高考微点3 函数的图象和性质
[微要点]
1．函数的基本问题
(1)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(2)函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．
(3)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．掌握求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法．
(2)换元法(或配凑法)．
(3)构造方程组法(消元法)．
3．注意两个易误点
(1)函数的定义域的表现形式是集合，因此，求出函数的定义域后，一定要表示成集合或区间的形式，否则，就会因为格式不对而扣分．
(2)求函数的定义域时最容易忽视条件的限制，如求函数f(x)＝的定义域，只考虑到x>0，x≠0，忽视ln x≠0的限制．
[微练习]
1．函数y＝的定义域为( )
A．(0,4) B．(4，＋∞)
C．(0,4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选C 由条件可得log2x－2≠0且x>0，解得x∈(0,4)∪(4，＋∞)．故选C.
2．设f(x)＝且f＝6，则f(f(－2))的值为( )
A．27 B．243
C. D．
解析：选B f＝3(t－1)＝6，即(t－1)＝2，解得t＝5.故f(x)＝所以f(－2)＝log2[(－2)2＋5]＝log29＞0，f(f(－2))＝f(log29)＝3×4log29＝3×22log29＝3×2log292＝3×81＝243.故选B.
3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
解析：在f(x)＝2f－1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，将f＝2f(x)－1代入f(x)＝2f－1中，求得f(x)＝＋.
答案：＋
[微要点]
1．掌握函数图象的四种变换
平移变换 ①y＝f(x) y＝f(x±a)； ②y＝f(x) y＝f(x)±b
对称变换 ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称； ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称； ③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称
伸缩变换 ①要得到y＝a f(x) (a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(a<1)到原来的a倍，横坐标不变； ②要得到y＝f(a x)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸长(a<1)或缩短(a>1)到原来的倍，纵坐标不变
翻折变换 ①对于y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝| f(x)|的图象； ②保留y＝f(x)在y轴右边的图象，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x |)的图象
2．辨明两种对称关系
(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．
(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数图象的对称关系．
[微练习]
1.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－
D．f(x)＝
解析：选D A中，当x→＋∞时，f(x)→－∞，与题图不符，故不成立；B为偶函数，与题图不符，故不成立；C中，当x→0＋时，f(x)<0，与题图不符，故不成立．选D.
2．函数f(x)＝的图象大致是( )
解析：选C 因为f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)是定义域上的奇函数，所以排除A、D；在区间(0，＋∞)上，当x→0时，cosx→1，x＋→＋∞，则f(x)→0，排除B.故选C.
3.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
解析：选B 由y＝f(x)的图象知，f(x)＝当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝故y＝－f(2－x)＝图象应为B.
[微要点]
1．函数的性质
单调性 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1)
f(x 2))，则函数f(x)在区间D上是增函数(减函数)
奇偶性 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) (f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)叫做偶函数(奇函数)
周期性 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
2．函数性质中常用结论
(1)若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
①当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
②当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．
(2)若一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；若一个函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)＝0.
(3)两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数，之积(商)为偶函数．一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数．
(4)若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
(5)若f(x＋T)＝－f(x)，f(x＋T)＝(T>0)等，则f(x)的最小正周期为2T.
3．注意两个易误点
(1)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．
(2)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
[微练习]
1．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B 由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1.当x≥3时，函数t＝x2－2x－3为增函数．∵y＝为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B.
2．若函数f(x)＝x，则函数f(x)的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．y＝x对称
解析：选C f(x)的定义域为R.∵f(x)＝x＝x·，则f(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于y轴对称．故选C.
3．若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－1,2)
C．[1,2) D．[－1,2)
解析：选B 函数y＝＝＝－1，在x∈(－1，＋∞)时，函数y是单调递减函数，在x＝2时，y＝0.根据题意x∈(m，n]时，y的最小值为0，
∴m的取值范围是－14．已知函数f(x)＝是奇函数，若f(2m－1)＋f(m－2)≥0，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B ∵f(x)＝是奇函数，且定义域为R，∴f(0)＝＝0，∴a＝－1，
∴f(x)＝2x－2－x，显然函数f(x)在R上单调递增．
∵f(2m－1)＋f(m－2)≥0，
∴f(2m－1)≥－f(m－2)，∴f(2m－1)≥f(2－m)，
∴2m－1≥2－m，解得m≥1.
