选修2-3 人教A版 2.4 正态分布 课件（66张）

(共66张PPT)
2.4　
正 态 分 布
主题　正态分布
1.由函数φμ,σ(x)= ,x∈(-∞,+∞)的解析
式,观测其函数图象,你能说出该函数图象在平面直角
坐标系中的大体位置吗?
提示:因为 >0, >0,所以φμ,σ(x) >0,即该
函数图象位于x轴上方,与x轴不相交.
2.由函数φμ,σ(x)= ,x∈(-∞,+∞)的解析
式,观测其幂指数解析式,你能说出该函数曲线的对称
性以及最大值吗?
提示:由于e的幂指数t=- 可看作一个关于x的二
次函数,显然其开口向下,对称轴方程为x=μ,因此该函
数曲线关于直线x=μ对称,在x=μ时达到最大值 .
3.结合频率分布直方图以及正态曲线的定义,试说明曲线与x轴之间的面积是多少?
提示:因为频率分布直方图中,各个小矩形的面积之和为1,再结合正态曲线的定义可知:正态曲线与x轴之间的面积为1.
结论:
1.正态曲线:函数φμ,σ(x)=_________,x∈(-∞,+∞),
其中实数μ,σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象
为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态曲线性质
(1)曲线位于x轴_____,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,它关于直线_____对称.
(3)曲线在x=μ处达到峰值_______.
(4)曲线与x轴之间的面积为__.
上方
x=μ
1
(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着___的
变化而沿x轴平移.
μ
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越
“_____”,表示总体的分布越_____;σ越大,曲线越
“_____”,表示总体的分布越_____. 如图所示.
瘦高
集中
矮胖
分散
3.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)正态分布:
①如果对于任何实数a,b(a②记为:X～N (______).
μ,σ2
(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率:
①P(μ-σ②P(μ-2σ③P(μ-3σ0.682 7
0.954 5
0.997 3
【对点训练】
1.设随机变量X～N(μ,σ2),则随着σ的增大,概率P(|X-μ|<3σ)将会 (　　)
A.单调增加 B.单调减少
C.保持不变 D.增减不定
【解析】选C.服从正态分布的随机变量X,不论μ,σ怎么变化,P(|X-μ|<3σ)总约等于0.997 3.
2.在某项测量中,测得变量ξ ～ N(1,σ2)(σ>0).若
ξ在 内取值的概率为0.8,则ξ在 内取值的概
率为 (　　)
A.0.2 B.0.1 C.0.8 D.0.4
【解析】选D.因为ξ符合正态分布N(1,σ2),所以曲线
的对称轴是直线x=1,因为ξ在 内取值的概率为
0.8,所以ξ在 内取值的概率为0.4.
3.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96) =0.025,则P(|ξ|<1.96)= (　　)
A.0.025 B.0.050
C.0.950 D.0.975
【解析】选C.由已知正态曲线的对称轴为x=0,则P(ξ <-1.96)=P(ξ>1.96)=0.025,所以P(|ξ|<1.96)=1-P(ξ>1.96)-P(ξ<-1.96)=0.950.
4.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2) =0.023,则P(-2≤ξ≤2)= (　　)
A.0.447 B.0.628 C.0.954 D.0.977
【解析】选C.因为随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),所以正态曲线关于直线x=0对称.
又P(ξ>2)=0.023,所以P(ξ<-2)=0.023.
所以P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.
5.某地区高二女生的体重X(单位:kg)服从正态分布N(50,25),若该地区共有高二女生2 000人,则体重在区间(50,65)内的女生人数为________.?
【解析】由题意可得μ=50,σ=5,所以体重在区间
(50,65)内概率
≈0.498 7,所以体重在区间(50,
65)内的女生人数为2 000×0.498 7≈997.
答案:997
类型一　正态分布的概念和性质
【典例1】(1)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一条新的曲线C2,下列说法中不正确的是 (　　)
A.曲线C2仍然是正态曲线
B.曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等
C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
(2)如图所示是一个正态曲线,其解析式为f(x)=
试根据该图象写出其正态分布参数μ,σ2的
值.
【解题指南】(1)正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置,曲线的形状没有改变,所得的曲线依然是正态曲线.
(2)给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的均值、方差.
【解析】(1)选D.在正态曲线沿着横轴方向水平移动的
过程中,σ始终保持不变,所以曲线的最高点的纵坐标
即正态分布曲线的最大值 不变,方差σ2也没有变
化.设曲线C1的对称轴为x=μ,那么曲线C2的对称轴则
为x=μ+2,说明均值从μ变到了μ+2,增大了2.
(2)从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=
20对称,最大值是 ,所以μ=20.
由 得σ= .所以σ2=2.
故μ=20,σ2=2.
【方法总结】利用正态曲线的性质求参数μ,σ的方法
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质
结合图象求μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值 由此性质结合
图象可求σ.
【跟踪训练】
1.正态分布有两个参数μ与σ,________相应的正态曲线的形状越扁平. (　　)?
A.μ越大　　　B.μ越小　　　
C.σ越大　　　D.σ越小
【解析】选C.由正态密度曲线图象的特征知选C.
2.已知三个正态分布密度函数
（x∈R,i=1, 2,3）的图象如图所示,μ1,μ2,μ3的大
小关系是________;σ1,σ2,σ3的大小关系是
________.?
【解析】因为正态分布关于直线x=μ对称,且μ越大图象越靠近右边,所以第一个曲线的均值比第二和第三个曲线的均值小,且二,三两个的均值相等,故μ1<μ2=μ3,因为σ越小,曲线越瘦高,则第二个曲线的σ要比第三个曲线的σ要小,故σ1=σ2<σ3.
