2020年九年级中考数学专题复习： 辅助圆专题课 学案

专题复习:辅助圆
几何辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，而在众多类型的辅助线中，辅助圆显得尤其特殊，独特而隐蔽。它是唯一的曲线型辅助线，而本身又没有特别显著的特征。以下对辅助圆的常见类型进行了分类剖析。

1. 构造辅助圆的常见条件
（1）圆的定义
如图1，∵OA=OB=OC，∴点A,B,C三点共圆，圆心为O点。
（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
如图2，∵AB=AC,∠A=2∠B,∴点D，B,C三点共圆，圆心为A。
（3）定边对定角
如图3，∵AB边和所对的∠C确定，∴点C的轨迹是以AB为弦的圆弧。
特例：如图4，当定边AB，∠C=90°时，点C的轨迹是以AB为直径的圆。
（4）同弧所对的圆周角相等
如图5、图6，共用斜边的两直角三角形的四个顶点共圆。
如图7，定边AB，所对的两个角∠C=∠D，则A,B,C,D四点共圆。
（5）圆内接四边形的对角互补
如图8，∵△ACB,△ADB中，∠C+∠D=180°，∴A,B,C,D四点共圆。



2.四点共圆的常用判定
（1）到一点距离相等的四个点共圆；
（2）同斜边的直角三角形的顶点共圆；
（3）同底且同侧顶角相等的两个三角形的顶点共圆；
（4）对角互补或有一个外角等于其内对角的四边形的顶点共圆；
（5）两条线段被一点分成(内分或外分)两段长的乘积相等，则这两条线段的四个顶点共圆。

【典例分析】
类型一、与辅助圆有关的作图问题
例题1、已知点A、点B和直线MN
（1）在图1中，利用尺规在直线MN上作出点P，使得∠APB=90°；
（2）在图2中，利用尺规在直线MN上作出点Q，使得∠CQD=60°（保留作图痕迹，不写作法）。







类型二、与辅助圆有关的最值问题（定边对定角）
例题2、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为________



练习、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=12,点D为线段BC上一动点，以CD为圆O的直径，连AD交圆O于E点，连接BE，则BE的最小值为_____



例题3、(2019江苏)在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B,则BC长的取值范围是______

练习、如图，等边三角形ABC的边长是3，D,E分别是BC,AC边上的动点，满足BD=CE，且AD与BE交于点F，则CF的最小值为___________


类型三、辅助圆的构造
例题4、如图，四边形ABCD，AB//CD,且AB=AC=AD=a，BC=b，且2a>b,则cos∠DBA的值为_____







例题5、如图，C,D是以AB为直径的半圆上的两点，∠AOC=40°，P在直径AB上，
且∠OCP=∠ODP=10°，求∠BOD.





例题6、平面内有四个点A,O,B,C，其中∠AOB=120°，∠AOC=60°，AO=BO=2,则满足题意的OC长度为整数的值可以是_____________




例题7、如图1，AB是☉O的一条弦，点C是优弧AmB上一点.
（1）若∠ACB=45°，点P是☉O上一点（不与A,B重合），则∠APB=_________;
（2）如图2，若点P是弦AB与优弧AmB所围成的弓形区域（不含弦与优弧AmB）内一点，
求证：∠APB > ∠ACB；
（3）请在图3中直接用阴影部分表示出在弦AB与优弧AmB所围成的弓形区域（不含弦与优弧AmB）内，满足∠ACB < ∠APB < 2∠ACB的点P所在的范围.




【视野窗】西姆松定理
西姆松定理:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）。

例题8、如图，△ABC的外接圆为☉O，P为☉O上一点，PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，
证明：点D,E,F共线.