5．函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)C．f
解析：选B 因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，又因为函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2,4]上单调递减．因为f(1)＝f(3)，>3>，所以f
1．函数y＝的定义域为( )
A．(0,1] B．[1,3]
C．(0,3] D．(1,3]
解析：选C 由题意得1－log3x≥0，且x>0，∴02．已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝( )
A．－ B．2
C．4 D．11
解析：选C ∵f(1)＝12＋2＝3，∴f[f(1)]＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )
解析：选B ∵函数f(x)＝lg(|x|－1)，
∴f(－x)＝lg(|x|－1)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，
当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x∈(－∞，－1)时，函数f(x)为减函数，结合对数函数图象的特点知选B.
4．已知函数f(n)＝其中n∈N，则f(8)＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C f(8)＝f(f(8＋5))＝f(f(13))＝f(10)＝7.故选C.
5．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x＞0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①y＝3－x的定义域和值域均为R；
②y＝2 x－1 (x＞0)的定义域为(0，＋∞)，值域为；
③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)；
④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，
共有2个，故选B.
6．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )
A．1 B．
C．－1 D．－
解析：选C 因为x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，因为f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期函数且周期为4.
所以f(log220)＝f(log220－4)＝f
＝－f＝－f＝－
＝－＝－1，故选C.
7．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D 易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.
8．设定义在R上的偶函数f(x)满足：对于任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，均有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，则当n∈N*时，有( )
A．f(－n)B．f(n－1)C．f(n＋1)D．f(n＋1)解析：选C 不妨设x10得f(x2)>f(x1)，则f(x)在(－∞，0]上是增函数．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，可得f(n＋1)9．已知函数f(x)＝ex－，若f(a2－4a)＋f(3)<0，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4) B．(1,4)
C．(1,3) D．(0,3)
解析：选C 因为f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又f(x)在R上单调递增，所以由f(a2－4a)＋f(3)<0，得f(a2－4a)<－f(3)＝f(－3)，所以a2－4a<－3，解得110．已知f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域为[4，＋∞)，则实数a的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,4]
C. D．(0,1)
解析：选A 因为f(x)的值域为[4，＋∞)，而当x≤2时，f(x)的最小值为4，所以当x＞2时，f(x)＝3＋logax的值域是[4，＋∞)的子集，则3＋logax≥4，所以logax≥1，又x＞2，所以1＜a≤2.故选A.
11．已知函数f(x)是奇函数，且满足f(2－x)＝f(x)(x∈R)，当0A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选C 由函数f(x)是奇函数且满足f(2－x)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，且关于直线x＝1＋2k(k∈Z)成轴对称，关于点(2k,0)(k∈Z)成中心对称．当012．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”．若函数f(x)＝4x－m·2x＋m2－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是( )
A．[1－，1＋ ] B．[－1,2]
C．[－2，2 ] D．[－2，1－ ]
解析：选B 根据“局部奇函数”的定义可知，函数f(－x)＝－f(x)有解，即f(－x)＝4－x－m·2－x＋m2－3＝－(4x－m·2x＋m2－3)有解，∴4x＋4－x－m(2x＋2－x)＋2m2－6＝0有解，即(2 x＋2－x)2－m(2 x＋2－x)＋2m2－8＝0有解．设t＝2 x＋2－x，则t＝2 x＋2－x≥2，∴方程(2 x＋2－x)2－m(2 x＋2－x)＋2m2－8＝0有解等价于t2－mt＋2m2－8＝0在t≥2时有解．设g(t)＝t2－mt＋2m2－8，其图象的对称轴为直线t＝.若m≥4，则Δ＝m2－4(2m2－8)≥0，即7m2≤32，此时m不存在；若m<4，要使t2－mt＋2m2－8＝0在t≥2时有解，则解得－1≤m≤2.综上可得，－1≤m≤2.故选B.
