专题09 几何综合证明一
特殊图形特殊性质的运用
【考向分析】
通过分析对比，可以看出：
安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类：
一是全等综合证明，
二是相似综合证明，
三是旋转问题，
四是特殊图形特殊性质的运用。
其中全等相似综合证明题型基本上是每年必考考点，近几年中出现了旋转和特殊图形特殊性质的运用，好在是这两类题型的解题思路非常明确，且比较好总结方法技巧；
几何综合证明作为中考压轴大题，每年都必然出现在试卷最后，是冲刺高分的最大拦路虎，对知识掌握的综合运用能力要求较高，但理解出题方式和解题思路可以帮助大家快速打开解题思维，进而顺利解题。
【真题再现】
年份：2016年 考向：全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用
23. 如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角．现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
(1)求证：△PCE≌△EDQ；
(2)延长PC，QD交于点R.
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
解：(1)证明：∵点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE∥OC，且CE∥OD，
∴四边形CEDO是平行四边形，
∴∠ECO＝∠EDO，
又∵△OAP，△OBQ都是等腰直角三角形，
∴∠PCO＝∠QDO＝90°，
∴∠PCE＝∠PCO＋∠ECO＝∠QDO＋∠EDO＝∠EDQ，
又∵PC＝AO＝OC＝DE，CE＝BO＝OD＝DQ，
∴△PCE≌△EDQ； .................(5分)
(2)①证明：如解图①，连接OR，
∵PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线，
∴AR＝OR＝BR，∠ARC＝∠ORC，∠ORD＝∠BRD，
在四边形OCRD中，∠OCR＝∠ODR＝90°，∠MON＝150°，
∴∠CRD＝30°，
∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO＝2∠CRO＋2∠ORD＝2∠CRD＝60°. ............(9分)
∴∠ABR为等边三角形；
第23题解图①
②解：如解图②，由(1)知EQ＝PE，∠DEQ＝∠CPE，
∴∠PEQ＝∠CED-∠CEP-∠DEQ＝∠ACE-∠CEP-∠CPE＝∠ACE-∠RCE＝∠ACR＝90°，
即△PEQ为等腰直角三角形，
∵△ARB∽△PEQ，
∴∠ARB＝90°，
∴在四边形OCRD中，∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝∠ARB＝45°，
∴∠MON＝360°－90°－90°－45°＝135°，
又∵∠AOP＝45°，
∴∠POD＝180°，
即P、O、B三点共线，
在△APB中，∠APB＝90°，E为AB中点，
∴AB＝2PE，
又∵在等腰直角△PEQ中，PQ＝PE，
∴＝＝. ..........................(14分)
第23题解图②
年份：2018年 考向：全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用
23. 如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
(1)求证：CM＝EM；
(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
(3)如图②，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.
图① 图②
第23题图
解：(1)已知：∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，M为斜边BD的中点，
∴CM＝BD，
又∵DE⊥AB，同理可得：EM＝BD，
∴CM＝EM，
(2)已知∠CBA＝90°－50°＝40°，
又由(1)知CM＝DM＝BM＝EM，
∴∠CME＝∠CMD＋∠DME＝2(∠CBM＋∠ABM)
＝2∠CBA＝80°，
∴∠EMF＝180°－∠CME＝100°.
(3)根据题意得：△DAE≌△CEM，
∴∠CME＝∠DEA＝90°，DE＝CM，AE＝EM，
又∵CM＝DM＝EM，
∴DM＝DE＝EM，
∴△DEM是等边三角形，∠DEM＝60°
∴∠MEF＝∠DEF－∠DEM＝30°.
（解法一)如解图，在Rt△EMF中，∠EMF＝90°，∠MEF＝30°，
∴＝，
又∵NM＝CM＝EM＝AE，
∴FN＝FM＋NM＝EF＋AE＝(AE＋EF)＝AF，
∴＝＝，
∵∠AFN＝∠EFM，
∴△AFN∽△EFM，
∴∠NAF＝∠MEF，
∴AN∥EM.
