d＝或d＝，
∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的顶点坐标，勾股定理，正方形的性质，解（2）的关键是用PC＝PE建立方程求解，解（3）的关键是解绝对值方程，是一道中等难度的中考常考题．
专题08 二次函数应用
【考向分析】
通过分析对比，可以看出：
安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类：
一是利润最大问题，
二是面积最大问题，
三是函数几何综合最值问题，
四是实际问题建模。
其中利润最大问题考察最多，函数几何综合最值问题近些年也频繁出现，数学建模和面积最大两个类型最少；但从整体来看，中考函数应用题的考向都是对最值的考察，也就是二次函数配方法和顶点式的运用。
二次函数应用题型是在中考中每年必出的必考考点，难度比较难，但每种题型都有对应的解题技巧和固定的考察方向选择，掌握后就可快速计算答案，化难为易。
【真题再现】
年份：2010年 考向：利润最大问题
22. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．
九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天(1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如下：
鲜鱼销售单价(元/kg) 20
单位捕捞成本(元/kg) 5－
捕捞量(kg) 950－10x
(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？
(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出．求第x天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式；(当天收入＝日销售额－日捕捞成本)
(3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？
年份：2012年 考向：实际问题建模
23. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界，请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
年份：2013年 考向：利润最大问题
22. 某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．
销售量p(件) p＝50－x
销售单价q(元/件) 当1≤x≤20时，q＝30＋x 当21≤x≤40时，q＝20＋
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
年份：2014年 考向：综合题：最值问题
22. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
年份：2015年 考向：面积最大问题
22. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
第22题图
年份：2016年 考向：综合题：最值问题
22. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2
第22题图
年份：2017年 考向：利润最大问题
22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/千克) 50 60 70
销售量y(千克) 100 80 60
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
年份：2018年 考向：利润最大问题
22. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
年份：2019年 考向：综合题：最值问题
22、一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点。
⑴求k，a，c的值；
⑵过点A（0，m）(0
【技巧总结】
【典型例题】
【例1】（2018秋?鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件与销售单价（元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的．
（1）设该公司每月获得利润为（元，求每月获得利润（元与销售单价（元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【例2】（2018秋?开封期中）如图，用长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长，设矩形的宽为．
（1）用含的代数式表示矩形的长；
（2）设矩形的面积为，用含的代数式表示矩形的面积，并求出自变量的取值范围；
（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【例3】（2019秋?台安县期中）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为．
（1）求球在空中运行的最大高度为多少？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？
【例4】（2019春?利津县期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求点，点和点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；
（3）若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
【对应练习】
1.（2019春?宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降元，每天获利元．
（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？
（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？
2.（2019春?安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为，种草所需费用（元与的函数关系图象如图所示，栽花所需费用（元与的函数关系式为．
（1）求（元与的函数关系式；
（2）设这块空地的绿化总费用为（元，请利用与的函数关系式，求绿化总费用的最大值．
3.（2019秋?沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商
品在未来40天内的日销售量（件与时间（天的关系如下表：
时间（天 1 3 5 10 36
日销售量（件 94 90 86 76 24
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件与（天之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
4.（2018秋?洪山区期中）如图，是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点在边上，点在的延长线上，，设的长为米，改造后苗圃的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，此时的长为 米．
（3）当为何值时改造后的矩形苗圃的最大面积？并求出最大面积．
5.（2018秋?鼓楼区期中）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边的长为，面积为．
（1）若与之间的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少？
6.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．
（1）当时，①求的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值．
7.（2019秋?萧山区期中）小明跳起投篮，球出手时离地面，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离处达到最高．已知篮筐中心距地面，与球出手时的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求此抛物线对应的函数关系式；
（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？
（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？
8.（2018?绥阳县模拟）如图，已知抛物线的图象经过点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上点和点之间是否存在一点使得四边形的面积最大，若存在求出四边形的最大面积，若不存在，请说明理由．
（3）直线上有一点，使得时，过作轴于，点为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，，四点为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标．
