2020年中考备考二轮复习：二次函数的存在性问题学案（无答案）

二次函数中特殊图形的存在性
教学目标 1．学会二次函数中特殊图形的存在性问题的分析方法 2．掌握三角形与四边形的存在性问题的解法
重、难点 三角形与四边形的存在性问题的解法


知识梳理
1．两点之间的距离公式
如图所示，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在平面直角坐标系中，那么AB＝ ．
2．中点坐标公式
如图，点A（x1，y1），B（x2，y2），点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（ ， ）．

3．“两线一圆”模型
如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形．这样的点C的集合如下图所示（分别过点A，B作线段AB的垂 线，并以AB为直径画圆，除点A，B以外的点都可以与点A，B构成直角三角形，这个模型简称“两线一圆”）．






4．平行四边行顶点坐标关系
如图，四边形ABCD为平行四边形，顶点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
①因为平行四边行的对角线互相平分，所以点O为AC和BD的中点，根据中点坐标公式可以得出： ＝ ，
＝ ，即x1＋x3＝x2＋x4，y1＋y3＝y2＋y4；

②因为BC可以看做AD平移得到的，所以点A的对应点为点B，点D的对应点为点C，根据平移的坐标关系可以得出：x2－x1＝ x3－x4，y2－y1＝y3－y4．






一、直角三角形的存在问题
知识点讲解 1： 直角三角形的存在问题

例 1. 如图，已知直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．







































同步练习：
1. 如图，抛物线y＝－x2－ x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解 析式．



知识点讲解 2： 平行四边形的存在问题
例 1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2， 0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若 不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边 形，求点P的坐标．


















例 2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；
（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的 坐标和m的值；
（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．
















同步练习

1. 如图，抛物线y＝x2＋x－ 与x轴相交于A，B两点，顶点为P．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明 理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
















课后练习
如图，抛物线与x轴交于A（5，0），B（－1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y＝2x于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线y＝2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边 形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．




如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD， 连结BD，则对角线BD的最小值为 ．











如图，P是抛物线y＝﹣x2＋x＋2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．












如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一 个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式：
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M的坐标．





如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶 点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．