答案:μ1<μ2=μ3 　　σ1=σ2<σ3
类型二　正态分布下的概率问题
【典例2】(1)设随机变量X～N(3,1),若P(X>4)=p,则
P(2A. +p　　　B.1-p　　　C.1-2p　　　D. -p
(2)设X～N(5,1),求P(6【解题指南】(1)利用正态分布的图象特点计算,注意
应用对称性.
(2)由X～N(5,1)知μ=5,σ=1,故P(40.682 7,P(3=P(6【解析】(1)选C.由X～N(3,1)得μ=3,
所以P(3故P(2(2)由已知得P(4P(3所以P(3=0.271 8,
由对称性得P(3所以P(6【方法总结】正态分布概率求解的注意事项
(1)注意对称:解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用.
(2)注意面积:正态曲线与x轴所围成的面积值为1;X落在区间(a,b]上的概率与由正态曲线、过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的图形的面积相等.
【跟踪训练】
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则P(ξ>2或
ξ≤-2)≈ (　　)
【参考数据】P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-
2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)
≈0.997 3
A.0.954 5 B.0.045 5 C.0.997 3 D.0.002 7
【解析】选B.因为μ=0,σ=1,所以P(-2<ξ≤2)≈ 0.954 5,所以P(ξ>2或ξ≤-2)=1-P(-2<ξ≤2)≈1-0.954 5=0.045 5.
2.如果随机变量X～N(μ,σ2),且E(X)=3,D(X)=1,则P(0A.0.021 4 B.0.723 C.0.215 D.0.64
【解析】选A.由随机变量X～N(μ,σ2),且E(X)=3,
D(X)=1,可得X～N(3,1),又
≈0.997 3, ≈0.954 5,
所以 =0.042 8,故
P =0.021 4.
3.若随机变量X～N ,且P =0.2,则P(1=(　　)
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3

【解析】选A.因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),
所以对称轴是直线x=3.因为P(X≥5)=0.2,所以P(1类型三　正态分布的实际应用
【典例3】(2019·信阳高二检测)为了改善市民的生活
环境,信阳市政府决定对信阳市的1万家中小型化工企
业进行污染情况摸排,并出台相应的整治措施.通过对
这些企业的排污口水质、周边空气质量等的检验,把污
染情况综合折算成标准分100分,发现信阳市的这些
化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N(50,162),分值越低,说明污染越严重;如果分值在[50,60]内,可以认为该企业治污水平基本达标.
(1)如图是信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图,请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值,并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标.
(2)大量调査表明,如果污染企业继续生产,那么标准分低于18分(含18分)的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元,标准分在(18,34]内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元.信阳市决定关停80%的标准分低于18分(含18分)的化工企业和60%的标准分在(18,34]内的化工企业,每月可减少的直接损失约有多少?
(附:若随机变量X～N(μ,σ2),则P(μ-σ【解题指南】(1)利用频率分布直方图计算平均数可得答案.
(2)利用正态分布分别计算在(18,34]内的化工企业与标准分低于18分的化工企业的概率,从而得到结果.
【解析】(1)该工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值:
(10×0.005 0+30×0.012 5+50×0.015 0+70×0.010 +90×0.007 5)×20=51,故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标.
(2)化工企业污染情况标准分基本服从正态分布
N(50,162)
标准分在(18,34]内的概率,
=0.135 9,
所以60%的标准分在(18,34]内的化工企业,每月可减少
的直接损失为10 000×0.6×0.135 9×4=3 261.6(万
元),
标准分低于18分(含18分)的概率,P
=0.022 75,
所以10 000×0.8×0.022 75×10=1 820(万元),
故信阳市决定关停80%的标准分低于18分(含18分)的化
工企业和60%的标准分在(18,34]内的化工企业,每月可
减少的直接损失约有3 261.6+1 820=5 081.6(万元).
【方法总结】
1.生活中常见的正态分布
(1)在生产中,各种产品的质量指标一般都服从正态分布.
(2)在测量中,测量结果、测量的随机误差都服从正态分布.
(3)在生物学中,同一群体的某种特征都服从正态分布.
(4)在气象中,某地每年某月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布.
2.利用3σ原则求某区间内取值概率的基本方法
(1)根据题目给出的条件确定μ与σ的值.
(2)将待求问题向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ], (μ-3σ,μ+3σ]这三个区间转化.
(3)利用上述区间求出相应的概率.
【跟踪训练】
1.2011年中国汽车销售量达到1 700万辆,汽车耗油量
对汽车的销售有着非常重要的影响,各个汽车制造企业
积极采用新技术降低耗油量,某汽车制造公司为调查某
种型号的汽车的耗油情况,共抽查了1 200名车主,据统
计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升,并且
汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8,σ2),已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7,那么此次抽查的耗油量大于9升的汽车大约有________辆.?
【解析】由题意可知,ξ～N(8,σ2),故正态分布曲线以x=μ=8为对称轴,又因为P(7≤ξ≤9)=0.7,故P(7≤ ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7,所以P(8≤ξ≤9)=0.35,而P(ξ≥8)=0.5,所以P(ξ>9)=0.15,故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15=180辆.
答案:180
2.一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少?
【解析】电池的使用寿命X～N(35.6,4.42),则P(X≥
40)= ≈0.158 65,即这节电池可持
续使用不少于40小时的概率约是0.158 65.
3.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N ,
问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间
(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个?
【解析】因为X～N ,所以μ=4,σ= ,所以不属于
区间(3,5]的概率为P(X≤3)+P(X>5)=1-P(3P(4-1=0.002 7≈0.003,所以1 000×0.003=3(个),即不属于
区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个.
【知识思维导图】