（解法二）如解图，连接AM，则∠EAM＝∠EMA＝∠MEF＝15°，
∴∠AMC＝∠EMC－∠EMA＝75°①，
又∠CMD＝∠EMC－∠EMD＝30°，且MC＝MD，
∴∠ACM＝(180°－30°)＝75°②，
由①②可知AC＝AM，又N为CM中点，
∴AN⊥CM，而EM⊥CM，
∴AN∥EM.
第23题解图
【技巧总结】
特殊图形特殊性质的运用思路
等腰三角形：①等腰对等角②三线合一与垂直平分线定理相互转化（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是辅助线做法）
正三角形：①边相等，角60°②S=a?（a为边长）③等腰三角形的特殊性质
直角三角形：①勾股定理（有线段长度时）②直角三角形斜边中线等于斜边一半（有直角三角形斜边中点时）③30°所对直角边等于斜边的一半（有30°特殊角时）
等腰直角三角形：①等腰三角形的特殊性质②直角三角形的特殊性质
平行四边形：①对边平行且相等②对角相等邻角互补③对角线互相平分
矩形：①角90°②对角线平分且相等
菱形：①临边相等②对角线互相垂直平分且相等③对角线平分对角
正方形：①特殊四边形的性质全具有
中点的用法
①结合等腰三角形时：三线合一转垂直平分线定理
②结合直角三角形时：斜边中线等于斜边一半
③题目中出现多个中点时：中位线定理
④存在平行线间夹线段有中点时：延长过中点的线段构造8字型全等
【典型例题】
【例1】（2019?苏家屯区二模）已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，点F是AE的中点，连接DF，CF．
（1）如图1，点D，E分别在AB，BC边上，填空：CF与DF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2，请判断（1）中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3，如果BD＝2，AC＝3，请直接写出CF的长．
【点睛】（1）如图1中，结论：CF＝DF，CF⊥DF．利用直角三角形的斜边中线的性质即可解决问题．
（2）成立．如图2中，延长DF交AC于H．证明△AFH≌△EFD（ASA），即可解决问题．
（3）如图3中，延长DF交AB于H，连接CH，CD．证明△AFH≌△EFD（ASA），推出DF＝FH，AH＝DE＝DB，再证明△CAH≌△CBD（SAS），即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF＝DF，CF⊥DF．
理由：如图1中，
∵∠ACE＝ADE＝90°，AF＝FE，
∴CF＝AF＝FEAE，DF＝AF＝FEAE，
∴CF＝DF，
∴∠FAC＝∠FCA，∠FAD＝∠FDA，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CFE＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，∠EFD＝∠FAD+∠FDA＝2∠FAD，
∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝2（∠FAC+∠FAD）＝2∠CAD＝90°，
∴CF⊥DF．
故答案为：CF＝DF，CF⊥DF．
（2）成立．
理由：如图2中，延长DF交AC于H．
∵∠ACD＝∠BDE＝∠CDE＝90°，
∴AC∥DE，
∴∠FED＝∠FAH，
∵∠AFH＝∠EFD，FA＝FE，
∴△AFH≌△EFD（ASA），
∴DF＝FH，
∵∠HCD＝90°，
∴CF＝FH＝FD，CF⊥DF．
（3）如图3中，延长DF交AB于H，连接CH，CD．
∵∠ABD＝∠CDE＝90°，
∴DE∥AB，
∴∠FED＝∠FAH，
∵∠AFH＝∠EFD，FA＝FE，
∴△AFH≌△EFD（ASA），
∴DF＝FH，AH＝DE＝DB，
∵∠CAH＝∠CBA＝∠CBD＝45°，CA＝CB，
∴△CAH≌△CBD（SAS），
∴CH＝CD，∠ACH＝∠BCD，
∴∠HCD＝∠ACB＝90°，∵FH＝FD，
∴CF⊥DF，CF＝FH＝DF．
∵AC＝CB＝3，
∴ABAC＝6，
∵AH＝BD＝2，
∴BH＝6﹣2＝4，
在Rt△BDH中，DH2，
∴CF＝DF＝FH．
【对应练习】
请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形和平行四边形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，．
探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）与的夹角为________度时，四边形是正方形．说明理由：
【答案】(1)详见解析；（2）90.