13．已知f(1－cos x)＝sin2x，则f(x2)的解析式为________．
解析：f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x.令1－cos x＝t，t∈[0,2]，则cos x＝1－t，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，则f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－， ]．
答案：f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－， ]
14．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(log4)＝－3，则a的值为________．
解析：∵奇函数f(x)满足f(log4)＝－3，又log4＝－2<0，∴f(2)＝－f(－2)＝3.又∵当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，∴f(2)＝a2＝3，解得a＝(负值舍去)．
答案：
15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：
16．已知a>0，函数f(x)＝若f>－，则实数t的取值范围为________．
解析：当x∈[－1,0)时，函数f(x)＝sinx单调递增，且f(x)∈[－1,0)，当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)＝ax2＋ax＋1，此时函数f(x)单调递增且f(x)≥1，综上，当x∈[－1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，由f(x)＝sinx＝－得x＝－，解得x＝－，则不等式f>－，等价于f>f，∵函数f(x)是增函数，∴t－>－，即t>0.故t的取值范围为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
高考微点3 函数的图象和性质
[微要点]
1．函数的基本问题
(1)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(2)函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．
(3)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．掌握求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法．
(2)换元法(或配凑法)．
(3)构造方程组法(消元法)．
3．注意两个易误点
(1)函数的定义域的表现形式是集合，因此，求出函数的定义域后，一定要表示成集合或区间的形式，否则，就会因为格式不对而扣分．
(2)求函数的定义域时最容易忽视条件的限制，如求函数f(x)＝的定义域，只考虑到x>0，x≠0，忽视ln x≠0的限制．
[微练习]
1．函数y＝的定义域为( )
A．(0,4) B．(4，＋∞)
C．(0,4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞)
2．设f(x)＝且f＝6，则f(f(－2))的值为( )
A．27 B．243
C. D．
3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
[微要点]
1．掌握函数图象的四种变换
平移变换 ①y＝f(x) y＝f(x±a)； ②y＝f(x) y＝f(x)±b
对称变换 ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称； ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称； ③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称
伸缩变换 ①要得到y＝a f(x) (a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(a<1)到原来的a倍，横坐标不变； ②要得到y＝f(a x)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸长(a<1)或缩短(a>1)到原来的倍，纵坐标不变
翻折变换 ①对于y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝| f(x)|的图象； ②保留y＝f(x)在y轴右边的图象，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x |)的图象
2．辨明两种对称关系
(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．
(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数图象的对称关系．
[微练习]
1.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－
D．f(x)＝
2．函数f(x)＝的图象大致是( )
3.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
[微要点]
1．函数的性质
单调性 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1)f(x 2))，则函数f(x)在区间D上是增函数(减函数)
奇偶性 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) (f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)叫做偶函数(奇函数)
周期性 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
2．函数性质中常用结论
(1)若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
①当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
②当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．
(2)若一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；若一个函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)＝0.
(3)两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数，之积(商)为偶函数．一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数．
(4)若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
(5)若f(x＋T)＝－f(x)，f(x＋T)＝(T>0)等，则f(x)的最小正周期为2T.
3．注意两个易误点
(1)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．
(2)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
[微练习]
1．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
2．若函数f(x)＝x，则函数f(x)的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．y＝x对称
3．若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－1,2)
C．[1,2) D．[－1,2)
4．已知函数f(x)＝是奇函数，若f(2m－1)＋f(m－2)≥0，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
5．函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)C．f
1．函数y＝的定义域为( )
A．(0,1] B．[1,3]
C．(0,3] D．(1,3]
2．已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝( )
A．－ B．2
C．4 D．11
3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )
4．已知函数f(n)＝其中n∈N，则f(8)＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x＞0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )
A．1 B．
C．－1 D．－
7．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝( )
A. B．
C. D．
8．设定义在R上的偶函数f(x)满足：对于任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，均有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，则当n∈N*时，有( )
A．f(－n)B．f(n－1)C．f(n＋1)D．f(n＋1)
9．已知函数f(x)＝ex－，若f(a2－4a)＋f(3)<0，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4) B．(1,4)
C．(1,3) D．(0,3)
10．已知f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域为[4，＋∞)，则实数a的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,4]
C. D．(0,1)
11．已知函数f(x)是奇函数，且满足f(2－x)＝f(x)(x∈R)，当0A．7 B．8
C．9 D．10
12．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”．若函数f(x)＝4x－m·2x＋m2－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是( )
A．[1－，1＋ ] B．[－1,2]
C．[－2，2 ] D．[－2，1－ ]
13．已知f(1－cos x)＝sin2x，则f(x2)的解析式为________．
14．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(log4)＝－3，则a的值为________．
15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
16．已知a>0，函数f(x)＝若f>－，则实数t的取值范围为________．
