人教B版（2019）高中数学必修三第8章第二节两角和与差的余弦课件（15张PPT）

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第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
复习
1.角α的终边与单位圆相交于点P，则
x
y


α
P(cosα,sinα)
sin2α＋cos2α＝1；
4.三角函数在各象限的符号：
P(cosα,sinα)
3.同角三角函数的基本关系
2.向量的数量积及其坐标运算
5.诱导公式归纳为 :
口诀：奇变偶不变，符号看象限
尝试与发现
（1）我们已经知道了30°，45°的正弦，余弦值，那么，能否根据这些之去求出cos15°的值呢？
（2）一般地，怎么根据α与β的三角函数值求出cos(α-β)的值？
因为15°=45°-30°,所以cos15°=cos(45°-30°),因此猜想
cos15°=cos45°-cos30° = <0
又因为cos15°>0, 与上述结果相矛盾，上述猜想不成立。
由此可得，对于任意角α与β，cos(α-β)=cosα-cosβ 是不成立的。

两角差的余弦公式：
对任意α与β，都成立，通常把两角差的余弦公式简记为Cα-β.
证明：如图，在平面直角坐标系xoy中，
设α，β的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)，因此
x
y


α


α-β
O
x
y


α


α-β
O
例1



证明：
注意：诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况。α，β中若有 的整数倍角时，使用诱导公式更灵活。
证明：
因为α+β=α+（-β），所以
cos(α+β)=cos[α-(-β)]
=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)
=cosαcosβ-sinαsinβ
换元的思想将“+β”换成“-（-β）”用Cα+β证。
法二：
x
y


α
P1(cosα,sinα)

-β
P2(cosβ,-sinβ)
法一：
注意：（1）公式中的α,β都是任意角,即可是一个角,也可是几
个角的组合.
（2）要注意公式的正用、逆用.
（3）公式结构特征：余余正正符号相反.




符号相反
符号相反
例2

解：
非特殊角拆分成
两个特殊角的和或差再套用公式
化简求值训练
求下列各式的值
(1) （2）
(3)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°).
解：
（2）
（1）
(3)原式=-sin(360°+100°)sin160°+cos(360°+200°)cos280°
=-sin100°sin160°+cos200°cos280°
=-sin(180°-80°)sin(180°-20°)+cos(180°-20°)cos(360°-80°)
=-sin80°sin20°-cos20°cos80°=-cos60°=
非特殊角转化为特殊角的和或差
例3

解：
变式思考
答案：
例4

解：
逆用公Cα+β式
拓展：


解：
选择A
公式逆用，变角，多个角变成两个角
提升训练
D
解：
根据已知三角函数值判断角的范围
未知角拆分成与已知角有关的角和或差
对公式C(α－β)和C(α＋β)的说明 (1)公式的结构特点：“余余正正，加减相反”． (2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”.
课堂小结

下课了