【解析】（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝90°，
∴?BEFG是矩形；
（2）90°；
理由：延长GP交DC于点H，
2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．
【答案】（1）MD=ME；（2）MD=ME；（3）tan．
【解析】
（1）MD=ME．如图1，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，
∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，
∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，
∴MD=ME，故答案为：MD=ME；
（2）MD=ME，理由：
如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，
∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，
∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，
∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE==，∴MD=ME．
（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，
∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，
∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，
∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，
在Rt△MDE中， =tan∠MDE=tan．
3．[2019年湖北省天门市江汉学校、托市一中、张港初中等五校中考数学模拟试卷]某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： ．
【解析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；
数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；
类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；
解：●操作发现：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°
在△ADB和△AEC中，，
∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD＝CE，AD＝AE，
∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴AF＝BF＝DF＝AB，AG＝GC＝GE＝AC．
∵AB＝AC，∴AF＝AG＝AB，故①正确；
∵M是BC的中点，∴BM＝CM．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，
即∠DBM＝∠ECM．
在△DBM和△ECM中，
∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD＝ME．故②正确；
连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，
∴整个图形是轴对称图形，故③正确．
∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBM四点共圆，∴∠ADM＝∠ABM，
∵∠AHD＝∠BHM，∴∠DAB＝∠DMB，故④正确，
故答案为：①②③④
●数学思考：MD＝ME，MD⊥ME．
理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，
∴AF＝AB，AG＝AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF＝AB，EG⊥AC，EG＝AC，
∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．
∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．
∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM＝ME，∠FDM＝∠GME．
∵MG∥AB，∴∠GMH＝∠BHM．
∵∠BHM＝90°+∠FDM，
∴∠BHM＝90°+∠GME，
∵∠BHM＝∠DME+∠GME，
∴∠DME+∠GME＝90°+∠GME，
即∠DME＝90°，∴MD⊥ME．∴DM＝ME，MD⊥ME；
●类比探究：
∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
∴MF∥AC，MF＝AC，MG∥AB，MG＝AB，
∴四边形MFAG是平行四边形，
∴MG＝AF，MF＝AG．∠AFM＝∠AGM
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF＝AF，GE＝AG，∠AFD＝∠BFD＝∠AGE＝90°
∴MF＝EG，DF＝MG，∠AFM﹣∠AFD＝∠AGM﹣∠AGE，
即∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD＝ME，∠MDF＝∠EMG．
∵MG∥AB，∴∠MHD＝∠BFD＝90°，
∴∠HMD+∠MDF＝90°，∴∠HMD+∠EMG＝90°，
即∠DME＝90°，∴△DME为等腰直角三角形．
4．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：
问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为 ；
问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．
成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置?
【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；（3）周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2．
【解析】
【分析】
（1）先利用等边三角形判断出BD=CD=AB，进而判断出BE=BD，再判断出∠DFC=90°，得出CF=CD，即可得出结论；
（2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出结论；
②由（1）知，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出结论；
（3）由（1）（2）判断出L=2DE+12，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=BC=AB，
∵∠DEB=90°，
∴∠BDE=90°-∠B=30°，
在Rt△BDE中，BE=BD，
∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，
∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°，
∵∠C=60°，
∴∠DFC=90°，
在Rt△CFD中，CF=CD，
∴BE+CF=BD+CD=BC=AB，
∵BE+CF=nAB，
∴n=，
故答案为：；
（2）如图，
①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴∠DGB=∠AGD=∠CHD=∠AHD=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠EDG=∠FDH，
∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH，
在△EDG和△FDH中，
，
∴△EDG≌△FDH（ASA），
∴DE=DF，
即：DE始终等于DF；
②同（1）的方法得，BG+CH=AB，
由①知，△EDG≌△FDH（ASA），
∴EG=FH，
∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，
∴BE与CF的和始终不变；
（3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB，
∵AB=8，
∴BE+CF=4，
∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD
=DE+AB-BE+AC-CF+DF
=DE+AB-BE+AB-CF+DE
=2DE+2AB-（BE+CF）
=2DE+2×8-4
=2DE+12，
∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，
当DE⊥AB时，DE最小，L最小，
此时∠BDE=90°-60°=30°，
BE=BD=2，
当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°，
∵∠B=60°，
∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=DE=BD=AB=4，
当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L 有最大值，
即周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线定理，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解题的关键．
5．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重8合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．
（1）①依据题意补全图形；
②猜想OE与OF的数量关系为_________________.
（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．
小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：
想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；
想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．
……
请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．
（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．
【答案】（1）①见解析；②OE=OF；（2）见解析；（3）EF=（CF+AE）
【解析】
【分析】
（1）①由题意直接补全图形，②结论是OE=OF，
（2）方法1、先判断出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性质即可得出结论；
方法2、利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
（3）先判断出四边形OPBQ是菱形，再判断出∠EOF=∠POQ=120°，再借助直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）①补全的图形如图所示．
②OE=OF．
（2）法一：
证明：如图1，
延长EO交FC的延长线于点N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO．
∵AE⊥BM，CF⊥BM，
∴AE∥CF．
∴∠AEO=∠CNO．
又∵∠AOE=∠CON，
∴△AOE≌△CON．
∴OE=ON=．
∵Rt△EFN中，O是斜边EN的中点，
∴OF=
∴OE=OF．
法二：
证明：如图2，
取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD．
∵P，Q是AB，BC的中点，
∴OP=PB= ，OQ=QB=
∴OP=OQ．
同理，PE=QF．
∵OP=PB，PE=PB，
∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA．
∴∠OPA+∠EPA=2∠OBA+2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE．
同理，∠OQF=2∠OCF．
∵AC⊥BD，CF⊥BM，
∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．
∴∠OBE=∠OCF．
∴∠OPE=∠OQF．
∴△OPE≌△OQF．
∴OE=OF．
（3）如图1，
由（2）方法一、得出△AOE≌△CON，
∴AE=CN，OE=ON，
由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∵∠AOB=∠AEB=90°，
∴点A、E、B、O共圆，
∴∠AOE=∠ABE，
同理：∠COF=∠CBF，
∴∠NOF=∠NOC+∠COF=∠AOE+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，
∵OF=ON，
∴△FON是等边三角形，
∴∠ONF=60°，
∴∠FEN=30°，
在Rt△EFN中，∠FEN=30°，
∴EF=FN=（CF+CN）=（CF+AE）．
故答案为EF=（CF+AE）
【点睛】
此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质性质，解（2）的关键是构造全等三角形，解（3）的关键是判断出△OFN是等边三角形，是一道中考常考题．
6．综合与实践探究几何元素之间的关系
问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG.
（1）初步探究：
如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证；
（2）深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择_______题.
A．探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由；
B．如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数量关系并说明理由；
（3）拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择_______题.
如图3，已知四边形ABCD为矩形，且，.
A．点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________.
B．点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________.
【答案】（1）见解析；（2）A. ，理由见解析；B. . 理由见解析；（3）A. B.或
【解析】
【分析】
（1）根据题意，AF⊥BE，CG⊥BE，，，则，利用AAS证明，即可得到答案；
（2）A．由（1）知，，然后得到OB=OA，由，得到，即可得到OF=OG；
B．延长GO交FA的延长线于点H，找到条件，证明，然后得到OH=OG=OF；
（3）A．根据矩形的性质，得到△ABO是等边三角形，然后得到∠ABF=30°，则，由勾股定理，求出BF和BG的长度，即可得到FG.
B．根据题意，由，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到△AFB和△BCG是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出BF和BG的长度，然后求出FG的长度即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）A.解： ；
理由如下：如图1，连接OB，
由（1）知，，，
∵点O是AC的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
B.解：.
理由如下：延长GO交FA的延长线于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵点O是AC的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ；
（3）A、解：如图：连接OB，
在直角三角形ABC中，OA=OB=OC，
∵∠BAC=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∵BF=BG，
∴点B是FG的中点，
∴OB∥AF，
∴∠BAF=60°，
∵∠AFB=90°，
∴∠ABF=30°，
∴，
∴，
∴BG=，
∴FG=；
故答案为：.
B．解：①如图，OF∥BC，则OF⊥AB，
∵点O为AC中点，
∴点H为AB的中点，即AH=BH，
∴△ABF是等腰三角形，则AF=BF，
∵∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠ABF=45°，
∴，
同理：△BCG是等腰直角三角形，，
∴，
∴；
②如图，OF∥BC，延长OF交AB于点I，
由①可知，△ABF是等腰直角三角形，，
△BCG是等腰直角三角形，，
∴；
综合上述，FG的长度为：或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角形，构造等边三角形进行解决问题.本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通.
专题09 几何综合证明一
特殊图形特殊性质的运用
【考向分析】
通过分析对比，可以看出：
安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类：
一是全等综合证明，
二是相似综合证明，
三是旋转问题，
四是特殊图形特殊性质的运用。
其中全等相似综合证明题型基本上是每年必考考点，近几年中出现了旋转和特殊图形特殊性质的运用，好在是这两类题型的解题思路非常明确，且比较好总结方法技巧；
几何综合证明作为中考压轴大题，每年都必然出现在试卷最后，是冲刺高分的最大拦路虎，对知识掌握的综合运用能力要求较高，但理解出题方式和解题思路可以帮助大家快速打开解题思维，进而顺利解题。
【真题再现】
年份：2016年 考向：全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用
23. 如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角．现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
(1)求证：△PCE≌△EDQ；
(2)延长PC，QD交于点R.
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
年份：2018年 考向：全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用
23. 如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
(1)求证：CM＝EM；
(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
(3)如图②，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.
图① 图②
第23题图
【技巧总结】
特殊图形特殊性质的运用思路
等腰三角形：①等腰对等角②三线合一与垂直平分线定理相互转化（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是辅助线做法）
正三角形：①边相等，角60°②S=a?（a为边长）③等腰三角形的特殊性质
直角三角形：①勾股定理（有线段长度时）②直角三角形斜边中线等于斜边一半（有直角三角形斜边中点时）③30°所对直角边等于斜边的一半（有30°特殊角时）
等腰直角三角形：①等腰三角形的特殊性质②直角三角形的特殊性质
平行四边形：①对边平行且相等②对角相等邻角互补③对角线互相平分
矩形：①角90°②对角线平分且相等
菱形：①临边相等②对角线互相垂直平分且相等③对角线平分对角
正方形：①特殊四边形的性质全具有
中点的用法
①结合等腰三角形时：三线合一转垂直平分线定理
②结合直角三角形时：斜边中线等于斜边一半
③题目中出现多个中点时：中位线定理
④存在平行线间夹线段有中点时：延长过中点的线段构造8字型全等
【典型例题】
【例1】（2019?苏家屯区二模）已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，点F是AE的中点，连接DF，CF．
（1）如图1，点D，E分别在AB，BC边上，填空：CF与DF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2，请判断（1）中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3，如果BD＝2，AC＝3，请直接写出CF的长．
【对应练习】
请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形和平行四边形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，．
探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）与的夹角为________度时，四边形是正方形．说明理由：
2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．
3．[2019年湖北省天门市江汉学校、托市一中、张港初中等五校中考数学模拟试卷]某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： ．
4．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：
问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为 ；
问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．
成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置?
5．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重8合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．
（1）①依据题意补全图形；
②猜想OE与OF的数量关系为_________________.
（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．
小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：
想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；
想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．
……
请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．
（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．
6．综合与实践探究几何元素之间的关系
问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG.
（1）初步探究：
如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证；
（2）深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择_______题.
A．探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由；
B．如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数量关系并说明理由；
（3）拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择_______题.
如图3，已知四边形ABCD为矩形，且，.
A．点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________.
B．点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________.
